Pós-graduação em Ciência da Computação – UFU Revisão Autômatos Teoria da Computação Pós-graduação em Ciência da Computação – UFU Profa. Sandra de Amo

Como detectar se uma linguagem não é regular ? Seja L uma linguagem regular Existe autômato A tal que L(A) = L A = ({q0,…,qn-1}, S, δ, q0,F) w = a1 a2 a3 a4 … ak palavra de L a1 q0 qf q1 a2 ak a3 qs a4 q2 qi qj

Como detectar se uma linguagem não é regular ? Qual o comprimento máximo de w para que todos os estados percorridos sejam distintos ? O caminho percorrido tem no máximo n estados Logo w tem no máximo comprimento n-1 a1 q0 qf q1 a2 ak a3 qs a4 q2 qi qj

Como detectar se uma linguagem não é regular ? E se comprimento de w for maior ou igual a n ? O caminho percorrido terá estados repetidos Seja q2 o primeiro estado que se repete futuramente e tal que não existem estados repetidos entre as duas ocorrências de q2 a1 q0 qf qs ak q1 a2 a4 q2 q2 q2 qi a3 sem estados intermediários repetidos

Como detectar se uma linguagem não é regular ? E se comprimento de w for maior ou igual a n ? O caminho percorrido terá estados repetidos w = a1a2a3a4…ak qf ak ak a1a2 … ak a1 q0 qs a1a2 a3a4 a3a4…ak q1 a2 a1a2 a3a4 a3a4 a3a4…ak a4 q2 qi w = a1a2 a3 a4 … ak a3 x y z

|x y| ≤ n e |y| > 0 w = a1a2 a3 a4 … ak x y z O caminho percorrido pela palavra xy tem no máximo um estado repetido (q2) Logo, total de estados percorridos pela palavra é no máximo n+1. Portanto a palavra xy tem comprimento máximo n |y| = comprimento do caminho percorrido no laço (q2... qi ... q2) O número mínimo de estados dentro do laço é zero, o que produziria |y| = 1 Logo |y| > 0 qf ak ak a1 q0 qs q1 a2 a4 q2 qi a3

Como detectar se uma linguagem não é regular ? Se L é regular e w pertence a L e |w| ≥ n, então: w = x y z |x y| ≤ n | y | > 0 x yk z pertence a L para todo k ≥ 0

Como detectar se uma linguagem não é regular ? Se L é regular então Existe n > 0 (n = número de estados do automato minimal que aceita L) tal que: Para toda palavra w de L com |w| ≥ n Existe uma maneira de dividir w em 3 partes w = x y z | x y | ≤ n, |y| > 0 Para todo k ≥ 0 x yk z pertence a L

Como detectar se uma linguagem não é regular ? Se a expressão abaixo nao se verifica Existe n > 0 (n = número de estados do automato minimal que aceita L) tal que: Para toda palavra w de L com |w| ≥ n Existe uma maneira de dividir w em 3 partes w = x y z | x y | ≤ n, |y| > 0 Para todo k ≥ 0 x yk z pertence a L então L não é regular

Para mostrar que L não é regular basta mostrar que a expressao abaixo é falsa ! Existe n > 0 (n = número de estados do automato minimal que aceita L) tal que: Para toda palavra w de L com |w| ≥ n Existe uma maneira de dividir w em 3 partes w = x y z | x y | ≤ n, |y| > 0 Para todo k ≥ 0 x yk z pertence a L

Para mostrar que L não é regular basta mostrar que a expressao abaixo é falsa ! Para todo n > 0 Existe palavra w de L com |w| ≥ n Para toda maneira de dividir w em 3 partes w = x y z | x y | ≤ n, |y| > 0 Existe k ≥ 0 x yk z não pertence a L

Exemplo L = {0k 1k | k ≥ 0} nao é regular Para todo n > 0 Tenho de exibir uma palavra w de L com |w| ≥ n Tal que para toda maneira de dividir w em 3 partes w = com a parte | x y | ≤ n, |y| > 0 Existe um k tal que x yk z não está em L. X y z

Exemplo Não está em L n vezes n vezes m vezes, m > n n vezes x y z … 1 1 1 … 1 n vezes n vezes … 1 1 … 1 1 x y y z m vezes, m > n n vezes Não está em L