Histórico, exemplos e problemas

Apresentação em tema: "Histórico, exemplos e problemas"— Transcrição da apresentação:

1 Histórico, exemplos e problemas
Grafos Histórico, exemplos e problemas

2 Definições Dois tipos de elementos Vértices ou nós Arestas v1 v3 v2 v4

3 Grafo Simples G = (V,E) V é um conjunto finito não-vazio de vértices
E é um conjunto finito de arestas |V| é o número de vértices representado por n, se n=|V| |E| é o número de arestas representado por m, isto é m=|E| Cada aresta e pertencente ao conjunto E será denotada pelo par de vértices (x,y) que a forma Dizemos que os vértices x e y são extremos (ou extremidades) da aresta e.

4 Grafo Simples Resumindo: um grafo é simples se entre cada par de vértices distintos existir no máximo uma aresta e se, além disso, não contiver laços, ou seja existir uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo.

5 G = (V,E)

6 Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta e unindo-os.
Os vértices u e v são ditos incidentes na aresta e, se eles são extremos de e. Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum. A aresta e=(x,y) é incidente a ambos os vértices x e y.

7 Grafo simples V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}
E = {(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v4),(v3,v4),(v4,v5)} e1 é incidente a v4 e v5

8 Exemplo Exercício Desenhe a representação geométrica do seguinte grafo: V = {1,2,3,4,5,6}; E ={(1,2),(1,3),(3,2),(3,6),(5,3),(5,1),(5,6),(4,6), (4,5),(6,1),(6,2),(3,4)}

9 Mais definições Laço É uma aresta formada por um par de vértices idênticos Arestas múltiplas ou paralelas Quando existe mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices. Multigrafo Um grafo que permite a existência de arestas múltiplas

10 Exercício Defina formalmente o grafo abaixo e identifique os conceitos de laço, aresta múltipla e multigrafo no mesmo:

11 Grau de um vértice Grau de um vértice v (grau(v))é o número de arestas que incidem em v. O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v. Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice Grau(b) = 3 Grau(d) = 2 Grau(a) = 2

12 Qualquer vértice de grau zero é um
vértice isolado Qualquer vértice de grau 1 é um vértice terminal Um vértice ímpar tem um número ímpar de arestas Um vértice par, tem um número par de arestas

13 Grafo Regular (k-regular)
todos os vértices têm o mesmo grau (k) v1 v2 v3 v4 Seqüência de graus de um grafo consiste em escrever em ordem crescente o grau de todos os seus vértices

14 V6 é um vértice isolado, grau(v6)=0 V5 é um vértice terminal,
V2 é um vértice par, grau(v2)=2 v6 v5 V1 é um vértice ímpar, grau(v1)=3 Seqüência de graus = 0,1,2,2,3,4

15 Exercício Identificar no grafo abaixo os vértices isolados, terminais, impares, pares e a seqüência de graus do grafo : Reflexão O que podemos concluir sobre a soma dos graus de um grafo?

16 Soma dos graus de um grafo:
O resultado é sempre par, e corresponde à formula abaixo: A prova é inspirada no Teorema do Aperto de Mãos que diz: Se várias pessoas se apertam a mão o número total de mãos apertadas tem que ser par. Precisamente porque duas mãos estão envolvidas em cada aperto.

17 Soma dos graus de um grafo:
Em grafos, cada aresta contribui duas unidades para o cômputo geral do grau dos vértices, pois cada aresta possui dois extremos. Portanto, a soma total é par e duas vezes o número de arestas do grafo. Se o grafo for regular de grau r, a soma dos graus dos vértices também é igual a r vezes o número de vértices.

18 A soma dos graus de um grafo é sempre par:
Quando o grafo é regular de grau r, temos:

19 Corolário Em qualquer grafo, o no de vértices com grau ímpar deve ser PAR Prova Para a soma ser par, o primeiro somatório tem que gerar um resultado par, portanto |Vímpar| é par.

20 Nn é um grafo nulo com n vértices
Outros tipos de grafos Grafo Nulo (vazio) Grafo cujo número de arestas é zero. Ou, grafo regular de grau zero. Nn é um grafo nulo com n vértices 1 3 Exemplo: N4 V={1,2,3,4}; E={ }. 2 4

21 Grafo Completo Grafo simples em que quaisquer vértices distintos dois a dois são adjacentes. Ou, grafo regular de grau n-1, onde n=|V|. Kn é um grafo completo com n vértices. Exemplo: K4

22 Quantas arestas tem o Kn. Veja que |E| = ( r
Quantas arestas tem o Kn? Veja que |E| = ( r * |v| ) / 2, onde r é o grau e v o número de vértices. Logo |E| = (( n - 1 ) n ) / 2 Podemos provar também com análise combinatória. O número de arestas é igual ao número de combinações de n vértices dois a dois. Cn,m = n! / ( m! (n – m)! )

23 dois vértices são adjacentes em G, se e somente se, não o são em G
Complemento de um grafo Seja G um grafo simples com um conjunto de vértices V. G é complemento de G se V = V e dois vértices são adjacentes em G, se e somente se, não o são em G

24 Complemento de um grafo

25 Um grafo regular tem complemento regular
Complemento de um grafo Propriedade 1 Um grafo regular tem complemento regular Propriedade 2 O complemento de Kn é Nn Exercício: Dê exemplos que confirmem as propriedades acima

