Análise de Desempenho n n Analíticos – –Determinísticos n n Melhor e pior casos – –Probabilisticos n n Valores prováveis n n Simulação n n Análise exaustiva n n Implementação real – –Medidas obtidas do sistema real – –Benchmarks – –Protótipos

Redes de Petri Espaço dos Formalismos Níveis de Abstração Interpretações Autônomo Estocástico Detreminístico Intervalo Predicados Limites Sinais Externos TemporizadoDados Interpretados Obj.RdP Pr/T, CPN P,T CE, EN

Redes Temporizadas Extensões Temporizadas Token-Timed PN Transition-Timed PN Place-Timed PN Stochastic PN Time PN …… Timed PN

Redes Temporizadas Extensões Temporizadas Token-Timed PN Transition-Timed PN Place-Timed PN Stochastic PN Time PN …… Timed PN

Redes Temporizadas  Ramchandani, Transition Timed Net  Merlin, Transition Time Net  Sifakis, Place Timed Net

Redes Temporizadas Estocásticas Õ Natkin Õ Molloy Õ Marsan et al É uma rede temporizada onde o delay associado à transição é uma variável aleatória de distribuição exponencial

Redes Temporizadas n Redes de Petri com Lugares Temporizados (PTPN) (Sifakis77) n Definição: PTPN=(P,T,F,K,W,M 0, ,  ), onde P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, F  (P  T)  (T  P) uma relação que representa os arcos W – Valoração (peso dos arcos) - W: F  N M 0 - Marcação inicial - M 0 :P  N  ={  1,  2,…,  i,…} números reais denominada base de tempo.  :P   um mapeamato que  (p) =  j

Redes Temporizadas - PTPN - 2 t0 p0 t1 n Regra de Disparo  (p0) = 3 p1 2

Redes Temporizadas - PTPN - 2 t0 p0 t1 n Regra de Disparo Instante=0 p1 2  (p0) = 3

Redes Temporizadas - PTPN - 2 t0 p0 t1 n Regra de Disparo Instante=1 p1 2  (p0) = 3

Redes Temporizadas - PTPN - 2 t0 p0 t1 n Regra de Disparo Instante=2 p1 2  (p0) = 3

Redes Temporizadas - PTPN - 2 t0 p0 t1 n Regra de Disparo Instante=3 p1 2  (p0) = 3

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Duração (disparo em três fases) n Marcas são consumidas dos lugares de entrada n Há uma duração n Marcas são geradas no lugares de saída –Disparo atômico n As marca permanecem nos lugares de entrada pelo período igual ao delay associada à transição. Após o delay as marcas são consumidas e geradas nos lugares de saída imediatamente.

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Duração (disparo em três fases) n Pode ser representada por uma rede com disparo atômico n Modelo mais compacto n O estado é uma informação mais complexa do que o modelo não-temporizado –Disparo atômico n Pode representar o modelo com duração n O conjunto de marcações alcançáveis é um sub-conjunto das marcações do modelo não-temporizado.

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Regras de Seleção: n Pré-seleção: (duração e delay) –Prioridade –Probabilidade n Race (corrida): (delay) –Transições habilitadas com menor delay são disparadas

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Quando uma das transições conflitantes é desabilitada pelo disparo da outra, o que acontece com o timer da que ficou desabilitada quando a mesma tornar-se habilitada outra vez?

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Como fica a memorização do tempo de habilitação anterior? n Continue –O timer associado à transição mantem o valor atual e quando a transição se tornar novamente habilitada o valor do timer iniciará daquele valor. n n Restart – –Quando a transição for novamente habilitada o timer será re-iniciado. ta tb p0 p1 p2 da db

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –O que acontece com o timer das transições habilitadas após o disparo de uma transição? n Todas as transições. Não somente as transições conflitantes. Algumas políticas de memória podem ser construídas

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Resampling n Após cada disparo os timers de TODAS as transições são re-iniciado (restart) n Não há memória n Após descartar todos os timers, os valores iniciais são associados a todas as transições que se tornarem habilitadas na nova marcação.

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Enabling Memory n Após cada disparo os timers das transições que ficaram desabilitadas são re-iniciados (restart) n As transições que permaneceram habilitadas com o disparo matêem seus valores presentes(continue)

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Age Memory n Após cada disparo os timersde todas as transições são mantidos em seus valores presentes (continue)

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Grau de Habilitação (Enabling Degree) n É o número de vezes que uma determinada transição pode ser disparada, antes de se torna desabilitada. n Quando o grau de habilitação é maior que um, atenção especial à semântica de temporização deve ser considerada. ta p0 p1 d

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Semântica de Temporização n Single-server firing semantics n Infinite-server firing semantics n Multiple-server firing semantics –K é o máximo grau de paralelismo. Quando k , Multiple-server firing semantics é igual a infinite- server firing semantics.

