MOTIVAÇÃO A Estatística e Deming. W. E. DEMING Nasceu em 14 de Outubro de 1900 em Sioux City, Iowa. Em 1921 licenciou-se em Física, na Universidade do Wyoming e, em 1928, doutorou-se em Matemática pela Yale University.

O impacto das suas idéias foi de tal forma elevado que Deming é, hoje, considerado “o pai do milagre industrial japonês”. Morreu em 1993, com 93 anos. Em sua homenagem, a JUSE (Japan Union of Scientists and Engineers) instituiu o Deming Prize, que premia anualmente as melhores empresas no campo da qualidade. Deming foi condecorado pelo imperador do Japão com o mais elevado galardão atribuído a um estrangeiro: a Medalha de 2.ª Ordem do Sagrado Tesouro. Os Estados Unidos só o descobriram na década de 80. Em 1986, Reagan atribuiu-lhe a National Medal of Technology e nesse ano foi lançado o livro Out of Crisis, a obra que consolidou de vez a sua fama como o grande mestre da qualidade.

W.E. DEMING W. E. DEMING

ENGENHARIA: CEP, DOE, CONFIABILIDADE

Allysson Paulinelli Ministro da Agric. 1974 linelli Coloca Eliseu Alves, na presidência da EMBRAPA Cria 14 Centros de Pesquisas em 14 regiões do país (exceto o café que tinha o IBC e o cacau que tinha a CEPLAC) Criou 4 Centros de Recursos Genéticos para o cerrado em Brasília. Com uma verba de US 200 milhões, escolheu nas melhores universidades brasileiras 1600 recém-formados e mandou-os fazer Mestrado e Doutorado nas melhores escolas agrícolas do mundo: California, Wisconsin, California, Wisconsin, França, Espanha, Índia, Japão, etc.

1. ANÁLISE COMBINATÓRIA As várias maneiras de se dispor os objetos de um conjunto em grupos denominados agrupamentos dependem basicamente de duas características: 1ª.) em cada agrupamento formado todos os elementos são distintos; 2ª.) em cada agrupamento pode haver repetição de elementos.

Arranjos, Permutações e Combinações Quando os agrupamentos têm a primeira característica (todos os elementos são distintos) são chamados de agrupamentos simples. E, quando os agrupamentos têm a segunda característica (repetição de elementos) denominam-se agrupamentos com repetição. Considerando o modo de formação dos grupos tem-se: Arranjos, Permutações e Combinações

Análise Combinatória Simples é o estudo da formação, contagem e propriedades dos agrupamentos simples. Nos agrupamento simples os grupos diferem pela ordem ou pela natureza dos elementos que o compõem. E, no caso de diferirem pela natureza, tem-se que pelo menos um dos elementos de um dos grupos formados não pertence ao outro.

FATORIAL de um número inteiro n representado por n! é definido por: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........(n-n+2)(n-n+1) n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........3.2.1 Especialmente, tem-se, por definição: 0! = 1 1! = 1 ARRANJOS de n elementos tomados p a p = = n(n-1).(n-2)......(n-p+2)(n-p+1)

Permutação de n elementos é a denominação dada aos arranjos com n = p, ou seja, são os elementos de A com p = n. Fica fácil ver que Pn = = n(n-1)(n-2) ... (n-n+1) = n! Combinação simples de n elementos tomados p a p é representada por = Cn,p = = Números Binomiais ou Combinatórios Os números conhecidos como binomiais são aqueles da forma e são representados por:

Exercícios: 1) Calcule o valor numérico de cada uma das expressões: a) 5! + 2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 2 = 122 b) = = 5) Calcule o valor de x na equação (x+2)! = 2(x+1)! Solução: (x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)……1 = 2[(x+1)x(x-1)(x-2)...1] (x+2) = 2  x = 0

8) Calcule o número de arranjos de 4 elementos tomados de 2 em 2. Solução: A = = = 12 11) Calcule o valor da expressão Solução: + + = 1+ 120+ 1 = 122 2) Qual o número de permutações simples com objetos repetidos que se pode obter com as letras da palavra matemática? P =

Matemática tem: 2 letras m, 3 letras a, 2 letras t, 1 letra e, 1 letra i e 1 letra c. Logo, n = 10 letras.

