DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE Prof. Airton Nabarrete

Apresentação em tema: "DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE Prof. Airton Nabarrete"— Transcrição da apresentação:

1 DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE Prof. Airton Nabarrete
Capa Aula 1: Introdução e Modelagem Dinâmica

2 Programa Problemas em dinâmica de estruturas. Modelagem analítica.
Modelagem matemática: Métodos Newtonianos Métodos Lagrangeanos Programa da aula 1

3 Problemas em dinâmica de estruturas
Ensaio em túnel de vento Ensaio em vôo Ensaio em solo Problemas em dinâmica de estruturas - ponte de Tacoma (vídeo) - ensaio em túnel de vento - ensaio em vôo - ensaio em solo

4 Projeto de estruturas e análise dinâmica
Passos de projeto e análise dinâmica - relatar principalmente as caixas verdes

5 MODELAGEM ANALÍTICA E MATEMÁTICA

6 Modelagem analítica e matemática
Modelagem Analítica – Metodologias que permitem a opção por representação contínua ou discreta Modelagem Matemática - Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento Modelagens analítica e matemática - descrever a equação apresentada na forma matricial - apresentar equação com 1 gdl

7 Análise de Estruturas Dinâmicas
Modelagem analítica Está representada quando: Fazemos o desenho de uma estrutura no papel, Adotamos hipóteses simplificadoras como: estrutura unidimensional ou bidimensional, propriedades de inércia, rigidez, amortecimento, etc., carregamento equivalente aplicado à estrutura. Modelagem analítica

8 Análise de Estruturas Dinâmicas
Modelagem Analítica – Metodologias com opção por representação contínua ou discreta representações discretas t = pneus v = veículo w = roda r = piloto s = suspensão representação contínua eq = equivalente Modelagem analítica

9 Análise de Estruturas Dinâmicas
Modelagem Analítica – Representação em sistemas de massas e molas. Modelagem analítica

10 Análise de Estruturas Dinâmicas
Fenômenos energéticos Características energética em componentes estruturais Meios elásticos - Armazenam energia potencial Massas e inércias - Armazenam energia cinética Atritos - Dissipam energia energia de vibração : energia potencial  energia cinética Considerações sobre a energia durante a vibração. pode diminuir : atritos pode aumentar : esforços atuantes

11 Análise de Estruturas Dinâmicas
Modelagem Matemática – Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento 2ª lei de Newton . princípio de D'Alembert . princípio dos deslocamentos virtuais . princípio da conservação da energia . equações de Lagrange . princípio de Hamilton . Modelagem matemática. - 6 métodos para obtenção da equação do movimento.

12 Mecânica Newtoniana 2ª Lei de Newton ( 1687 em Principia ) linear :
“Vista de um referencial inercial, a resultante das forças aplicadas ao centro de massa de um sistema é igual à variação temporal da quantidade de movimento linear do mesmo”. linear : sendo a massa constante, 1. 2ª. Lei de Newton rotativo :

13 Mecânica Newtoniana 2ª Lei de Newton
considerando o oscilador protótipo : equilíbrio : 1. 2ª. Lei de Newton no caso do oscilador protótipo. equação final :

14 permite reduzir problemas de dinâmica em problemas de estática.
Mecânica Newtoniana Princípio de d’Alembert (1743 por Jean Ronde D'Alembert) “Qualquer sistema de forças e/ou momentos está em equilíbrio se adicionarmos às forças e/ou momentos as forças e/ou momentos de inércia.” forças : momentos : linear : rotativo : 1. Princípio de d’Alembert. permite reduzir problemas de dinâmica em problemas de estática.

15 Mecânica Newtoniana Princípio de d’Alembert
considerando o oscilador protótipo : Fi equilíbrio : 1. Princípio de d’Alembert no caso do oscilador protótipo. equação final :

16 Mecânica Lagrangeana Princípio dos deslocamentos virtuais: ( Johann Bernoulli) “Para qualquer deslocamento virtual de um sistema, o trabalho virtual de todas as forças aplicadas ao mesmo, incluindo as forças de inércia, deve ser igual a zero”. a = aplicada ; i = inércia no caso do sistema protótipo: 1. Princípio dos deslocamentos virtuais.

17 Mecânica Lagrangeana Princípio da conservação da energia:
“A variação temporal da energia mecânica de um sistema é igual à potência instantânea absorvida ou dissipada pelo sistema”. P incorpora as forças dissipadas e forças externas aplicadas ao sistema. no caso do sistema protótipo: 1. Princípio dos deslocamentos virtuais no sistema protótipo.

18 Mecânica Lagrangeana Equação de Lagrange: energia cinética:
energia potencial elástica: Lagrangeano: 1. Equações de Lagrange. trabalho das forças não conservativas:

19 Mecânica Lagrangeana Equação de Lagrange:
considerando o oscilador protótipo : 1. Equações de Lagrange no oscilador protótipo.

20 Mecânica Lagrangeana Princípio de Hamilton (1834) matematicamente :
“A variação da integral da função Lagrangeana adicionada à integral do trabalho virtual das forças não-conservativas de um sistema entre dois instantes de tempo é nula, desde que as configurações inicial e final do sistema sejam prescritas.” matematicamente : Princípio de Hamilton - Em t1 o estado conhecido ou prescrito, - evolui segundo uma trajetória dinâmica com o passar do tempo, - volta a possuir um estado prescrito em t2. 2. As trajetórias entre t1 e t2, são possíveis funções que resolvem o sistema dinâmico. 3. Pelo princípio o sistema adotará a trajetória que minimiza a atividade dinâmica (energia). 4. O princípio também é conhecido como princípio da ação mínima.