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Single-server firing semantics ta p0 p1 d=3 t=3 t=6 t=9t

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Infinite-server firing semantics ta p0 p1 d=3 t=3t

Redes de Petri Temporizadas - Tempo Associado às Transições - n Conceitos Básicos: –Multiple-server firing semantics k=2 ta p0 p1 d=3 tt=3 t=6

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Time Petri Nets (Merlin76) n Definição: TPN=(P,T,F, W,M 0,I), onde P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, F  (P  T)  (T  P) uma relação que representa os arcos W – Valoração (peso dos arcos) - W: F   M 0 - Marcação inicial - M 0 :  P I:(D min,D max ) D min : (  +  {0}) T, D max :(  +  {0}) T, onde I(t i )=(d i min, d i max ), d i max  d i min TC: T   é uma função parcial que associa as transições um timer clock

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas Semântica de Disparo de Transição n Uma transição t j é disparável se estiver habilitada –Regras de habilitação M[t j >, M(pi)  pi, t j ) M[t j >, M(pi)  pi, t j )  pi  P  pi  P durante o intervalo I(t j )=(d j min, d j max ), Ou seja, t j só será disparável se tc(t j )  d j min n e terá que disparar antes que tc(t j ) > d j max (strong semantics) ou ou n e poderá disparar antes que tc(t j ) > d j max (weak semantics) n Resampling (Merlin76)/Enabling Memory(Starke87) n Regras de disparo Se M[t j >M’ Se M[t j >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ),  pi  P M’(pi)=M0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ),  pi  P

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [1,3] M0 tc(t0)=1 tc(t1)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [1,3] M0 tc(t0)=2 tc(t1)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [1,3] M0 tc(t0)=3 tc(t1)= indefinido t0 pode disparar

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [1,3] M0 tc(t0)=4 tc(t1)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [2,4] M0 tc(t0)= indefinido tc(t1)=1 M1 t0

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [2,4] M0 tc(t0)= indefinido tc(t1)=2 M1 t0 t1 pode disparar M2 t1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 p2 [3,5] [2,4] M0 tc(t0)= indefinido tc(t1)= indefinido M1 t0 M2 t1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 1 tc(t1)= indefinido tc(t2)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 2 tc(t1)= indefinido tc(t2)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= indefinido tc(t1)= 1 tc(t2)= 1 M1 t0

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= indefinido tc(t1)= 2 tc(t2)= 2 M1 t0

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 1 tc(t1)= indefinido tc(t2)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 2 tc(t1)= indefinido tc(t2)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 1 tc(t1)= 1 tc(t2)= 1 M1 t0

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 2 tc(t1)= 2 tc(t2)= 2 M1 t0

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 tc(t0)= 1 tc(t1)= indefinido tc(t2)= indefinido M1 t0 M2 t1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 M1 t0 M2 t1 M3 t2 tc(t0)= 1 tc(t1)= indefinido tc(t2)= indefinido

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p1 t1 t2 p2p3 [2,3] [2,4] M0 M1 t0 M2 t1 M3M4 t2 t0 tc(t0)= indefinido tc(t1)= 1 tc(t2)= 1

Grafo de Alcançabilidade - Untimed Model - n Definição:Grafo de Alcançabilidade- seja uma rede marcada N=(R,M 0 ). RG(R, M 0 )=(RS,ARCS) define o grafo de alcançabilidade (Reachability Graph), onde RS é o conjunto de vértice e representa o conjunto de alcançabilidade. ARCS  RS  T  RS é uma relação representando os arcos.

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Time Petri Nets n Definição: Grafo de Alcançabilidade Temporizado- seja uma rede marcada T N=(R,M 0,I). TRG(TN)=(S,ARCS) define o grafo de alcançabilidade temporal (Time Reachability Graph), onde S é o conjunto de vértice e representa o conjunto de alcançabilidade. ARCS  S  S é uma relação representando os arcos. S = (M,TC), onde M:  P e TC: T   é uma função parcial que associa as transições um timer clock, que representa o tempo passado (desde a sua habilitação) até atingir-se M. n S  RS

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Timed Petri Nets (Ramchandani74,Zuberek87) n Definição: TPN=(P,T,F, W,M 0,c,D), onde P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, F  (P  T)  (T  P) uma relação que representa os arcos W – Valoração (peso dos arcos) - W: F   M 0 - Marcação inicial - M 0 : P   D: T   +  {0} c:T  0  1 função de probabilidade de escolha, tal que   t  i c(t) = 1,  T i  Free(T), onde Free(T)={T 1,..., T n } conjunto de conjuntos de transições free-choice.

