Unidade 2.3 – Porcentagens e Juros Simples Ensino Superior Matemática Básica Unidade 2.3 – Porcentagens e Juros Simples Amintas Paiva Afonso

Porcentagens e Juros Amintas Paiva Afonso ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Introdução Porcentagem é a fração (ou parte) de um valor ou quantidade, que se determina pela quantidade correspondente a cada 100. As porcentagens fazem parte do nosso dia-a-dia. Os casos de dengue reduziram 35% neste ano. A gasolina vai ter um aumento de 8%. A inflação de 2009 não deve ser superior a 10%. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Existem três formas de se expressar uma porcentagem Frações x Percentuais Existem três formas de se expressar uma porcentagem Percentual Fracionária Decimal 5% = 5/100 = 1/20 = 0,05 20% = 20/100 = 1/5 = 0,2 80% = 80/100 = 4/5 = 0,8 100% = 100/100 = 1 = 1 200% = 200/100 = 2/1 = 2 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Calcular uma determinada porcentagem de um valor. Como calcular 20% de 130? 20% = 20/100 = 1/5 = 0,2 Multiplicamos 130 por 20/100 Multiplicamos 130 por 1/5 Multiplicamos 130 por 0,2 obtendo 26 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Na aplicação das fórmulas para resolução dos problemas da Matemática Comercial e Financeira utilizamos as porcentagens escritas na forma decimal. Como transformar percentuais para decimais e vice-versa ? De percentual para decimal: andamos com a vírgula duas casas para a esquerda. Ex: 25,5% = 0,255 De decimal para percentual: andamos com a vírgula duas casas para a direita. Ex : 0,385 = 38,5% ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Exemplos : Percentual Decimal 32,56% 0,3256 0,05 0,0125 2,25 0,6535 0,076 0,0052 3,625 5% 1,25% 225% 65,35 % 7,6% 0,52% 362,5% ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Problema Básico Para calcular o valor de p (parte do todo), devemos multiplicar C (o todo) por i (taxa percentual), sendo i expressa em notação fracionária ou decimal: p = C . i Ex : Quanto é 32,5% de 220 ? p = 220 . 0,325 p = 71,5 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exercícios 1) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu 12% de uma estrada. Ao concluir o segundo trecho, correspondente a 1200 metros, o percentual percorrido passou a ser 16% da estrada. Determine a extensão da estrada. 2) Um autor recebe 10% de direitos autorais de um livro que é vendido por R$ 75,00. Para que o autor ganhe R$ 11.730,00 determine o número de livros que deve ser vendido. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exercícios 3) Para a estréia de um espetáculo foram emitidos 1800 ingressos, dos quais 60% foram vendidos até a véspera do dia de sua realização por um preço unitário de R$ 45,00. Considerando que todos os ingressos emitidos serão vendidos, por quanto cada ingresso deverá ser vendido no dia do espetáculo para que a arrecadação total, com a venda dos ingressos, seja de R$ 88.200,00? ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Aumentos e Descontos Como vimos p = C . i pode ser o aumento ou o desconto percentual. Logo, o valor final poderá ter recebido um acréscimo ou uma redução. Aumento percentual: Valor final = Valor inicial + aumento Valor final = C + C . i Valor final = C (1 + i ) Desconto percentual: Valor final = Valor inicial - desconto Valor final = C - C . i Valor final = C (1 - i ) ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Exemplo 1 Uma ação cujo valor era R$ 18,25 subiu 5%. Qual é o novo valor dessa ação? Solução: Valor Final = Valor inicial + aumento Valor final = C + C . i Valor final = C (1+ i) Valor final = 18,25 (1 + 0,05) Valor final = 18,25 . 1,05 = 19,16 Resposta : A ação passou a valer R$ 19,16 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Frações x Percentuais Exemplo 2 Uma ação cujo valor era R$ 18,25 desvalorizou em 5%. Qual é o novo valor dessa ação? Solução: Valor final = Valor inicial - desconto Valor final = C - C . i Valor final = C ( 1 - i ) Valor final = 18,25 (1 - 0,05) Valor final = 18,25 . 0,95 = 17,34 Resposta : A ação passou a valer R$ 17,34 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

O problema da mudança de base Exemplo 1: Um computador custa R$ 2.500,00. Seu preço sofreu um aumento de 30%, devido à elevação dos custos de seus componentes. Como a loja não consegue vender um computador devido ao reajuste, fez uma promoção dando 30% de desconto em seu preço. Determine o novo preço de venda. Preço com aumento = 2 500 . (1 + 0,3) = R$ 3.250,00 Preço com desconto = 3 250 . (1 – 0,3) = R$ 2.275,00 => Preço original = R$ 2.500,00 Preço final = R$ 2.275,00 Preço final é diferente do preço original ! POR QUE ? ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

