Árvore Binária de Busca Estrutura de Dados II Prof. Gale

Árvores Conceitos Existem alguns conceitos que são comuns a todos os tipos de árvores. Eis alguns desses conceitos que devemos conhecer: Nó: item de informação com ramos para outros nós (descendentes). Grau: número de sub-árvores de um nó. Folhas: nós terminais (grau = 0). Filhos de um nó: raízes das sub-árvores desse nó. Pai: ancestral direto de um nó. Grau de uma árvore: grau máximo dos nós da árvore. Ancestral de um nó: todos os nós a partir da raiz até o pai do nó. Descendentes de um nó: todos os nós nas sub-árvores de um nó. Nível de um nó:Raiz tem nível 1. Nó no nível i, seus filhos estão no nível i+1 Altura/profundidade de uma árvore: nível maior considerando qualquer nó da árvore.

Árvores binárias – árvore binária balanceada: • os nós internos têm todos, ou quase todos, 2 filhos • qualquer nó pode ser alcançado a partir da raiz em O(log n) passos

Árvore Binária É um conjunto finito de nós que pode ser vazio ou consistir de uma raiz e duas árvores binárias disjuntas chamadas sub-árvore esquerda e direita.

Fazendo Relação... “Nó Lista Ligada” X

X “Nó de uma Árvore Binária”

Ilustrando, ficaria...

Árvore Binária de Busca

Árvores binárias de busca – o valor associado à raiz é sempre maior que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à esquerda (sae) – o valor associado à raiz é sempre menor ou igual (para permitir repetições) que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à direita (sad) – quando a árvore é percorrida em ordem simétrica (sae - raiz - sad), os valores são encontrados em ordem não decrescente

Inserção de Nós

Outra inserção...

Nova Inserção...

E por fim...

Tipo árvore binária – árvore é representada pelo ponteiro para o nó raiz struct arv { int info; struct arv* esq; struct arv* dir; }; typedef struct arv Arv;

Operação de criação: – árvore vazia representada por NULL Arv* abb_cria (void) { return NULL; }

Operação de impressão: – imprime os valores da árvore em ordem crescente, percorrendo os nós em ordem simétrica void abb_imprime (Arv* a) { if (a != NULL) abb_imprime(a->esq); printf("%d\n",a->info); abb_imprime(a->dir); }

Pesquisa em árvores binárias de busca – compare o valor dado com o valor associado à raiz – se for igual, o valor foi encontrado – se for menor, a busca continua na sae – se for maior, a busca continua na sad

Operação de busca: – explora a propriedade de ordenação da árvore – possui desempenho computacional proporcional à altura (O(log n) para o caso de árvore balanceada) Arv* abb_busca (Arv* r, int v) { if (r == NULL) return NULL; else if (r->info > v) return abb_busca (r->esq, v); else if (r->info < v) return abb_busca (r->dir, v); else return r; }

Operação de inserção: – recebe um valor v a ser inserido – retorna o eventual novo nó raiz da (sub- árvore) – para adicionar v na posição correta, faça: se a (sub-)árvore for vazia – crie uma árvore cuja raiz contém v • se a (sub-)árvore não for vazia – compare v com o valor na raiz – insira v na sae ou na sad, conforme o resultado da comparação

Operação de remoção: – recebe um valor v a ser inserido – retorna a eventual nova raiz da árvore – para remover v, faça: • se a árvore for vazia – nada tem que ser feito • se a árvore não for vazia – compare o valor armazenado no nó raiz com v – se for maior que v, retire o elemento da sub-árvore à esquerda – se for menor do que v, retire o elemento da sub-árvore à direita – se for igual a v, retire a raiz da árvore

Operação de remoção (cont.): – para retirar a raiz da árvore, há 3 casos: • caso 1: a raiz que é folha • caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho • caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos

Exercícios 1.) Desenvolva um programa em “C” que crie uma árvore e insira dados nesta árvore. #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <stdlib.h> // definindo a estrutura da arvore struct arv { int info; struct arv* esq; struct arv* dir; }; typedef struct arv Arv;

// Criação da árvore Arv* abb_cria (void) { return NULL; } // Inserção de um nó Arv* abb_insere (Arv* a, int v) if (a==NULL) a = (Arv*)malloc(sizeof(Arv)); a->info = v; a->esq = a->dir = NULL; else if (v < a->info) a->esq = abb_insere(a->esq,v); else /* v > a->info */ a->dir = abb_insere(a->dir,v); return a;

E a impressão??? A Visualização dos dados...??? int main() { Arv* arvore; arvore = abb_cria(); arvore = abb_insere(arvore,5); arvore = abb_insere(arvore,7); arvore = abb_insere(arvore,2); arvore = abb_insere(arvore,11); arvore = abb_insere(arvore,13); getch(); return 0; } E a impressão??? A Visualização dos dados...???

Função de Impressão // impressão dos dados da árvore void abb_imprime (Arv* a) { if (a != NULL) abb_imprime(a->esq); printf("%d\n",a->info); abb_imprime(a->dir); }

Exercícios Propostos Exercicio 1 - Gere uma arvore de 20 nós com valores aleatórios de 0 a 100 e mostre a arvore e os endereços na tela

Exercícios Propostos Exercicio 2 - Implemente uma função que retorne a quantidade de folhas de uma árvore binária. Essa função deve obedecer ao protótipo: // int folhas (Arv* a)

Exercícios Propostos Exercicio 3 - Implemente uma função que compare se duas árvores binárias são iguais. Essa função deve obedecer ao protótipo: // Arv* igual (Arv* a, Arv* b)