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas TPN=(P,T,F, W,M 0,c,D), TPN=(P,T,F, W,M 0,c,D), p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 t0 t1 t2 t3 t4 t5 d0 d1 d2 d3 d4 d5 c0 c3 c1 c4 c2 c5

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Timed Petri Nets n Definição: Estado - Seja TPN=(P,T,F, W,M 0,c,D) uma Timed Petri net. Um estado é definido por uma tupla s=(m 1,m 2,r), onde M 1 : P   é a marcação M 1 : P   é a marcação M 2 : T   é uma função que mapeia cada transição em natural, onde este natural representa o número de vezes que aquela transição está sendo disparada naquele estado S. M 2 : T   é uma função que mapeia cada transição em natural, onde este natural representa o número de vezes que aquela transição está sendo disparada naquele estado S. R: T k   +  {0} se m 2 (t i )  0 indefinida se m 2 (t i ) = 0 indefinida se m 2 (t i ) = 0 onde k  é o número de vezes que t i está sendo disparada em S (m 2 (t i )= k ) onde k  é o número de vezes que t i está sendo disparada em S (m 2 (t i )= k ) r(t i ): (  +  {0}) k é um vetor que associa a cada disparo de t i um número real que representa o remaining firing time de cada disparo de t i naquele estado S. r j (t i ) é j-ésimo componente de R(t i )

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Timed Petri Nets n Definição: Regra de Habilitação e Disparo - Seja TPN=(P,T,F, W,M 0,c,D) uma Timed Petri net e s=(m 1,m 2,r) um estado em algum instante    +  {0}. Um step st: T   está habilitado se m 1 (pi)  t  T st(t).W(pi,t),  pi  P Se um step stestá habilitado em um instante  (vamos tratar nos  ), dispara-se st em . Se um step st está habilitado em um instante  (vamos tratar nos  ), dispara-se st em . Em  +1, tem-se: m’ 1 (pi)  m’ 1 -  t  C0 st(t).W(pi,t) +  t  C1 st(t).W(t,pi) +  t  C2 m 2 (t).W(t,pi),  pi  P, onde +  t  C1 st(t).W(t,pi) +  t  C2 m 2 (t).W(t,pi),  pi  P, onde C 0 ={t  T | st(t) > 0} C 1 ={t  T | st(t) > 0  D(t) =1} C 2 ={t  T | R j (t) =1  t  st}, 0< j  K m’ 2 (t) = m 2 (t) - m’ 2,  +1 (t), m’ 2,  +1 (t) representa que “sairam” da transição no instante  +1 m’ 2 (t) = m 2 (t) - m’ 2,  +1 (t), m’ 2,  +1 (t) representa que “sairam” da transição no instante  +1 r’ j (t)= r j (t)-1, t  m 2  t  st (transições pertencentes ao step st ou as que já se encontravam “dentro” (m 2 ) das transições) r’ j (t)= r j (t)-1, t  m 2  t  st (transições pertencentes ao step st ou as que já se encontravam “dentro” (m 2 ) das transições)

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 1 ) = 3, m 2 (t 1 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d3=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =5, r(t 3 ) = 3, m 2 (t 3 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d3=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =5, r(t 3 ) = 3, m 2 (t 3 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d3=3 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =5, r(t 3 ) = 3, m 2 (t 3 ) = 1 No instante  =8, m 1 (p 5 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2,

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =5, r(t 3 ) = 3, m 2 (t 3 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p0 t0 p2 t2 p4 t3 p5 p1 t1 p3 d0=2 d1=2 d2=3 d4=3 d5=2 t5 c(t2)=0.5 c(t5)=0.5 No instante  =1, r 1 (t 0 ) = 1, m 2 (t 0 ) = 1 No instante  =2, r(t 1 ) = 2, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 3, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =3, r(t 1 ) = 1, m 2 (t 1 ) = 1 r(t 2 ) = 2, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =4, r(t 2 ) = 1, m 2 (t 2 ) = 1 No instante  =5, r(t 3 ) = 3, m 2 (t 3 ) = 1

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Timed Petri Nets n Definição: Grafo de Alcançabilidade Temporizado- seja uma rede marcada TPN=(P,T,F, W,M 0,c,D). TRG(TPN)=(S,D,h,q) define o grafo de estados temporal (Timed State Graph), onde S é o conjunto de vértice e representa o conjunto de estados. D  S  S é uma relação representando arcos dirigidos. h : S   +  {0} é uma função que associa o holding time a cada estado s i =(m 1,m 2,r), onde h(s i )=min t  T  m2(t)>0 (r i (t)[1]) e q : D  [0,1] é uma função que associa uma probabilidade aos arcos do grafo.