26 Grafo Bipartido Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda aresta de G une um vértice de V1 a outro de V2. V1 5 1 3 2 6 V2 4

27 Grafo Bipartido Sejam os conjuntos H={h | h é um homem} e M={m | m é um mulher} e o grafo G(V,A) onde: V = H U M A = {(v,w) | (v Î H e w Î M) ou (v Î M e w Î H) e <v foi namorado de w>}

28 Grafo Bipartido Completo
É um grafo bipartido em V1 e V2, sendo que cada elemento de V1 é adjacente a cada elemento de V2. V1 V2 K3,3

29 Subgrafo Um grafo Gs(Vs, As) é dito ser subgrafo de um grafo G(V,A) quando Vs Ì V e As Ì A. O grafo G2, por exemplo, é subgrafo de G1. Denotamos por G2  G1 G1 G2

30 Subgrafos podem ser obtidos através da remoção de arestas e vértices.
Subgrafo Próprio Um subgrafo G2 é dito próprio, quando G2 é subgrafo distinto de G1 V(G2)  V(G1) ou A(G2)  A(G1) Ou seja, G2  G1 e G2  G1, denotamos G2  G1 e dizemos que G2 é subgrafo próprio de G1 Subgrafos podem ser obtidos através da remoção de arestas e vértices.

31 Subgrafo Induzido V2 induz G2
Se G2 é um subgrafo de G1 e possui toda a aresta (v, w) de G1 tal que ambos, v e w, estejam em V2, então G2 é o subgrafo induzido pelo subconjunto de vértices V2. 3 3 2 2 G1 G2 1 1 5 4 4 V1= {1,2,3,4,5} V2= {1,2,3,4} V2 induz G2

32 Clique Denomina-se clique de um grafo G a um subgrafo (induzido) de G que seja completo

33 Grafo Rotulado Um grafo G(V,A) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo

34 Grafo Valorado Um grafo  G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. V = {v | v é uma cidade com aeroporto} A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de vôo>}

35 Isomorfismo de Grafos Dois grafos G1 e G2 são isomorfos se existe uma correspondência um a um entre os vértices de G1 e G2, com a propriedade de que o número de arestas unindo os vértices em G1 é igual ao número de arestas unindo os vértices correspondentes em G2.

36 Isomorfismo de Grafos (em outras palavras)
Sejam dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2). Um isomorfismo de G1 sobre G2 é um mapeamento bijetivo f: V1 ® V2 tal que {x,y} Î A1 se e somente se {f(x),f(y)}Î A2, para todo x,y Î V1. Função: { (a2), (b  1), (c  3), (d  4), (e  6), (f  5) }

37 Isomorfismo de Grafos (exemplo)
u v w x y z f(u) = azul, f(v) = lilás, f(w) = vermelho, f(x) = verde, f(y) = amarelo, f(z) = rosa

38 Isomorfismo Qual não é isomorfo aos outros 3 ?

39 Isomorfismo Resposta Os três primeiros grafos são isomorfos ao esqueleto de um octaedro. Qualquer um dos três têm 8 vértices, todos de grau 4. O quarto grafo tem um vértice de grau 5, tem um vértice de grau 3 e os restantes vértices de grau 4. Logo não pode ser isomorfo aos 3 primeiros grafos

40 Isomorfismo de Grafos Preserva: Proposições válidas se G1  G2
Reflexividade: Todo o grafo é isomorfo a si mesmo. Simestria: Se grafo é isomorfo a um segundo grafo então também o segundo é isomorfo ao primeiro. Transitividade: Se um grafo é isomorfo a um segundo, que por sua vez é isomorfo a um terceiro grafo, então o o primeiro é isomorfo ao terceiro. Proposições válidas se G1  G2 G1 e G2 têm o mesmo número de vértices G1 e G2 têm o mesmo número de arestas G1 e G2 têm a mesma sequência de graus

41 Grafos Orientados ou Dígrafos
Um dígrafo D(V,A) é um conjunto finito não vazio V de vértices, e um conjunto A de pares ordenados de elementos de V. Chamamos o conjunto A de arcos Digrafo Simples É um digrafo que não possui laços e os arcos são todos distintos

42 Mais sobre dígrafos Conjunto finito não vazio de vértices
Conjunto finito não vazio de arestas Arestas são chamadas de arcos Um arco (v,w) passa a ser vw a d b c D = (V,A) V = {a,b,c,d) A = {ac,ba,bc,cb,cd,cd)

43 Todos os arcos são distintos Não existem auto-laços
Dígrafos Simples Todos os arcos são distintos Não existem auto-laços Para obter o grafo correspondente a um dígrafo Eliminar as direções dos arcos Não necessariamente um grafo correspondente a um dígrafo simples é um grafo simples Apresente um exemplo de um dígrafo simples que quando transformado em grafo, não é simples

44  grauent(vi) =  grausai(vi) = | A |
Os vértices de um dígrafo possuem: Grau de entrada: número de arcos que chegam no vértice (grauent(v)) Grau de saída: número de arcos que partem do vértice (grausai(v)) Da mesma forma: Sequência de graus de entrada Sequência de graus de saída Proposição  grauent(vi) =  grausai(vi) = | A |

45 Os dígrafos são isomórficos se:
Existe um isomorfismo entre os respectivos grafos correspondentes Preserva a ordem dos vértices em cada arco Os grafos abaixo não são isomorfos a d b c a d b c