TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Roberto Alam
CONCEITO Transformação geométrica é uma aplicação bijectiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de forma que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual ou semelhante.
TRANSFORMAÇÕES BASICAS EM 2D TRANSLAÇÃO ESCALA ROTAÇÃO REFLEXÃO/ESPELHAMENTO CISALHAMENTO
TRANSLAÇÃO Transladar significa movimentar o objeto. Cada ponto em (x,y) pode ser movido por Tx unidades em relacao ao eixo X e por Ty em relação ao eixo Y, logo a novo posição do ponto (x,y) é (x’,y’) x’= x + TX y’ = y + TY
TRANSLAÇÃO O mesmo ocorre se o ponto estiver no plano 3D. x’= x + Tx y’ = y + Ty z’ = z = Tz
TRANSLAÇÃO
ESCALAR Escalonar significa mudar as dimensões do objeto. Para fazer com que uma imagem ou objeto definida(o) por um conjunto de pontos mude de tamanho, temos que multiplicar os valores de suas coordenadas por um fator de escala.
ESCALAR x’ = x .Sx y ’= y . Sy
ESCALAR
ROTAÇÃO Rodar um ponto P=(x,y) de um ângulo θ relativamente à origem significa encontrar outro ponto Q=(x´,y´) sobre uma circunferência centrada na origem que passa pelos dois pontos, com θ=∠POQ.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO A multiplicação das coordenadas por uma matriz pode resultar em uma translação.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO X’ = x cos Ɵ – y sen Ɵ Y’ = x sen Ɵ + y cos Ɵ
ROTAÇÃO Para alterar a orientação de um objeto em torno de um certo ponto, realizando uma combinação da rotação com a translação, é necessário antes de aplicar a rotação de ânguloθ no plano da coordenadas em torno de um ponto, realizar uma translação para localizar esse ponto na origem do sistema, e aplicar a rotação desejada e então realizar novamente uma translação inversa.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO Os sistemas de coordenadas com 3 eixos ortogonais podem ser descritos por diferentes posições dos eixos. A direção positiva na rotação será a que obedecer a regra da mão direita de ordenação dos eixos. Posicione sua mão direita aberta na direção do primeiro eixo, gire a mão de modo que ela aponte para o segundo eixo, afaste o dedão dos demais dedos.
ROTAÇÃO Verifique se o dedão aponta no sentido do terceiro eixo. Se isso for correto significa que os três eixos são positivos.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO Do contrário o sistema será negativo. Exemplo:
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO Outro método muito usada para a rotação é ao invés de rotar o objeto em si, rota-se o próprio espaço com o ângulo no sentido inverso. Um exemplo clássico onde é empregado essa técnica são os simuladores de vôo nos quais o piloto manipula a visão do espaço movimentando a cena.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO Pode-se observar na figura anterior a rotação do objeto usou o método de rodar consigo o espaço cartesiano por um determinado angulo.
ROTAÇÃO Os ângulos de Euler facilitam uma definição precisa das rotações em relação a um sistema de eixos. Esses ângulos definem a rotação em um plano pelo giro em torno de um vetor. São muito usados na mecânica e na física.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO Podemos definir três ângulos Euler em relação ao eixos de X,Y e Z respectivamente. Um ângulo que define o giro em torno do eixo x para os pontos no plano yz, outro ângulo que define o giro no eixo y no plano xz e o eixo z no plano xy.
ESPELHAMENTO A transformação de espelhamento(reflexão) em torno de um eixo, produz um novo objeto como se o objeto anterior fosse reproduzido por um espelho. No caso de uma reflexão 2D o espelho pode ser considerado sobre o eixo vertical ou horizontal e no caso da reflexão 3D o objeto pode ser refletido em qualquer um dos 3 planos.
ESPELHAMENTO
CISALHAR Cisalhar(shearing ou skew) é uma transformação que distorce o formato de um objeto. Nela aplica-se um deslocamento aos valores das coordenadas
CISALHAR
REFERÊNCIAS AZEVEDO, EDUARDO; CONCI, AURA. Computação Gráfica: Teoria e Prática. 3° Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2003. 368 p. LUZZARDI, PAULO R. G. (2012) Computação Gráfica dísponivel em: http://infovis.ucpel.tche.br/luzzardi/CompGraf.pdf acessado em 22/11/2012.