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p1 t1 d1=0 p2 p4 t5 d=20 p5 t6 d6=0 p3 t3 d3=0 0,1 t4 d=5 0,9 p6t7 d7=0 p7 s i M 1 M 2 h(s i ) M’ 2 s j q 1 p=0 t1=1 0 t2=t5= p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 3 p=0 t4=t5=1 5 t1= p=0 t3=t5=1 0 t= p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5= p=0 t5=1 10 t7= p6=1 t2=1,t5=2 5 t6= p=0 t7=1 0 t1= p=0 t2=t5= 0 t= t6=1 10 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 t2 d2=10

t1 d1=0 Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p1 p2 p4 t5 d=20 p5 t6 d6=0 p3 t3 d3=0 0,1 t4 d=5 0,9 p6 t7 d7=0 p7 s i M 1 M 2 h(s i ) M’ 2 s j q 1 p=0 t1=1 0 t2=t5= p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 3 p=0 t4=t5=1 5 t1= p=0 t3=t5=1 0 t= p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5= p=0 t5=1 10 t7= p6=1 t2=1,t5=2 5 t6= p=0 t7=1 0 t1= p=0 t2=t5= 0 t= t6=1 10 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 t2 d2=10

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p1 t1 d1=0 p2 p4 t5 d=20 p5 t6 d6=0 p3 t3 d3=0 0,1 t4 d=5 0,9 p6 t7 d7=0 p7 s i M 1 M 2 h(s i ) M’ 2 s j q 1 p=0 t1=1 0 t2=t5= p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 3 p=0 t4=t5=1 5 t1= p=0 t3=t5=1 0 t= p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5= p=0 t5=1 10 t7= p6=1 t2=1,t5=2 5 t6= p=0 t7=1 0 t1= p=0 t2=t5= 0 t= t6=1 10 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 t2 d2=10

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p1 t1 d1=0 p2 p4 t5 d=20 p5 t6 d6=0 p3 t3 d3=0 0,1 t4 d=5 0,9 p6 t7 d7=0 p7 s i M 1 M 2 h(s i ) M’ 2 s j q 1 p=0 t1=1 0 t2=t5= p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 3 p=0 t4=t5=1 5 t1= p=0 t3=t5=1 0 t= p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5= p=0 t5=1 10 t7= p6=1 t2=1,t5=2 5 t6= p=0 t7=1 0 t1= p=0 t2=t5= 0 t= t6=1 10 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 t2 d2=10

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p1 t1 d1=0 p2 p4 t5 d=20 p5 t6 d6=0 p3 t3 d3=0 0,1 t4 d=5 0,9 p6 t7 d7=0 p7 s i M 1 M 2 h(s i ) M’ 2 s j q 1 p=0 t1=1 0 t2=t5= p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 3 p=0 t4=t5=1 5 t1= p=0 t3=t5=1 0 t= p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5= p=0 t5=1 10 t7= p6=1 t2=1,t5=2 5 t6= p=0 t7=1 0 t1= p=0 t2=t5= 0 t= t6=1 10 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 t2 d2=10

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Tempo de Execução –Análise do grafo de estados + Algorítmo de Procura de Caminhos n (Redes Genéricas) –Métodos Estrutural n (sub-classes: grafo-marcado)

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas p1 t1 d1=0 p2 p4 t5 d=20 p5 t6 d6=0 p3 t3 d3=0 0,1 t4 d=5 0,9 p6 t7 d7=0 p7 s i M 1 M 2 h(s i ) M’ 2 s j q 1 p=0 t1=1 0 t2=t5= p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1 3 p=0 t4=t5=1 5 t1= p=0 t3=t5=1 0 t= p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5= D(s1,s5) = = 15 t2 d2=10

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Métodos Algébricos Aplicados aos Grafos Marcados –C m = max k {D k /N k } k=1,...,q n q é o número de circuitos n D k é a soma dos tempos associados às transições do circuito k n N k é o somatório de marcas no circuito k

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas A B t1 d1=5 C D t2 t3 d2=20 d3=4 E F t4 d4=3 t5 d=2 G P-minimum semiflows: SP1={A,C,E,G} SP2={A,D,F,G} SP3={B,C,E} SP4={B,D,F} Circuito: c1={t1,t2,t4,t5} c2={t1,t3,t4,t5} c3={t1,t2,t4} c4={t1,t3,t4}

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas A B t1 d1=5 C D t2 t3 d2=20 d3=4 E F t4 d4=3 t5 d=2 G C m = max k {D k /N k } k=1,...,4 C 1 =( )/2= 15 C 2 =( )/1= 14 C 3 =(5+20+3)/2= 14 C 4 =(5+4+3)/1= 12 C m = max k {15,14,14,12} = 15

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Estedendo o Método Anterior para Redes Free-Choice sem Compartilhamento de Recursos n Seja N=(P,T,I,O,M 0,D) uma rede e SN i =(P SNi,T SNi,I SNi,O SNi,M 0 SNi,D SNi ) e uma rede SN i  N obtida pelos p-minimum semiflows. Seja SN k =(P SNk,T SNk,I SNk,O SNk,M 0 SNk,D SNk ) uma rede tal que SN k  SN i onde T SNk pertence a um único t-minimum semiflows.