4) Em certo ano, somente quatro times de futebol têm chances de ficar em dos três primeiros lugares do campeonato brasileiro. São eles Santos, Corinthians, Coritiba e Flamengo. Quantas são as possibilidades para cada um dos três primeiros lugares? R: 24 Solução: Deve-se agrupar 4 elementos de 3 em 3. Como os agrupamentos são distintos pela ordem e pelos elementos tem-se Arranjo. A =

7) Quantas diagonais tem o pentágono? Solução: É necessário agrupar os 5 vértices do pentágono de 2 em 2. Trocando a ordem o agrupamento é o mesmo, portanto tem-se combinação de 5 elementos tomados de 2 em 2, mas deve-se descontar os 5 lados. Cn,p = - 5 = - 5 = 10 – 5 = 5

9) Considere n objetos. Agrupando-os 4 a 4 de modo que cada grupo possua pelo menos um objeto diferente do outro obtém-se o mesmo número de grupos que o obtido quando se junta os objetos de 6 em 6. Qual o valor de n? Solução: Cn,p = Cn,4 = Cn,6 = Sabe-se que números binomiais com mesmo numerador (n) e módulos complementares (p) são iguais.

Então, são complementares portanto 4 = p e 6 = n – p 6 = n - 4 n = 10

2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. Observa-se no experimento que: Os “resultados possíveis” de ocorrer formam o conjunto  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. DEF. 1 ESPAÇO AMOSTRAL, , de um experimento realizado sob condições fixas, é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, entendendo-se por resultado possível todo resultado elementar e indivisível do experimento.

2.1.1) Considere, o experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto equidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido no eixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do sistema. y m A 1 1 B x

Descreva o espaço amostral do experimento;  = {(x,y)  R2 | x = 1} b) Descreva o resultado 1 “distância entre o ponto escolhido e o ponto médio do segmento é  2” na forma de subconjunto do espaço amostral; 1 = { (x,y)   | y  2} c) Descreva o resultado 2 “distância entre o ponto escolhido e a origem é  ½”; 2 = { } =  d) Descreva o resultado 3 “a 1a. coordenada do ponto escolhido tem comprimento menor que a 2ª. ”. { (x,y)   | x  |y|}

DEF. 2 RESULTADO COMPOSTO é todo resultado formado por mais de um resultado elementar e indivisível. Ex.: O resultado “número par” NP = {2, 4, 6} não é elementar e indivisível, pois é composto por três resultados deste tipo {2}, {4} e {6}, logo “número par” é um resultado composto. O resultado “número par” é o subconjunto NP = {2, 4, 6}  . Assim, todo resultado do experimento é subconjunto do espaço amostral.

DEF. 3 -ÁLGEBRA, A, de subconjuntos do conjunto não-vazio  é a classe de subconjuntos de  satisfazendo as propriedades: 1a.)   A 2a.) Se A  A  Ac  A 3a.) Se A1, A2, A3, .....  A   A A -ÁLGEBRA mais simples é o conjunto das partes de , ou seja, P() = {, {1}, ... , {6}, {1,2}, ... , {5,6},...., } no experimento do lançamento do dado, p.ex. DEF. 4 Seja  o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A   será chamado de evento, o conjunto  é evento certo, o subconjunto  é o evento impossível e se  o evento {} é dito elementar e indivisível.

DEF. 5 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (quando  é finito). Seja A um subconjunto do espaço amostral , AP(), então se todos os resultados elementares de  são equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por P(A) = , A  A.

2.1.2) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos: A = sair um número ímpar. A = {1, 3, 5}  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) = = b) B = sair um número menor que 3. B = {1, 2} P(B) = = = 1/3

c) C = sair um número maior que 10. P(C) = = d)  = sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P() = =

2.2.5) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição “ligada”. Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada para a posição “desligada”. Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y).

Descreva o espaço amostral.  = {(x,y)  R2 | 0 < x < y < 24} b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos: (i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. A = {(x,y)   | y – x < 1} y< x + 1 y > x+1 y = x

(ii) O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h. B = {(x,y)   | 0 < x < z < y < 24} y > x

(iii) O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (onde t1< t2 são dois instantes durante o período especificado de 24 h). C = {(x,y)   | x < t1 < t2 < y < 24} (iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. y – x = 2(x+24-y) y – x = 2x+48-2y 0 x y 24 3y = 3x + 48 y = x + 16

D = {(x,y)   | y = x + 16}

DEF. 7 DEF. GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE (Gnedenko) Suponha que um segmento seja parte de um outro maior L e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a seja proporcional ao comprimento de e não depende do lugar que ocupa em L, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em é: L

Exercício Suponha que a área de um estado seja de aproximadamente 200.000 km2. e que a área de uma região metropolitana seja de 2.500 km2. Então, sabendo-se que um raio caiu no estado, qual a probabilidade de ter caído nessa região metropolitana? P(R) = = = 0,0125 = 1,25%

