Aula 5 Programação Inteira Curso de Administração Prof: André Marques Cavalcanti

5. Programação Inteira Conceitos Resolução gráfica e suas limitações Algoritmo branch-and-bound Resolução de PI usando o Excel

Problemas de PLI O PLI é aquele que tem uma ou mais variáveis de decisão inteiras. São apresentados em dois tipos básicos: Programação Inteira total: todas as variáveis de decisão são do tipo inteira; Programação Inteira mista: uma parte das variáveis de decisão são inteiras Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de PLI pode ser encontrado graficamente. No caso de um PLI real o conjunto de soluções viáveis não incluiria a solução do problema relaxado

Considere o PLI x2 x1

Considerações sobre a solução de um PLI Pode acontecer que: Nenhum ponto inteiro vizinho ao ponto ótimo relaxado é necessariamente viável Mesmo que um dos vizinhos seja viável, ele pode não ser necessariamente o ponto ótimo inteiro. Uma outra forma é testar todas as soluções inteiras e selecionar aquelas que maximizam ou minimizam o problema. Sabe-se que a solução ótima do problema relaxado é o limite superior da solução inteira (para maximização) e limite inferior para minimização

O algoritmo Branch and bound O algoritmo branch and bound é o procedimento mais utilizado para resolver PLI ou PLIM Existem diversas variantes desse método para tratamento de tipos de problemas específicos. A ideia geral é dividir o conjunto de soluções viáveis em subconjuntos sem interseções entre si, calculando o limite inferior e superior para cada subconjunto e eliminar certos subconjuntos de acordo com algumas regras preestabelecidas. O Algoritmo: Para um PLI o qual encontrou-se uma solução ótima xj, tal que x´j é não inteira, assim i1<x´j<i2, sendo i1 e i2 dois números inteiros não negativos consecutivos. Segui-se os seguintes passos: 1- Criar dois novos modelos de programação inteira acrescentando ao problema inicial duas novas restrições xj>=i1 e xj=<i2 2- Encontra-se a solução ótima dos dois novos modelos de PL geral 3- Se algumas das soluções encontradas é não inteira, repete-se os procedimentos 1 e 2 até que não existam mais modelos com soluções ótimas não-inteiras 4- É considerada a solução ótima do problema aquela que leva a função objetivo ao seu maior valor (máx)

Aplicando o algoritmo Branch and bound (2,4; 2,4) Da solução relaxada O limite superior é 14,4 para x1=2,4 e x2=2,4 (2,4; 2,4) Busca-se a solução para a região de x1=<2 e x1>=3 2 3 Obtém-se x1=2 e x2=2,5 e x1=3 e x2=1,5 2,5 1,5

X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 Árvore Branch-and-bound X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 x1=<2 X1>=3 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 (2,0; 2,0) Busca-se a solução para a região de x1=<2 e x2=<2 2 3 4 Busca-se a solução para a região de x1>=3 e x2=<1 (3,33; 1,0) 2 3 4 Obtém-se x1=2 e x2=2 e LSA =12

X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 Árvore Branch-and-bound X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 x1=<2 X1>=3 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 x2=<2 X2>=3 X1=2 x2=2 SOL=12 X1=0 x2=3 SOL=9 (2,0; 2,0) Busca-se a solução para a região de x1=<2 e x2=<2 2 3 4 Busca-se a solução para a região de x1>=3 e x2=<1 (0; 3) 2 3 4 Obtém-se x1=2 e x2=2 e SOL =12 Obtém-se x1=0 e x2=3 SOL=9

X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 Árvore Branch-and-bound X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 x1=<2 X1>=3 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 x2=<1 X2>=2 X1=2 x2=2 SOL=12 Inviável Busca-se a solução para a região de x1>=3 e x2=<1 Busca-se a solução para a região de x1>=3 e x2>=2 (3; 2) (3,33; 1) 2 3 4 2 3 4 Obtém-se x1=3,33 e x2=1 e SOL =13 Obtém-se para x1=3 e x2=2 a solução é inviável

X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 Árvore Branch-and-bound X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 x1=<2 X1>=3 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 x2=<1 X2>=2 X1=3,33 x2=1 SOL=13 X1<=3 Inviável X1>=4 X1=3 x2=1 SOL=12 X1=4 x2=0 SOL=12 Busca-se a solução para a região de x1<=3 e x2=<1 Busca-se a solução para a região de x1>=3 e x2=<1 (3; 1) (4; 0) 2 3 4 2 3 4 Obtém-se x1=2 e x2=1 e SOL =12 Obtém-se para x1=4 e x2=0 SOL=12

Observação: Inexistência de análise de sensibilidade. Árvore Branch-and-bound X1=2,4 x2=2,4 LSA=14,4 x1=<2 x1=<2 X1>=3 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=2 x2=2,5 LSA=14,4 X1=3 x2=1,5 LSA=14,4 x2=<1 x2=<2 X2>=3 X2>=2 X1=3,33 x2=1 SOL=13 X1<=3 X1=2 x2=2 SOL=12 X1=0 x2=3 SOL=9 Inviável X1>=4 X1=3 x2=1 SOL=12 X1=4 x2=0 SOL=12 Como a solução x1=4 e x2=0 representa um único ponto no conjunto de soluções viáveis ele é tomado como a solução ótima Observar que a árvore só possui ramos com soluções inteiras ou inviáveis isso finaliza o algoritmo Observação: Inexistência de análise de sensibilidade. Muitos softwares que resolvem PLI fazem parte do pacote de PL e realizam análise de sensibilidade independente que para o caso de PLI deve ser desconsiderado.

Aplicação usando o Excel A LCL tecnologia tem de planejar seus gastos em P&D para os próximos 5 anos. A empresa pré-selecionou quatro projetos e deve escolher quais priorizar. Os dados relevantes ao problema encontram-se na tabela a seguir. Nela estão as disponibilidades de capital a ser alocado em cada um dos anos, bem como o valor presente líquido de cada projeto. Como todos os projetos apresentam VPL positivo, todos seriam candidatos. Vale notar que existe uma limitação no valor a ser investido anualmente Capital requerido em mil R$ Proj VPL(8%) (Mil R$) Ano 1 Ano2 Ano 3 Ano 4 Ano5 1 105,09 70 15 20 2 128,00 80 25 10 3 136,14 90 30 4 117,38 50 40 Cap. disponível 200 Variável de decisão xi =0 ou xi=1

Modelando

Outro exemplo Caso LCL Equipamentos: A LCL equipamentos produz três tipos de furadeiras, que necessitam de tempos diferentes na linha de montagem. Para que cada tipo de furadeira seja fabricado, um custo de preparação da fábrica é incorrido (ajustes que devem ser efetuados na linha de montagem). Suponha que todas as furadeiras do mesmo tipo sejam produzidas de uma só vez (apenas uma preparação por tipo). Os dados relevantes à análise do problema encontram-se na tabela. Ache quantidades a serem fabricadas para maximizar o lucro do próximo mês.furadeiras Trimestre Tipo1 Tipo 2 Tipo 3 Total disponível Montagem h 2 3 2,5 600 Pintura h 500 Lucro unitário R$ 50 60 65 Preparação R$ 5000 4000 3000

O modelo