Visão Computacional Shape from Shading e Fotométrico Eséreo

Gradiente 2D

Na prática, uma aproximação P0(x0,y0) P1(x1,y1)

Gradiente de superfícies Vetor (p,q) tal que: p q p q x y f f Normal

Shape from X X = motion (movimento) X = shading (sombreamento) X = textura (regiões com textura uniforme) X = line-drawing X = fotométrico estéreo X = estéreo

Shape from shading

Relaxação Inicializa orientação para cada elemento (aos seus píxels na imagem baseado na intensidade) Orientação dos vizinhos é relaxada umas contra as outras até que cada uma convirja par auma orientação única

Shape from shading Estimar a forma, dada apenas uma imagem N Luz Observador e n0n0 i

Funções de refletividade Considere uma fonte de luz distante Considere os ângulos i (incidente), e (emissor) e g (fase) na figura anterior Reflectância de uma superfície é a fração do fluxo de energia incidente refletido em uma dada direção Formalmente, a função de refletividade é: onde L é radiância que sai e E o fluxo incidente A quantidade de interesse é a irradiância da imagem, dada por: L = r dE

Função de refletividade Consideremos funções de reflexão mais simples, lambertianas, proporcional apenas ao cosseno do ângulo de incidência da luz Consideremos a função de refletividade relacionada ao gradiente da superfície, medido em relação a um sistema de coordenadas orientado no observador Conceito de espaço-gradiente é essencial

O espaço-gradiente Refere-se à orientação física da superfície, não da intensidade local, não confundir com gradiente da intensidade Espaço gradiente é o espaço bidimensional da inclinação das superfícies da cena É definido, para uma superfície expressa por – z=f(x,y) como o vetor (p,q):

O espaço-gradiente Qualquer plano na imagem pode ser expresso em termos de seu gradiente Equação geral do plano é: Ax+By+Cz+D=0 Então: da equação anterior: -z = px +qy+K Espaço gradiente é o espaço vetorial (p,q) 2D Gradiente perpendicular ao eixo ótico é (0,0)

Gradiente de superfícies Vetor (p,q) tal que: p q p q x y f f Normal

Espaço gradiente (0,0) (0, ) (,0) (-,0) (0,- ) Direção atan2(q,p) é a direção de mudança mais rápida da profundidade da superfície à medida que x e y mudam. é a taxa de variação.

Mapa de reflectância O mapa de reflectância R(p,q) representa esta variação de brilho percebido com a orientação da superfície R(p,q) dá a radiância da cena como uma função do gradiente da superfície R(p,q) é usualmente mostrado como contornos de radiância constante da cena (curvas de nível ou de mesma intensidade)

Casos importantes Superfície lambertiana, como observador e fonte de luz na mesma direção (i=e) Superfície lambertiana possui intensidade constante para ângulos de iluminação constantes Ângulos constantes ocorrem a círculos concêntricos Superfícies mais brilhantes são as iluminadas na direção normal, de frente para o observador, portanto de gradientes (0,0).

Mapa de reflectância p q

Mapa de Reflectância Neste caso, ângulo incidente e de emissão são os mesmos (fonte perto do observador) Olhando no plano (x,y), significa um vetor para a fonte de luz de (0,0,-1) Em um dado ponto (p,q) no espaço gradiente, a normal à superfície é (p,q,-1) R = r 0 cos i, onde r 0 é uma constante de proporcionalidade R a radiância no sistema de coordenadas com origem no observador

Mapa de reflectância Seja n s e n vetores unitários na direção da fonte e normal à superfície, respectivamente Desde que cos i = n s. n, então: Então cos i determina o brilho na imagem e seu gráfico determina o espaço gradiente da imagem, visto anteriormente

Mapa de reflectância No caso de direção de iluminação qualquer seja ela dada por (p s, q s, -1), tome o produto vetorial entre esta direção e direção da normal à superfície: R = r 0 n s.n ou O ângulo de fase g é constante ao longo do espaço- gradiente, desde que se use projeção ortográfica (observador longe da cena) e luz longe da cena

Mapa de reflectância p q

Shape from shading Informação local ajuda a determinar orientação da superfície Suponha uma estimação da orientação da superfície num certo ponto, dada por (p(x,y),q(x,y)) Se a normal não estiver precisa, a equação I(x,y)=R(p,q) estará com um certo erro Parece razoável encontrar p e q que minimizem a diferença (I-R) 2 Outro requerimento é que p e q variem de forma suave, que pode ser medido pelas derivadas parciais quadráticas (p x 2, p y 2, q x 2, q y 2 )

Shape from shading Para uma superfície suave, ambos termos devem ser pequenos; o objetivo é minimizar o erro num ponto: E(x,y)= [ I(x,y) - (p x 2 +p y 2 +q x 2 +q y 2 ) ] Onde o multiplicador de Lagrange incorpora a restrição de suavidade.

Shape from shading Diferenciando E(x,y) com relação a p e q, e aproximando as derivadas numericamente onde, e

Shape from shading (algoritmo) Inicialize p 0 (x,y) e q 0 (x,y) (nas bordas); k=0; n=100; while (k++<n || E max <E min ) – –compute E, para todos os pontos e tome o máximo deles como E max

Recuperando a forma de uma esfera

Mapa de agulhas

Processo iterativo Resultado mapa de normais ou diagrama de agulhas Em cada posição, vetor normal indica a direção da normal à superfície.

Problemas Alguns casos, mais de uma solução Dependente do tipo de iluminação Bordas complicam Necessidade de inicialização (n 0 )

Estéreo fotométrico Equação de reflectância restringe a possível orientação da superfície ao resultado do mapa de reflectância Usando mais de uma fonte, pode-se determinar a orientação de forma única Cada luz dá uma contribuição diferente a um mesmo ponto na cena (proporcional à radiância) f(x). Se a reflectância não é conhecida, três equações são necessárias para determinar a reflectância, junto com a normal (unitária).

Estéreo fotométrico Variação da posição de iluminação N Luz Observador N Luz Observador

Photometrico Stereo Seja n k (k=1,2,3) o vetor posição de cada fonte de luz, então: I k (x,y) = r 0 (n k. n) I é intensidade normalizada. Em forma matricial, fica: I= r 0 N n onde I = [I 1 (x,y), I 2 (x,y), I 3 (x,y)] T n 11 n 12 n 13 e N= n 21 n 22 n 23 n 31 n 32 n 33

Fotométrico Estéreo I=fc, onde c é a constante de normalização apropriada Se c não for conhecida, pode ser assumida como parte de r 0, sem afetar o cálculo da normal Se as 3 fontes não forem coplanares, a matriz N possui uma inversa. Basta resolver para r 0 e n, usando a equação: I k (x,y) = r 0 (n k. n)

Estéreo fotométrico, mas p 1 = p 2 e q 1 = q 2 p s1 e p s2 são conhecidos, portanto, é possível encontrar uma solução