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Tempo do Caminho Crítico –CT m = max k {D k /N k } k=1,...,q n q é o número de sub-redes SN k n D k é a soma dos tempos associados às transições da sub- rede k. n N k é o somatório de marcas no circuito k

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Tempo Mínimo –MT m = max k {min{D j /N j },D i /N i } i=1,...,q. j=1,...,r n q é o número de sub-redes SN i obtidas diretamente dos p-minimum semiflows e cujos T SNi pertence a um único t- minimum semiflows. n r é o número de sub-redes SN j obtidas dos p-minimum semiflows e por sua decomposição tal que T SNj pertence a um único t-minimum semiflows. n D k é a soma dos tempos associados às transições da sub- rede k. n N k é o somatório de marcas no circuito k

p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p t tt t t t t t t t tt t t t t t t t p [1] [2] [1] [2][5] [2] [3] [5] [1] [3] [2] [11] [5] [ 11 ] [1] [0] Redes Temporizadas com Transições Temporizadas

ÿ T-minimum semiflows st= {t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t } = {t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t } st

p p p p p p p p p p p p p pp p p t t t t t t tt t t t t t t t p [1] [2][5] [2] [3] [5] [1] [3] [2] [11] [5] [ 11 ] [1] [0] Redes Temporizadas com Transições Temporizadas

ÿ P-minimum semiflows Õ sp = {p,p,p,p,p,p } Õ sp = {p,p,p,p,p,p,p,p } Õ sp = {p,p,p,p,p } Õ sp = {p,p,p,p,p,p } Õ sp = {p,p,p,p,p,p,p } Redes Temporizadas com Transições Temporizadas

ÿ Transition paths Õ sn = {t,t,t,t,t,t } Õ sn = {t,t,t,t,t,t,t,t,t } Õ sn = {t,t,t,t,t } Õ sn = {t,t,t,t,t,t } Õ sn = {t,t,t,t,t,t,t } Redes Temporizadas com Transições Temporizadas

ÿ Decomposição dos Caminhos Õ sn = {t,t,t,t,t,t,t,t,t }  sn = {t,t,t,t,t,t,t }

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas ÿ Tempo do Caminho Crítico Õ CT(N) = max {T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn ), T(sn ),T(sn ),T(sn )} = 22 T(sn ),T(sn ),T(sn )} = 22 ÿ Tempo Mínimo Õ MT(N) = max {T(sn ),min {T(sn ), T(sn )},T(sn ),T(sn ),T(sn ), T(sn )},T(sn ),T(sn ),T(sn ), T(sn )} = 20 T(sn )} =

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Transição em Seqüência Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), p i  P um lugar, onde I(p i )=[t j ] O(p i )=[t k ]. N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela fusão de t j e t k e eliminação de p i. A transição t j/k  T’ representa as transições fundidas tal que I(t j/k ) = I(t j ) e O(t j/k ) = O(t k ) e d j/k = d j d k Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), p i  P um lugar, onde I(p i )=[t j ] O(p i )=[t k ]. N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela fusão de t j e t k e eliminação de p i. A transição t j/k  T’ representa as transições fundidas tal que I(t j/k ) = I(t j ) e O(t j/k ) = O(t k ) e d j/k = d j + d k

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Transição em Seqüência t j p i t k d j d k t j/k d j/k d j/k = d j + d k

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Transição de um Escolha Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), p i, p l  P lugares, onde O(p i )=[t j, t k ] e I(p l )=[t j,t k ]. N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela fusão de t j e t k. A transição t j/k  T’ representa as transições fundidas tal que I(t j/k ) = I(t j ) e O(t j/k ) = O(t k ) e o tempo mínimo é d j/k = min{d j d k } e o tempo máximo é d j/k = max{d j d k } Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), p i, p l  P lugares, onde O(p i )=[t j, t k ] e I(p l )=[t j,t k ]. N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela fusão de t j e t k. A transição t j/k  T’ representa as transições fundidas tal que I(t j/k ) = I(t j ) e O(t j/k ) = O(t k ) e o tempo mínimo é d j/k = min{d j, d k } e o tempo máximo é d j/k = max{d j, d k }

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Transição de um Escolha tjtktjtk djdkdjdk p i p l t j/k d j/k d j/k = min{d j, d k } d j/k = max{d j, d k }

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Laço Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), p i, p h  P lugares, onde O(p i )=[t j, t k ] e O(t j )=[p i ], I(p h )=[t k ]. N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela eliminação de t j. O tempo associado a transição t k  T’ é d k N’ = m  d j d k. Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), p i, p h  P lugares, onde O(p i )=[t j, t k ] e O(t j )=[p i ], I(p h )=[t k ]. N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela eliminação de t j. O tempo associado a transição t k  T’ é d k N’ = m  d j + d k.