DEF. 9 DEF. AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE (Kolmogorov) Probabilidade ou medida de probabilidade na -álgebra A é a função P definida em A e que satisfaz os axiomas seguintes: A1) P(A)  0 A2) P() = 1 A3) Se A e BA e são disjuntos P(A  B) = P(A) + P(B) Se A1, A2, A3, ... , An A e são disjuntos, então A3’) Se A1, A2, A3, ... A e são disjuntos, então

DEF.10 ESPAÇO DE PROBABILIDADE É o trio (, A, P), onde , A e P são definidas anteriormente. Propriedades da Probabilidade Além das propriedades enunciadas na definição axiomática, a função P goza, ainda, das seguintes: P1) Se A é um evento aleatório, então a probabilidade de A não ocorrer é dada por: P(Ac) = 1 – P(A) P2) Se A é um evento aleatório, então 0  P(A)  1 P3) Se A1  A2 P(A1)  P(A2) e P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1) P4) P(A1A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1A2) P5) P6)

P10) Continuidade em Probabilidade: “Seja a seqüência {Ai} i = 1,2,3, ... onde Ai  A i, então: se Ai  A  P(Ai)  P(A) e se Ai  A  P(Ai)  P(A).

Exercício 1: Prove a propriedade P1. Prova de: P(Ac) = 1 – P(A) Seja o espaço amostral  A  Ac Considere a união de subconjuntos disjuntos AAc =  P(AAc) = P() P(A) + P(Ac) = 1 pelos axiomas A2 e A3 P(Ac) = 1 – P(A)

Exercício 2: Prove a propriedade P2. Prova de: 0 < P(A) < 1 Do axioma A1  P(A) > 0 E da propriedade P1  P(A) = 1 – P(Ac) para o menor valor de P(Ac) que é zero (axioma 1) tem-se o maior valor de P(A) que é 1. Portanto, 0 < P(A) < 1

Exercício 3: Prove a propriedade P3 . Prova de: Se A1 A2  P(A1) < P(A2) e P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1) Seja a união de eventos disjuntos: A2 = A1(A2A1c) P(A2) = P[A1(A2A1c)] P(A2) = P(A1) + P(A2A1c) axioma A3 P(A1) = P(A2) – P(A2A1c)  P(A1) < P(A2) E, P(A2 A1c) = P(A2 – A1) P(A2 A1c) = P(A2) – P(A1) Então, P(A2 – A1) = P(A2 A1c) = P(A2) – P(A1)  A1 A2

Exercício 4: Prove a propriedade P4 . Prova: P(A1A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2)  A2 A1 A1 A2 Seja a união de eventos disjuntos A1A2 = A1 (A2 – A1 A2) Então, P(A1A2) = P[A1 (A2 – A1 A2)] P(A1A2) = P(A1) + P[A2 – A1 A2)] P(A1A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2) por P3

2. 2. 6) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento 2.2.6) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais: Veja que  significa “ou” e associamos a adição (+). E,  significa “e” e associamos a multiplicação (x). Ao menos um dos eventos ocorre; ABC b) Exatamente um dos eventos ocorre; (ABc Cc)  (AcBCc)  (AcBc C) c) Exatamente dois dos eventos ocorrem; (AB Cc) (ABc C) (AcBC) d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. (AB C)c

Probabilidade Condicional DEF. Seja o espaço de probabilidade (, A, P) e os eventos A, B  A com P(B) > 0, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B é definida por: P(AB) = OBS: 1ª.) Se P(B) = 0, P(AB) pode ser arbitrariamente definida. A maioria dos livros faz P(AB) = 0, mas é conveniente pela independência se fazer P(AB) = P(A). 2ª.) Como P(AB) é uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de probabilidade.

3ª.) Como P(AB) = Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B é dada por: P(A Teorema da Multiplicação ou da Prob. Composta “Seja o espaço de probabilidade (, A, P), então: I. P(A A,B A II. P( = P(A A1, A2, A3, ....., AnA”.

Prova: n = 2 P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1) por definição n = 3 P(A1 A2 A3) = P[(A1 A2) A3] = P(A1 A2).P(A3|A1 A2) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) por indução, aceita-se a regra para n – 1 P(A1 ... An-1)=P(A1).P(A2|A1)...P(An-1|A1 A2 ... An-2) E prova-se para n assumindo o resultado de n -1 P(A1 ... An)=P[(A1 ...An-1) An) = P(A1 ... An-1)P(An|A1 ... An-1) usando o resultado para n-1 = P(A1)P(A2|A1)...P(An-1|A1 ...An-2)P(An |A1 ... An-1)

Independência de eventos DEF.: Seja o espaço de probabilidade (, A, P). Os eventos aleatórios A e BA são estocasticamente independentes se: P(A , ou seja, P(B|A) = P(B) e P(A|B)=P(A). Eventos Mutuamente Exclusivos DEF.: Os eventos A e B, com A, B  A são mutuamente exclusivos (disjuntos) se , ou seja, A .

