ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1 10. 9. 8! Exemplo: Calcular o valor de: 90 c) = = 8! a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 24 + 6 7.6.5.4.3.2.1 4!+3!  7! 30 5040

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 O conjunto solução de: d) é: 50. 49! – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! 49! m – 3 = 1 m – 3 = 0 m = 4 m = 3 49! (50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)! = 210 49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1).n = 210 49 n2 + n – 210 = 0 n’ = 14 n’’ = - 15 (não convém)

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000

Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis Usando o princípio fundamental da contagem: 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 : : : 10 10 10 10 244 = 10 000 números fixo

Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 100 99 = 9900 maneiras

TIPOS DE AGRUPAMENTOS USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO IMPORTA ORDEM NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM FORMULÁRIO Pn = n!

n = 8 “total” A C p = 2 “usa” Corda AC = CA COMBINAÇÃO USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 “total” A C p = 2 “usa” Corda AC = CA COMBINAÇÃO

N U M E R O X E R O {U, M, E, R} USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine: c)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas. a) Total de Anagramas Pn = n! N U M E R O X E R O P6 = 6! P3 . P4 3!.4! 6 . 24 = 144 P6 = 720 b)O número de anagramas que começam em “N” e terminam em “O” N O d)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas e nessa ordem. {U, M, E, R} P4 = 4! = 24

USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento) 05) ( ITA ) O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:

n = x “total” p = 2 “usa” COMBINAÇÃO USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: n = x “total” p = 2 “usa” José – Carlos Carlos – José COMBINAÇÃO 56 = x2 - x x2 – x – 56 = 0 x = 8

USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é: x2 – x =56 x2 – x – 56 = 0 x = 8

ou  + e  x F F V ARRANJO  P.F.C F 8 7 6 =336 USA TODOS ELEMENTOS  PERMUTAÇÃO  ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS  COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30. 01. A equação = 12 não possui solução. ou  + e  x F F x(x – 1) = 12 x2 – x – 12 = 0 x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve). 08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56. 02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas Pn = n! V P4 = 4! = 24 ARRANJO  P.F.C F 8 7 6 =336

F F F V 09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. 02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento) 04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. 08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. F F F Terminados em 2  TOTAL: 180 V Terminados em 6