CÁLCULO DA INVERSA DA BASE Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro - 2009

Cálculo da inversa da base O método simplex revisado não computa a inversa B-1 da base diretamente. A primeira base considerada é sempre uma matriz identidade: B = I B-1 = I A partir dessa base, as demais são calculadas por um procedimento computacional, que será mostrado a seguir.

Cálculo da inversa da base Seja uma matriz identidade representada por: Im = (e1, e2, ..., em) Onde ei são vetores identidade, com o elemento 1 na linha i. Sejam xK a variável que entra na base, aik o coeficiente de xK na iteração i e r o número da equação que contém a variável que sai. A próxima inversa da base pode ser calculada, a partir da inversa atual, fazendo-se a seguinte operação.

Cálculo da inversa da base B-1nova = E . B-1 Onde a matriz E é dada por E = (e1, e2, ..., er-1, δ, er+1, ..., em) e o vetor δ é formado da seguinte forma:

Cálculo da inversa da base - aik/ ark : δ = 1/ ark Onde usamos: - aik/ ark; se i≠r 1/ ark; se i = r ark  pivô

Cálculo da inversa da base Assim, a matriz E é uma matriz identidade onde a coluna r foi substituída pelo vetor calculado acima. Através deste procedimento, as inversas das bases serão calculadas sucessivamente de uma Forma computacionalmente simples.

SIMPLEX Exemplo para explicação do algoritmo do método simplex revisado Max x1 + x2 Max x1 + x2 s.a: 2x1 + x2 ≤2 s.a: 2x1+x2 + x3=2 x1 + 3x2 ≤ 3 x1+3x2+x4=3 x1≥0 e x2≥0 x1,x2,x3,x4≥0

simplex x1 x2 x3 x4 b x3 2 1 1 0 2 ½ 0 0 x4 1 3 0 1 3 E= -½ 1 0 1 1 0 0 0 -½ 0 1 x1 1 ½ ½ 0 1 1 -1/5 0 x4 0 5/2 -½ 1 2 0 2/5 0 0 ½ -½ 1 -1 0 -1/5 1

simplex x1 1 0 3/5 -1/5 3/5 x2 0 1 -1/5 2/5 4/5 0 0 -2/5 -1/5 -7/5

Algoritmo Simplex Revisado Inicialização: Determine uma partição para a matriz A dada por A=[B : N] e em conseqüência para cT=[cBT : CNT] e xT=[xBT:xNT] logica  verdade Enquanto (logica) faça //teste de otimalidade// Se (cN-cBTB-1Ni) < = 0 Lógicafalso Senão b’j  B-1b Nji  B-1Nji Se Nji < = 0 j=1,...,m Escreva(“Saida p/ ilimitação”) halt Min{bj/Nji tal que Nji > 0)} E  (e1, e2, ...,er-1, δ, er+1, ..., em) B-1  E.B-1 Fim se Fim enquanto Z  cBTB-1b xB  E.xB escreva (Z, xB) Fim