Propriedades de Eventos Independentes 1a.) O evento aleatório AA é independente de si mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1. 2a.) Se A e B são eventos aleatórios independentes pertencentes a A, então A e Bc, Ac e B, Ac e Bc também são independentes. 3a.) Se A e B são eventos aleatórios mutuamente exclusivos pertencentes a A, então A e B são independentes somente se P(A) = 0 ou P(B) = 0.

Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL  Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e Ai = . Então, os eventos Ai formam uma PARTIÇÃO DO ESPAÇO amostral . A1 A2 A3 .......

É importante observar DUAS COISAS, admitindo-se que a seqüência A1, A2, A3, ... seja FINITA ou INFINITA ENUMERÁVEL: 1ª.) Ai e Aic formam uma PARTIÇÃO Ai  A. 2ª.)  evento B  A tem-se pois os Ai são disjuntos e, então, os B  Ai também são disjuntos e logo P(B) = P[ ]

Seja o evento B  , então a probabilidade do evento B ocorrer é dada por: que é o Teorema da Probabilidade Total A2 A5 B A1 A4 A3 

Com base no Teorema da Probabilidade Total é possível calcular a probabilidade do evento Aj dada a ocorrência do evento B, pela fórmula conhecida como, Teorema de Bayes

2. 3. 1) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna 2.3.1) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (x, y), são extraídas da urna sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de x + y =10?  = {(1,2), (1,3), ...... ,(9,10)} # = A = {(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (9,1), (8,2), (7,3), (6,4)} #A = 8 P(A) =

2.3.2) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que: Ele não tenha defeitos; P(B) = b) Ele não tenha defeitos graves; P(DGc) =

c) Ele, ou seja perfeito ou tenha defeitos graves; P(B DG) = P(B) + P(DG) – P(BDG) P(B DG) = + - 0 = = ¾ (mutuamente exclusivos) d) Resolva os itens b e c aplicando a definição de probabilidade. (b) P(DGc) = (c) P(B DG) =

2.3.3) Se do lote de artigos do problema anterior, dois artigos forem escolhidos (sem reposição), ache a probabilidade de que: Ambos sejam perfeitos; P(B1 B2) = P(B1)P(B2|B1) = b) Ambos tenham defeitos graves; P(DG1 DG2) = P(DG1)P(DG2|DG1) = c) Ao menos 1 seja perfeito; P[(B1 B2c ) (B1c B2) (B1 B2) = = P[(B1 B2c )+P(B1c B2) + P(B1 B2) = P(B1)P(B2c|B1) + P(B1c)P(B2| B1c) + P(B1)P(B2|B1)

= = 7/8 d) No máximo 1 seja perfeito; P[(B1c B2c) (B1 B2c) (B1c B2)] = = P(B1c B2c) + P(B1 B2c) + P(B1c B2) = = P(B1c)P(B2c|B1c) + P(B1)P(B2c|B1) + P(B1c)P(B2|B1c) = =

2.5.2) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta para certa questão, de um exame de múltipla escolha é p. Das opções de resposta para cada questão, somente uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para a questão, ele seleciona ao acaso uma resposta dentre as m opções. Se a probabilidade do aluno responder corretamente dado que ele sabe a resposta é 0,88 pergunta-se: Se o aluno responder corretamente a questão, qual a probabilidade de que ele “chutou” a resposta? P(chutou|RC) = =

P(chutou|RC) = (RC) = (AS RC) (ASc RC) P(RC) = P[(AS RC) (ASc RC)] P(RC) = P(AS)P(RC|AS)+P(ASc)P(RC|ASc] P(RC) = p.0,88 + (1-p)

b) Se o aluno responder incorretamente a questão, qual a probabilidade de que ele não “chutou” a resposta? P(não chutou|RI) = = RI = (ASRI)(ASc  RI) P(RI) = P[(AS RI) + (ASc  RI)] P(RI) = P(AS)P(RI|AS)+P(ASc)P(RI|ASc] P(RI) = p.(1-0,88) + (1-p) P(não chutou|RI) = =