21 Mecânica Lagrangeana Princípio de Hamilton
considerando o oscilador protótipo : Fi 1. Princípio de Hamilton no caso do oscilador protótipo. Aplicando a variação na primeira integral:

22 Mecânica Lagrangeana Princípio de Hamilton
Integrando por partes o primeiro termo: Considerando estados prescritos, 1. Princípio de Hamilton no caso do oscilador protótipo. Por fim:

23 Posição de Equilíbrio Equilíbrio estático na modelagem matemática:
2ª Lei de Newton ou Princípio de d’Alembert: ao considerar oscilações em torno do equilíbrio, e Posição de equilíbrio. - Como tratar na equação? do problema estático,

24 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS

25 Classificação de Sistemas Dinâmicos
(quanto ao número de graus de liberdade) Sistema discretos Sistema distribuídos Sistemas com um grau de liberdade Sistemas com n grau de liberdade métodos de ______discretização análise ___________modal

26 Sistema Linear x Não Linear
Elemento elástico discreto: Mola comercial F = Força atuante Dx = Deformação Mola de comportamento não linear: Mola de comportamento linear:

27 Classificação de Sistemas Dinâmicos (quanto a linearidade)
vale princípio de superposição grandes deformações movimento de corpo rígido equação constitutiva sistema não linear

28 Classificação de Sistemas Dinâmicos (quanto ao tipo de excitação)
transiente periódica excitação determinística harmônica periódica qualquer excitação aleatória

29 Classificação de Sistemas Dinâmicos (quanto ao tipo de solução)
uso de superposição soluções analíticas métodos numéricos sistemas lineares sistemas não lineares métodos numéricos métodos de perturbação

30 Classificação de Sistemas Dinâmicos
(técnicas de solução – sistemas lineares) transformada de Laplace método numérico problemas transientes transformada de Fourier método numérico problemas periódicos (estado estacionário)

31 MODELOS DISCRETOS

32 Elementos Ideais Mola ideal: armazena energia potencial elástica
não tem massa não dissipa energia (sem histerese) linear Equação constitutiva: lei de Hooke

33 Elementos Ideais Estrutura axial como mola ideal:
E = Módulo de Elasticidade [N/m2] A = Área da seção transversal [m2] L = Comprimento inicial [m]

34 Elementos Ideais Estrutura sob flexão como mola ideal:
I = Momento de inércia da seção transv. [m4] y = Deslocamento da flexão [m]

35 Elementos Ideais Massa ideal: armazena energia cinética rígida
Equação constitutiva: lei de Newton (válida apenas em um referencial inercial)

36 Elementos Ideais Mola de compressão ideal (sem massa):

37 Elementos Ideais Amortecedor ideal: dissipa energia não tem massa
não tem rigidez viscoso Equação constitutiva: atrito viscoso

38 Elementos Ideais Dissipadores de energia: atrito atrito viscoso
atrito seco atrito aerodinâmico histerese (atrito sólido)

39 Elementos Ideais Componentes ideais: Força Constante
Energia ou Potência Molas Massa Amortecimento

40 CASO DE APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

41 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Caso : Suspensão veicular de eixo rígido e diferencial Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange.

42 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Aplicando equações de Lagrange : Energia cinética: Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange. a. Energia Cinética

43 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Energia potencial Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange. a. Energia Cinética b. Energia Potencial

44 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Função de dissipação Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange. a. Energia Cinética b. Energia Potencial c. Função de dissipação

45 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Escrevendo as equações de Lagrange : Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange. - Deriva-se 6 equações.

46 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Para o grau de liberdade x1 : Para os outros graus de liberdade: Deriva-se equação de Lagrange para cada grau de liberdade As equações podem estar acopladas Resolve-se o sistema de equações diferenciais Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange. - outros graus de liberdade com o mesmo procedimento.

47 Caso de modelagem: 6 Graus de Liberdade
Exemplo : Este exemplo é sugerido para aplicação das equações de Lagrange. - Deriva-se 6 equações.

48 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

49 Exercícios propostos Ex.1- Determinar a equação diferencial do movimento do modelo analítico abaixo considerando o método de energia conservativa: Grau de liberdade: q Considerar: a. Massa do cabo nula, b. Momento de inércia JO = mL2 c. Pode haver grande deslocamento em q.

50 Exercícios propostos Ex.2- Determinar as equações dinâmicas do modelo analítico considerando método Newtoniano: Graus de liberdade: q (barra) e x Considerar: k1=150 N/m k2=200 N/m c =15 Ns/m m=1,5 kg Jb=0,35 kg.m2 l1=0,15 m , l2=0,25 m , l3=0,4 m Obs.: Considerar vibração c/ pequeno deslocamento da barra.

51 Exercícios propostos Ex.3 - O modelo analítico representa a vista lateral de uma aeronave sobre os trens de pouso. Neste modelo, a coordenada x descreve o deslocamento do C.G. e o ângulo q a rotação da aeronave no plano da figura. A aeronave possui massa de 5500 kg, momento de inércia de massa igual a 1200 kg.m e comprimento igual a 7,5 m. A mesma está apoiada em 2 trens de rodas (cada suspensão tem rigidez N/m ). Na cauda da aeronave há um esforço vertical F(t)= 250 cos(w t ) proveniente do motor de propulsão. Neste exercício, considerar pequeno deslocamento em q . Obs.: Distância do C.G. ao trem dianteiro = 3,5 m (à esquerda da figura) .