O problema da mudança de base Exemplo 2: Se uma ação da bolsa de valores cair 10% em uma semana e subir 10% na próxima semana, o seu preço sofre alteração? Valor inicial = X Valor após queda de 10% = X . (1 - 0,1) = 0,9 . X Valor após a alta de 10% = 0,9 . X . (1 + 0,1) = 0,99 . X Supondo um valor inicial de R$ 1.000,00 o valor final da ação seria de R$ 990,00. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Descontos (ou aumentos) sucessivos Exemplo 1: Uma mercadoria de R$ 120,00 sofre um aumento de 10% em um mês e de mais 15% no próximo mês. Qual será o preço final da mercadoria? De quanto será o aumento total sobre o preço original? Atenção : não é 25 % !!! ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Descontos (ou aumentos) sucessivos Preço inicial = R$ 120,00 Preço após 1o Aumento = 120 . (1 + 0,10) Preço após 1o Aumento = 132 Preço final (após 2o aumento) = 132 . (1 + 0,15) Preço final = R$ 151,80 Valor final = Valor inicial (1 + i) 151,80 = 120 (1 + i) 1 + i = 151,80 / 120 1 + i = 1,265 => i = 0,265 = 26,5 % (aumento total) ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Lucro em função do preço de custo Toda mercadoria possui : Preço de Custo  PC Preço de Venda  PV Lucro  L PV = PC + L L = PV - PC ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Lucro em função do preço de custo Exemplos : 1) Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine: a) o lucro obtido na venda do produto. b) o lucro percentual. 2) Uma pessoa comprou um computador por R$ 4.000,00 e deseja vende-lo para obter um lucro de 20% sobre a compra, determine o preço de venda do computador ? 3) Um investidor comprou um terreno e o revendeu, por R$18.750,00 lucrando 25% . Determine o preço de custo ? ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Juros Simples - Conceito Dado um capital (C), ele deverá render juros (j) a uma taxa constante (i) por um determinado número de tempo (t), gerando um montante (M). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros. Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Juros Simples - Fórmulas Assim, a cada período há um acréscimo de “C . i” ao capital inicial. Desse modo, após n períodos o juro total produzido será: j = C . i . t C = capital inicial t = tempo i = taxa de remuneração do capital inicial j = valor dos juros produzidos pelo capital “C” à taxa de juros “i” em um determinado tempo “t”. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exemplo Um capital inicial de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual é o valor dos juros recebidos por essa aplicação durante o período ? j = C . i . t j = 500 . 0,03 . 4 j = 60 Resposta : Essa aplicação rende R$ 60,00 de juros durante o período aplicado (4 meses) ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Juros Simples - Fórmulas Sabemos que o montante (M) é igual ao Capital Inicial (C) acrescido do total de juros (j), ou seja: M = C + j Conforme vimos anteriormente: j = C . i . t , então: M = C + C . i . t E colocando o C em evidência, tem-se que M = C.(1+ i . t) Fórmula de Juros Simples ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exercícios de aplicação da fórmula 1º Grupo – Dados C, t, i, achar M Ex: Um capital de R$ 50.000,00 estará aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês durante 3 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação. 3 anos = 36 meses (taxa e prazo compatíveis) M = C (1 + i . t) M = 50 000 (1 + 0,02 . 36) M = 50.000 . 1,72 M = 86 000 Resposta: O montante é de R$ 86.000,00 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exercícios de aplicação da fórmula 2o Grupo – Dados M, t, i, achar C Ex: Sabendo-se que o montante resgatado no vencimento foi de R$ 117.800,00, determinar o principal aplicado durante o prazo de 8 meses na taxa de 3% ao mês. M = C (1 + i . t) 117 800 = C (1 + 0,03 . 8) 117 800 = C * 1,24 C = 117 800 / 1,24 = 95 000 Resposta: O principal aplicado foi de R$ 95.000,00 ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exercícios de aplicação da fórmula 3o Grupo – Dados M, t, C, achar i Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 172.000,00, o principal aplicado de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal relativa a aplicação. 1 ano = 12 meses M = C (1 + i . t) 172.000 = 100.000 (1 + i . 12) 172.000 / 100.000 = 1 + i . 12 1,72 - 1 = 12 . i i = 0,72 / 12 = 0,06 Resposta: A taxa de juros da aplicação é de 6% a.m. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I

Exercícios de aplicação da fórmula 4o Grupo – Dados M, C, i, achar t Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 368.000,00, o principal aplicado de R$ 200.000,00 e a taxa de juros de 7% ao mês simples, determinar o prazo da aplicação. M = C (1 + i . t) 368 000 = 200 000 (1 + 0,07 . t) 368 000 / 200 000 = 1 + 0,07 . t) 1,84 = 1 + 0,07 . t 1,84 – 1= 0,07 . t t = 0,84 / 0,07 = 12 Resposta: O prazo da aplicação é de 12 meses. ENGENHARIA ELÉTRICA MATEMÁTICA BÁSICA I