A1: chove no dia e A2: não chove B : meu time ganha o jogo P(A1|B) = 2.5.4) Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é 0,3. O meu time ganha um jogo em dia de chuva com probabilidade 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou o jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovido no dia? A1: chove no dia e A2: não chove B : meu time ganha o jogo P(A1|B) = P(A1|B) = = A1 A2 B

P(A1|B) =

3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DEF. Uma variável X em um espaço de probabilidade (,A,P) é uma função real definida no espaço , tal que o evento [X  x] é evento aleatório x  R isto é, a função X:  R é v. a. se o evento [ X  x ]  A,  x  R. EXEMPLO Seja uma família com duas crianças. Escreva todas as situações possíveis de ocorrer quanto ao sexo das crianças; R:  = {(F1, F2), (F1, M2), (M1, F2), (M1, M2)}

b) Associe a cada situação possível um número real considerando a função que conta o número de meninos do evento; O 1 2 R  1=(F1,F2) X() = x 2=(F1,M2) 2=(M1,F2) 2=(M1,M2)

DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA c) O campo de variação da variável aleatória X, ou contradomínio, é o conjunto {0, 1, 2}. DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A v.a. X é chamada de DISCRETA quando o seu contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável, ou melhor, se existe um conjunto finito ou infinito enumerável {x1, x2, x3, ... }  R tal que X()  {x1, x2, x3, ... }   . DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA A v.a. X é chamada de CONTÍNUA quando o seu contradomínio é um conjunto infinito não enumerável.

DEF. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO F(x): A função distribuição ou função distribuição acumulada da v.a. X é definida por F(x) = P(X  x). DEF. A f.p. da v.a. X, discreta, representada por P(X=xi) = p(xi) é uma função tal que para X()  {x1, x2, x3, ...}   A P(X = xi) = p(xi)  0 e DEF. A f.d.p. da v.a. X, contínua, representada por fX(x) é uma função tal que fX(x)  0 e .

DETERMINAÇÃO da DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADE da v.a. X A distribuição de probabilidades de uma v.a. X fica determinada por qualquer das seguintes funções. Usa-se, geralmente, a mais apropriada. A função distribuição, f.d., F(X); A função de probabilidade, f.p., P(X = x) = p(x); A função densidade de probabilidade, f.d.p., fx(x); A função característica X(x) = E(eitx).

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Distribuição de Bernoulli (v.a. discreta) Uma v.a. X tem uma distribuição de Bernoulli com parâmetro  quando assume apenas os valores 1 e 0 com probabilidade  e (1 - ), respectivamente, (1 em geral representa sucesso). EXEMPLOS 1) Face de uma moeda: cara ou coroa. 2) Sexo de uma criança: masculino ou feminino. 3) Qualidade de uma peça: perfeita ou defeituosa.

A f.p. da v.a. Bernoulli é dada por: P(X = x) = x(1 - )1-x x = 0, 1 0 <  < 1 Os parâmetros de uma variável Bernoulli são: Média  = E(X) =  Variância 2 = V(X) = (1-) e o desvio padrão  = =

2 = V(X) = (1- )[+(1- )] = (1- ) = (1/4)(3/4) = 3/16 EXERCÍCIO 3.2.1.1) Qual a esperança e a variância da v.a. X ~ b(1, 1/4)? Solução: = E(X) = = 1.P(X=1)+0.P(X=0) = P(X=1) =  = E(X) = ¼ 2 = V(X) = = = (0- )2.P(X=0)+(1- )2.P(X=1) = = 2(1- )+(1- )2  = (1- )[+(1- )] 2 = V(X) = (1- )[+(1- )] = (1- ) = (1/4)(3/4) = 3/16

Distribuição Binomial (v.a. discreta) Uma v.a. Y tem distribuição binomial com parâmetros n e  quando assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, ... , n} e a sua f.p. é dada pela expressão: y = 0, 1, ... , n A esperança e a variância de Y são: = E(Y) = n e 2 = V(Y) = n(1- ) A v.a. Binomial corresponde ao número de sucessos em n provas tipo Bernoulli independentes.

