Cálculo - Thomas Capítulo 3

Figura 3.1: Como classificar os máximos e mínimos.

Figura 3.4: Algumas possibilidades para pontos de máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo fechado [a, b].

Cont.

Figura 3.6: Os valores extremos de f(x) = 10x (2 – In x) ocorrem quando x = e e x = e2 (Exemplo 5).

Figura 3.13: Geometricamente, o Teorema do Valor Médio diz que, em algum lugar entre A e B, a curva apresenta pelo menos uma tangente paralela à corda AB.

Figura 3. 14: A corda AB é o gráfico da função g(x) Figura 3.14: A corda AB é o gráfico da função g(x). A função h(x) = ƒ(x) – g(x) fornece a distância na vertical entre os gráficos f e g em x.

Figura 3.21: Gráfico de ƒ(x) = x3 – 12x – 5. (Exemplo 1)

Figura 3.24: O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em (–, 0) e côncavo para cime em (0, ).

Figura 3.30: Gráfico de f (x) = x4 – 4x3 + 10. (Exemplo 10)

Figura 3.31: Soluções gráficas do Exemplo 2.

Figura 3.40: Reta de fase completa do crescimento logístico (equação 6).

Figura 3.41: As curvas de população do Exemplo 5.

Figura 3.42: Curva logística que apresenta o crescimento de levedura em uma cultura. Os pontos representam os valores observados. (Dados de R. Pearl, “Crescimento de populações” Quart. Rev. Biol. 2 (1927): 523-548.)

Figura 3.43: Um caixa sem tampa feita recortando-se os cantos de uma chapa quadrada de estanho (Exemplo 1).

Figura 3.46: O gráfico de A = 2r 2 + 2000/r é côncavo para cima.

Figura 3.48: Um raio de luz sofre refração (é desviado de sua trajetória) quando passa de um meio para outro (Exemplo 4).

Figura 3.51: O gráfico de uma função de custo típica começa côncavo para baixo e depois se torna côncavo para cima, cruzando a curva de receita no ponto de equilíbrio B. À esquerda de B, a empresa opera no prejuízo. À direita, ela opera no lucro, ocorrendo lucro máximo quando c´(x) = r´(x). Mais a direita ainda, o custo excede a receita (talvez devido a uma combinação entre elevação dos custos de mão-de-obra e matéria-prima associados à saturação do mercado) e os níveis de produção tornam-se novamente não lucrativos.

Figura 3.53: O custo médio diário c(x) é a soma de uma hipérboke e de uma função linear (Exemplo 6).

Figura 3.54: Quanto mais ampliamos o gráfico de uma função próximo a um ponto onde a função é derivável, mais ‘reto’ o gráfico se torna e mais ele se assemelha à sua tangente.

Cont.

Figura 3.59: Aproximando a variação na função f pela variação na linearização de f.

Figura 3.61: O método de Newton começa pela estimativa inicial x0 e (sob circunstâncias favoráveis) melhora a estimativa a cada passo.

Figura 3. 62: Geometria das estapas sucessivas do método de Newton Figura 3.62: Geometria das estapas sucessivas do método de Newton. A partir de xn, seguimos para cima até a curva e descemos pela reta tangente para determinar xn–1.

Figura 3. 68: O método de Newton não consegue convergir Figura 3.68: O método de Newton não consegue convergir. Você vai de x0 a x1 e volta para x0, nunca se aproximando de r.

Figura 3.69: Se você começar muito distante, o método de Newton pode perder a raiz que você deseja. x

Figura 3.70: (a) Valores iniciais em (–2/2), (–21/7, 21/7), e (2/2, conduzem, respectivamente, às raízes A, B, e C. (b) Os valores x = ± 21/7 levam apenas um ao outro. (c) Entre 21/7 e 2/2, há infinitos intervalos abertos de pontos atraídos para A, alternando-se com intervalos abertos de pontos atraídos para C. Esse comportamento está espelhado no intervalo (–2/2, –21/7).