análise geometricamente linear 3. Comportamento mecânico dos materiais Resumo dos Capítulos 3-4: O MC exibe devido às solicitações: Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes 6 Equações deformações - deslocamento 3 Equações de equilíbrio A ligação que falta são as equações que relacionam Equações constitutivas (6): é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC Ensaio uniaxial análise geometricamente linear Limite de linearidade E=tgα α análise fisicamente linear Análise linear

1. Definição de constantes elásticas declive inicial do gráfico tensão - deformação módulo de elasticidade: E = tgα unidade: Pa, GPa=109Pa Módulo de Young Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos de tensão e de deformação E tangente inicial E tangente E secante inicial E secante Thomas Young (1773-1829)

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) Efeito de Poisson Lei de Hooke Robert Hooke (1635-1703) Siméon-Denis Poisson (1781-1840) Δh: variação da altura < 0 ΔL: variação do comprimento > 0 : coeficiente ou número de Poisson (sem unidade) extensão na direcção transversal à força aplicada extensão na direcção da força aplicada razão negativa

Módulo de distorção, Módulo de corte (GPa) Assume-se distribuição uniforme Módulo de distorção, Módulo de corte (GPa) Módulo de volume (“bulk”) K (GPa) E, , G, K: constantes elásticas do material 2. Definições ligadas ao comportamento do material Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço) Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço) Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos

3. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear Duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material, habitualmente usam-se E e ν Carga na direcção de x Valor negativo obtém-se em materiais não-homogéneos Condição necessária e suficiente de isotropia Consequência da lei constitutiva incompressível Comportamento linear Lei de Hook generalizada

[C]: matriz de rigidez de material [D]: matriz de flexibilidade de material [C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6,6) Indiferentes do referencial Direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem

4. Estados planos Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z” a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos Tensão plana Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa (2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões) Apenas índices x, y e xy (invariante)

Estados planos não correspondem um a outro !!! Deformação plana Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens (invariante) Estados planos não correspondem um a outro !!!

5. Materiais ortotrópicos Existem 3 direcções ortogonais de ortotropia para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia De simetria Carga na direcção i matriz de rigidez pela inversão ambas sempre positivamente definidas, ou seja com determinante maior que zero direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação

Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno 6. Outras designações para comportamento dos MC mais geral Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes descarga linear plástica, permanente E tangente inicial elástica descarga linear E secante inicial elástica plástica, permanente Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas

transição entre o comportamento reversível e irreversível Tensão de cedência: incompressibilidade após enfraquecimento, amaciamento endurecimento Mais rígido após a cedência plasticidade perfeita Menos rígido após a cedência Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência Modelos para o cálculo C. rígido perfeitamente plástico C. elasto-perfeitamente plástico C. elasto-plástico com endurecimento