Exemplos de v.a. Binomial: Número de peças defeituosas em um lote com n = 20 peças; y = 0, 1, 2, ..... , 20 n = 20 2) Número de meninas em uma família com n = 5 crianças. y = 0, 1, 2, .... , 5 n = 5

3.2.1.3) De um lote que contém vinte e cinco peças das quais cinco são defeituosas, são escolhidas quatro ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Escreva a distribuição de probabilidade de X, quando as peças forem escolhidas com reposição. P(D) = 5/25 = 1/5 =  n = 4 – Binomial b(4, 1/5)

3.2.1.3) De um lote que contém vinte e cinco peças das quais cinco são defeituosas, são escolhidas quatro ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Escreva a distribuição de probabilidade de X, quando as peças forem escolhidas sem reposição. P(Y = y) = Hipergeométrica

Exercício a) Calcule a esperança matemática de Y no experimento do exercício 3.2.1.3 – primeira parte. = E(Y) = n = 4x(1/5) = 4/5 b) Calcule o desvio padrão de Y no experimento do 3.2.1.3 – primeira parte. =

Distribuição de Poisson Uma v.a. X tem distribuição de Poisson quando a sua f.p. é da forma: P(X = x) = x = 0,1,2,3,... e  > 0 A esperança e a variância de X são dadas por:  = E(X) =  e 2 = V(X) =  Exemplos: 1) Número de erros tipográficos em uma única página de um livro é P(); no exercício 3.2.1.9  = 1. 2) Número erros de solda em uma placa de circuito impresso é P().

Distribuição Normal (Gaussiana) – v.a. contínua Uma v.a. X tem distribuição Normal ou Gaussiana quando a sua f.d.p. tem a forma: f(x) = x  ,    e   +

A fig. anterior mostra o gráfico da f. d. p A fig. anterior mostra o gráfico da f.d.p. f(x) de uma N(20, 1), ou seja, Gaussiana com média  = 20 e desvio padrão  = 1. A fig. adiante mostra o gráfico da f.d.p. f(x) de uma Normal Padrão, ou seja, N(0, 1).

Como é difícil trabalhar-se com todos os membros da família Normal, prefere-se trabalhar com a Normal Reduzida ou Normal Padrão. Esta v.a. é representada por Z e tem a seguinte f.d.p.: f(z) = z   P(X < x) = P( < ) = P(Z < z)

Na distribuição Normal a probabilidade da v. a Na distribuição Normal a probabilidade da v.a. X assumir um valor entre a e b (a < b) é dado por: P(a  X  b) = A distribuição da v.a. Z tem média e variância iguais a, respectivamente,  = 0 e 2 = 1 e essa v.a. é obtida da transformação de X em Z = (X - )/, onde X ~ N(, 2). P(a<X<b) = P( < < ) = P(a< Z < b) P(a< Z < b) =

VERIFICAÇÃO DA NORMALIDADE DE UMA AMOSTRA (dados) A Gaussianidade de dados, ou seja, o teste da hipótese de que as observações seguem uma distribuição Gaussiana, N(, 2), pode ser feito por meio dos métodos: Kolmogorov-Smirnov; Shapiro-Wilks; Qui-quadrado; e outros. O método de Kolmogorov-Smirnov é geral, usado para a Normal e para as outras distribuições. Já o método de Shapiro-Wilks é especifico para a distribuição Normal. O teste Qui-quadrado é aplicável, somente, quando a mostra tem um tamanho grande. Na prática estes métodos são aplicáveis com uso de programa estatístico (MINITAB, STATGRAPHICS, R, SPSS, etc.

Exemplo 1 Verifique usando os métodos de Kolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilks se a amostra aleatória segue a distribuição Gaussiana. Os dados estão em gramas e correspondem ao peso de determinado produto observado n = 20 vezes. 49,6890 50,4332 49,1072 49,7983 49,9152 50,2821 50,0048 49,8834 49,7633 49,8403 49,9567 50,8553 49,5055 49,4060 50,3345 50,4099 49,3756 49,9681 49,2399 50,2500 MTB> STAT, BASIC STATISTICS, NORMALITY TEST (entre com peso, o teste K-S e depois o de R-J).

O gráfico de probabilidade normal é apresentado adiante e mostra que o valor-p do teste é p > 0,150 indicando que os dados vêm de uma população (distribuição Gaussiana) conforme o teste de Kolmogorov-Smirnov. Já o teste de Ryan-Joiner similar ao de Shapiro-Wilks (disponível no programa) indicou um valor-p de p > 0,100 confirmando o apontado pelo teste de Kolmogorov-Smirnov.

Exemplo 2 Escreva a expressão do modelo Gaussiano que pode ser ajustado adequadamente aos dados. f(x) = = x  R Exemplo 3 Verifique usando o método de K-S se a a.a. adiante segue a distribuição Exponencial de probabilidades. Os dados estão em mm e correspondem ao comprimento de determinado produto que foi observado n = 30 vezes.