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Laço p i p h tktk dkdk tktjtktj dkdjdkdj p i p h d k N’ = m  d j + d k

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Transições Paralelas Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), t i, t j, t h, t l  T transições, onde I(I(t i ))=I(I(t j )) e O(O(t i ))=O(O(t h )). N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela eliminação da estrutura SN=(P SN,T SN,I SN,O SN,M 0 SN,D SN ), onde P SN ={I(t i ), I(t j )), O(t i ), O(t j )}, T’={t i, t j, I(I(t i ))=t h, O(O(t i ))=t l }. t h/l  T’ representa a estrutura reduzida, tal que I(t h/l )= I(I(I(t i )))= I(I(I(t j ))), O(O(O(t i )))= O(O(O(t j ))) e d i/j N’ = d I(I(ti)) d i d j d O(O(ti)). Seja uma rede N=(P,T,I,O,M 0,D), t i, t j, t h, t l  T transições, onde I(I(t i ))=I(I(t j )) e O(O(t i ))=O(O(t h )). N pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’ 0,D’) pela eliminação da estrutura SN=(P SN,T SN,I SN,O SN,M 0 SN,D SN ), onde P SN ={I(t i ), I(t j )), O(t i ), O(t j )}, T’={t i, t j, I(I(t i ))=t h, O(O(t i ))=t l }. t h/l  T’ representa a estrutura reduzida, tal que I(t h/l )= I(I(I(t i )))= I(I(I(t j ))), O(O(O(t i )))= O(O(O(t j ))) e d i/j N’ = d I(I(ti)) + max{d i, d j }+ d O(O(ti)).

Redes Temporizadas com Transições Temporizadas n Redução de Transições Paralelas pa th p2 tj p4 tl pf p1 ti p p a p f t h/l d h/l d i/j N’ = d I(I(ti)) + max{d i, d j }+ d O(O(ti))

Classificação da Técnicas de Avaliação de Desempenho Avaliação de Desempenho Avaliação Determinísica Modelagem Estocástica Medição Prototipação Métodos Simulação de Eventos Métodos Analíticos Discretos Analíticos Sistema Benchmarks Simulação Real Real Modelagem

Modelagem para Análise de Desem p enho n Algumas Medidas –Tempo de Manufatura –Throughput –Utilização –Capacidade –Confiabilidade

Redes Temporizadas Estocásticas n Modelagem para Análise de Desem p enho –Modelos para Simulação –Modelos Analíticos n Cadeias de Markov n Teoria das Filas n Redes de Petri Estocásticas

Redes Temporizadas Estocásticas n Proriedade Markoviana –Ausência de Memória n Variáveis Aleatórias com Propriedade Markoviana –Variável Aleatória Geométrica –Variável Aleatória Exponencial

Probabilidade Condicional n Seja A um evento arbitrário em um espaço amostral S. A probabilidade de que ocorra um evento A uma vez que M tenha ocorrido é denotado por P(A/M) que é definido por: n P(A/M)=P(A  M) P(M) P(M) S A  M A M n Caso M  A então P(A/M)=1 n Caso A  M então P(A/M)= P(A) P(M)

Distribuição Exponencial n fdp exponencial f X (t) f X (t) t FD - Função de Distribuição n f X (t) =  e -  t n FD(t) = 1 - e -  t n Valor Esperado E(X) = 1  n Propriedade: Não possui memória Variável Aleatória Exponencial

Distribuição Exponencial Variável Aleatória Exponencial P{X>t} = e -  t n P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u  X>t} P{X>t} P{X>t} n P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u} P{X>t} P{X>t} P{X>t+u | X > t} = e -  (t+u) = e -  u = P{X>u} e -  t e -  t Probabilidade Condicional t t+u t

Processos Estocásticos n Processo Estocástico é definido por um conjunto de variáveis aleatórias, {X(t) : t  T}, onde X(t) é uma variável aleatória para cada t  T. t é denominado parâmetro e cada valor de X(t) são estados. n Processo Estocástico Markoviano é um processo estocástico onde as variáveis aleatórias não dependem da história passada. n Tipos de Processos Estocásticos –Processos de espaço de estados e tempo discretos (Discret Time Markov Chain - DTMC) (Discret Time Markov Chain - DTMC) –Processos de espaço de estados contínuo e tempo discreto –Processos de espaço de estados discreto e tempo contínuo (Continuos Time Markov Chain - CTMC) –Processos de espaço de estados e tempo contínuos

Continuos Time Markov Chain n O comportamento de uma rede estocástica é representado por CTMC    0 1 -(  + ) 0 Q =  -(  +  ) 1   +  + 0 P =    +   +  1 Matriz de Taxas Matriz de Propabilidades de Próximo Estados