Usando o STATGRAPHICS STATG> DESCRIBE, DISTRIBUTIONS, DITRIBUTION FITTING (entra com a coluna com os dados), BOTÃO DA DIREITA DO MOUSE, ANALYSIS OPTIONS (marcar Exponencial), BOTÃO AMARELO DAS OPÇÕES, GOODNESS OF FITTING. 0,451000 1,96945 7,13563 31,7629 6,64905 6,18010 9,09503 0,384300 0,951424 9,40156 9,51063 14,0222 3,94125 8,65843 6,12337 5,32622 9,42843 22,7070 8,62611 43,0589 14,4677 2,12289 4,74482 14,7730 0,120617 6,38820 2,80350 20,7474 7,38290 5,69364

RESULTADOS: Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0.133655 Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0.129582 Estimated overall statistic DN = 0.133655 Valor-p p = 0.657417 Como o teste de Kolmogorov-Smirnov forneceu valor-p de p = 0,657417 > 0,05 aceitá-se a hipótese de que os dados tenham vindo de uma distribuição exponencial com parâmetro = 9,48758 (média amostral).

Exemplo 4 Escreva a expressão do modelo exponencial que pode ser ajustado aos dados do exemplo 3 adequadamente. f(x) = e-x = 9,48758e x > 0 EXERCÍCIOS 3.2.1.12) Seja a v.a. X ~ N (10,4). Calcule: a) P(8<X<10). Solução: P(8<X<10) = = P(8<X<10) = 0,341345

E, usando o MINITAB o caminho é: Cumulative probability MTB> CALC/ PROBABILITY DISTRIBUTIONS/ NORMAL Cumulative probability Mean 10 Standard deviation 2 Input constant 10 (depois entra com 8) As saídas são: 0,5 e 0,158655 P(8<X<10) = F(10) – F(8) = 0,5 – 0,158655 = 0,341345

ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA - Definições DEF. Seja uma variável aleatória X, discreta, que assume valores no conjunto {x1, x2, x3, ... , }. Chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valor: DEF. Chamamos VARIÂNCIA da v.a. X ao valor: 2 = V(X) =

DEF. A raiz quadrada da variância da v. a DEF. A raiz quadrada da variância da v.a. X é denominada desvio-padrão da v.a. X,  = Uma relação muito importante é , onde Se a v.a. é contínua tem-se a esperança de X dada por: e a variância por E(x-)2 = 2 =

DEF. Se as v.a’s X e Y não são independentes existe uma diferença entre E(X.Y) e E(X).E(Y). Esta diferença é chamada de covariância e definida por: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y - E(Y))] cov(X,Y) = E[(X - X).(Y - Y )] e se cov(X,Y) = 0 as v.a’s são chamadas de não-correlacionadas. DEF. A covariância entre as v.a’s X e Y padronizadas é chamada de coeficiente de correlação  = E[( )]

Exemplo Os dados adiante referem-se ao peso e ao comprimento de uma aste de seção constante. Calcule a correlação entre as variáveis. Peso: 5 8 10 15 21 24 31 36 Comprimento: 10 15 20 30 40 50 60 75 O Diagrama de Dispersão (adiante) mostra a tendência da evolução dos dados, ou seja, a forma do relacionamento entre as duas variáveis Peso e Comprimento.

Esse gráfico foi obtido no MINITAB usando o caminho: MTB> graphs/ scatterplots / with regression E, o valor do coeficiente de correlação  estimado é obtido aplicando-se a expressão do estimador de  dada por: onde é a média amostral da v.a. X e é a média amostral da v.a. Y

O caminho do cálculo no MINITAB é o seguinte: MTB> STAT/ BASIC STATISTICS/ CORRELATION = 0,997 (correlação alta) Quando se pretende modelar o relacionamento pode-se ajustar o modelo linear: Yi = 0 + 1xi + i i = 1,2, ..., n MTB> STAT / REGRESSION / REGRESSION – RESPONSE Y /PREDICTORS X

A equação de regression estimada é: y = 0,557 + 0,485x Os resultados para os coeficientes são: Predictor Coef. E.P. t p 0.5574 0.4110 1.36 0.196 0.485135 0.009508 51.03 0.000 s = 0.817875 R2 = 99.5%

ESTATÍSTICA DESCRITIVA População, Amostra e Descrição Numérica de Variáveis. POPULAÇÃO Em Estatística denomina-se população alvo a totalidade de elementos que estão sob discussão e dos quais se deseja informação. AMOSTRA ALEATÓRIA Uma a.a. aleatória tomada de uma determinada população é aquela em que os elementos que compõem a população têm uma chance probabilística de pertencer à amostra. Uma amostra aleatória de tamanho n é geralmente representada por [X1, X2, ... , Xn], onde Xi i = 1,2, .. ,n são os valores obtidos para compor a amostra.