Redes Estocásticas n Soluções para Steady-States a 11 a 12 a 13 U 1 =(a 11 a 12 a 13 ) a 11 a 12 a 13 U 1 =(a 11 a 12 a 13 ) P = a 21 a 22 a 23 U 2 =(a 21 a 22 a 23 ) P = a 21 a 22 a 23 U 2 =(a 21 a 22 a 23 ) a 31 a 32 a 33 U 3 =(a 31 a 32 a 33 ) a 31 a 32 a 33 U 3 =(a 31 a 32 a 33 ) a ij - probabilidade  Mi  RS a ij =1 a ij - probabilidade  Mi  RS a ij =1 Y. P = Y,  si  S y i =1, onde y i fornece o número relativo de visitas ao estado s i

Redes Estocásticas n Soluções para Steady-States  Q = 0  Q = 0  Mi  RS(N)  [M i ]=1  Mi  RS(N)  [M i ]=1 Onde  [M] fornece a steady-state probability de um sistema estar no estado s i n Soluções Transientes d  (t) = Q  (t) dt dt Onde  (t) [M i ] é probabilidade de se estar na estado s i no instante t

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, I: P  T   é a função de mapeamento de que representam as pré-condições, O : P  T   é a função de mapeamento de que representam as pós-condições W : T  (ou W : T  M  ) é uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições W : T  (ou W : T  M  ) é uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições M 0 - Marcação inicial - M 0 : P  

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,H,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,H,W,M 0 ) P é o conjunto de lugares, T o conjunto de transições, I: P  T   é a função de mapeamento de que representam as pré-condições, O : P  T   é a função de mapeamento de que representam as pós-condições H : P  T   é a função de mapeamento de que representam os arcos inibidores W : T  (ou W : T  M  ) é uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições M 0 - Marcação inicial - M 0 : P   p1 p2 p3 p4 t1t2 t3t

Redes Estocásticas Semântica de Disparo de Transição n Uma transição t j é disparável se estiver habilitada –Regras de habilitação M[t j >, M(pi)  pi, t j ) M[t j >, M(pi)  pi, t j )  pi  P  pi  P n Transições com delays menores disparam primeiro (Race) n Enabling Memory n Regras de disparo Se M[t j >M’ Se M[t j >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ),  pi  P M’(pi)=M0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ),  pi  P

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T W : T p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r n Grafo de Marcações M0 t2 t1 t4 M1 t3 M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T W : T p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r n Grafo de Marcações M0 t2 t1 t4 M1 t3 M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T W : T p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r n Grafo de Marcações M0 t2 t1 t4 M1 t3 M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T W : T p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r n Grafo de Marcações M0 t2 t1 t4 M1 t3 M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T W : T p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r n Grafo de Marcações M0 t2 t1 t4 M1 t3 M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1

Redes Estocásticas n Definição: SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) SPN=(P,T,I,O,W,M 0 ) W : T W : T p1 p1 s t1 s t1 p2 p2 p t2 f t3 p t2 f t3 p3 p3 t4 r t4 r n Grafo de Marcações M0 t2 t1 t4 M1 t3 M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1

Redes Estocásticas Generalizada (GSPN) n Definição: GSPN=(P,T,I,O,H, ,W,M 0 ) GSPN=(P,T,I,O,H, ,W,M 0 ) P,T,I,O definidos como usualmente. H : P  T   é a função de mapeamento de que representam os arcos inibidores  : T   0 se t for temporizada (Prioridade)  + se t for imediata W : T  (ou W : T  M  ) é 1.uma função que associa taxas de distribuição exponencial às transições temporizadas e 2.pesos usados na computação das probabilidades de disparo das transições imediatas 2.pesos usados na computação das probabilidades de disparo das transições imediatas M 0 - Marcação inicial - M 0 : P   p1 p2 p3 p4 t1t2 t3t4 1 4

Redes Estocásticas Generalizada (GSPN) Semântica de Disparo de Transição n Uma transição t j é disparável se estiver habilitada –Regras de habilitação M[t j >, M(pi)  pi, t j ) M[t j >, M(pi)  pi, t j )  pi  P  pi  P n Transições com delays menores disparam primeiro (Race) n Transições imediatas disparam instantaneamente com prioridades sobre as temporizadas n Diferentes níveis de prioridade são associados às transições imediatas. n Transições imediatas com mesmo nível de prioridade associada disparam de acordo com o peso associado a cada uma. n Enabling Memory n Regras de disparo Se M[t j >M’ Se M[t j >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ),  pi  P M’(pi)=M0(pi) - I(pi, t j )+O(pi, t j ),  pi  P

Redes Estocásticas n Lema: seja N=(P,T,I,O,W,M 0 ) uma SPN. Dadas M i,M j  RS(N), existe uma probabilidade de se atingir M j imediatamente de M i. n Probabilidade de se atingir M j de M i p ij = ij / i,, ij =   t  ij  (t), i =   t  i (t) p ij = ij / i,, ij =   t  ij  (t), i =   t  i (t) (t) é a taxa associada a transição através da W (t) é a taxa associada a transição através da W T ij = {t  T : M i [t > M j }, T i = {t  T : M i [t >} T ij = {t  T : M i [t > M j }, T i = {t  T : M i [t >}

Redes Estocásticas Generalizada (GSPN) n Grafo de Marcações 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 p1 t1  p2 p3 p4 t2  t3 t4 1 t5 2 0,0,0,1 t4 t1 t5 t2 t3 1,0,0,0 0,0,1,00,0,0,1 2 1 .   +  .   +  Tangible marking Vanishing marking

Redes Estocásticas n Tempo esperado de permanência num sub-conjunto de marcações (mean sojourn time) tm(M,t)=1/t (  M  M  0 t  (z)[M]dz) tm(M,t)=1/t (  M  M  0 t  (z)[M]dz) M  RS (N) Se M = {M}, então: tm(M,t)=1/t (  0 t  (z)[M]dz) tm(M,t)=1/t (  0 t  (z)[M]dz)

Redes Estocásticas n Tempo de permanência numa marcação (sojourn time) tm i = min t j  T i (1/ j ) tm i = min t j  T i (1/ j ) T i = {t j  T : M i [t j >} T i = {t j  T : M i [t j >}

Redes Estocásticas T 0 = {t 1 }, T 01 = {t 1 } T 0 = {t 1 }, T 01 = {t 1 } T 1 = {t 2,t 3 }, T 10 ={t 2 } T 1 = {t 2,t 3 }, T 10 ={t 2 } T 12 ={t 3 } T 12 ={t 3 } T 2 ={t 4 }, T 20 ={t 4 } T 2 ={t 4 }, T 20 ={t 4 } M0 M1 M2 M0 M1 M M M0 P = p 0 f M1 p+f p+f p+f p+f M M2 1,0,0 0,1,0 0,0,1 M0M0 M1M1 M2M2 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4

Redes Estocásticas n Para garantir a existência de uma distribuição de probabilidade estacionária, a rede deve ser: Õ limitada (bounded) Õ reversível e Õ livre de bloqueio (deadlock-free) Y. P = Y Y. P = Y |RS| |RS|  y i =1 Y : M i +  y i =1 Y : M i + i=1 y i é o numero relativo de visitas à marcação M i i=1 y i é o numero relativo de visitas à marcação M i

Redes Estocásticas n Probabilidade estacionária de uma marcação M i s p i = y i. tm i /  y j.tm j p i = y i. tm i /  y j.tm j j=1 j=1 n Probabilidade que um lugar p j tenha k marcas p(pj,k) =  i  S 1 p i p(pj,k) =  i  S 1 p i S 1 = { i  {1,2,..,S} : M i (p j )=k} S 1 = { i  {1,2,..,S} : M i (p j )=k} n Número esperado de marcas no lugar p j K Em(p j ) =  k.p(pj,k) k=1 K é o número máximo de marcas que o lugar pj pode conter

Redes Estocásticas n Throughput rate de uma transição TR(t j ) =  p i. (t j,W). q ij TR(t j ) =  p i. (t j,W). q ij i  S 2 i  S 2 S 2 = { i  {1,2,..,S} : M i [t j >} S 2 = { i  {1,2,..,S} : M i [t j >} Õ p i é a probabilidade estacionária de uma marcação Mi que habilita t j Õ (t j ) é a taxa associada a transição 1, se #O(I(t j ))=1 (se t j não é conflitante) 1, se #O(I(t j ))=1 (se t j não é conflitante) Õ qij= x, caso contrário ( probabilidade de disparo d t j entre as transições conflitantes) x, caso contrário ( probabilidade de disparo d t j entre as transições conflitantes)

Redes Estocásticas n Conclusões Õ Redes de Petri estocásticas são uma representação compacta de alto nível das CTMC Õ Isomorfismo com CTMC Õ Análise quantitativa Õ Análise qualitativa Õ Modelagem de sistemas concorrentes, não- determinísticos e assíncronos. Modelagem de sincronismo, escolha, mútua exclusão etc

Redes Estocásticas n Extensões às SPN Õ GSPN (Marsan et al.) Õ DSPN (Lindermann, Ciardo)

Redes Estocásticas n Bibliografia Õ Modelling with Generalized Stochastic Petri Nets, A. Marsan et al, John Wiley & Sons, A. Marsan et al, John Wiley & Sons, Õ Performance Modelling with Deterministic and Stochastic Petri Nets, C. Lindermann, John Wiley & Sons, n