Na Ciência Estatística a população amostrada corresponde à distribuição de probabilidade correspondente a certa característica (física ou não) e a amostra corresponde a valores medidos dessa característica. Essa distribuição de probabilidade é definida por uma função que depende de parâmetros que são, em geral, desconhecidos. Esses parâmetros devem ser estimados com base nos valores amostrais usando-se seus estimadores.

Exemplo 1 O diâmetro de um calibrador tampão liso cilíndrico foi medido em uma máquina de medição universal por meio de um método de medição direta e se obteve uma amostra de n = 10 leituras. A amostra está na tabela adiante. As n = 10 medidas obtidas correspondem à a.a. tomada da característica “diâmetro do calibrador”. A população amostrada corresponde à distribuição de probabilidade da característica X = diâmetro do calibrador. Uma medida física geralmente tem distribuição de probabilidade Gaussiana (Normal), então a população amostrada é a Distribuição de Probabilidade Gaussiana (Normal).

Número da Leitura Leitura em mm 1 10,0024 2 10,0027 3 10,0028 4 5 10,0021 6 10,0026 7 10,0020 8 9 10,0023 10

Gaussianidade Será que os dados vêm de uma distribuição Gaussiana? Aplicação do Teste de Kolmogorov-Smirnov CAMINHO: MTB> STAT/BASIC STATISTICS/NORMALITY TEST/ KOLMOGOROV-SMIRNOV RESULTADOS DO TESTE; valor-p p > 0,150 Os dados vem de distribuição Gaussiana (Normal).

Exemplo 2 Seja a a.a. [X1, X2, ... , Xn] de uma característica populacional com f.d.p. Gaussiana com média  e variância 2 e representada por N(, 2). A média amostral , a variância amostral s2 e o desvio padrão s são estatísticas. São funções de v.a’s observáveis e não dependem de qualquer parâmetro desconhecido. Veja as expressões das estatísticas citadas: Média amostral = estima o parâmetro  Variância e amostral s2 = estima o parâmetro d.p. s = estima o parâmetro 

Exemplo 3 A função da média amostral é estimar a média populacional (parâmetro desconhecido) ; A função da variância amostral s2 é estimar a variância populacional (parâmetro desconhecido) 2; A função do desvio padrão amostral s é estimar o desvio padrão populacional (parâmetro desconhecido) ;

Exemplo 4 Usando os dados da tabela 1 estime o parâmetro correspondente à verdadeira média  do diâmetro do calibrador. Caminho no MINITAB: MTB> STAT/BASIC STATISTICS/DISPLAY DESCRIPTIVE STATISTICS = = (10,0024 + .... + 10,0026) = 10,0025

Exemplo 5 Usando os dados da tabela 1 estime o parâmetro correspondente à verdadeira variância 2 do diâmetro do calibrador. s2 = = s2 = s2 = = 0,000000072889

Exemplo 6 Usando os dados da tabela 1 estime o parâmetro correspondente ao verdadeiro desvio padrão  do diâmetro do calibrador. s = = = s = = 0,000270

Exemplo 7 A figura adiante mostra a distribuição de probabilidade da v.a. correspondente ao diâmetro do calibrador da tabela 1.

Exemplo 8 As figuras adiante representam as distribuições (populações) correspondentes a uma característica X de um produto fabricado por três empresas. De qual das empresas você compraria o produto considerando que a característica X é fundamental ao funcionamento do produto? Considere que a característica X do produto está especificada por: alvo  = 5,0 e tolerância de  = 0,5, ou seja, 5,0 ± 0,5.

Observe que você deve comprar do fabricante 2 porque o desvio padrão da característica X do produto desse fabricante é 0,05 e, portanto, a produção ficará mais concentrada dentro das especificações. De modo nenhum a compra deve ser feita do fabricante 3, pois a quantidade de defeituosos (fora das especificações) será inaceitavelmente grande. Observe as amplitudes de variação mostradas nos três gráficos.

DESCRIÇÃO NUMÉRICA DE VARIÁVEL A descrição numérica dos dados (amostra) de uma variável aleatória é feita usando as estatísticas seguintes: Estatísticas de Centralidade (Medidas de Tendência Central) e Separatrizes. média amostral (a média amostral estima a verdadeira média populacional ).

Exemplo 1: Duas máquinas produzem peças que estão especificadas com valor nominal  = 2 mm e tolerância  = 0.2 mm. Foi tomada da 1a. máquina uma amostra com tamanho n = 5 peças que forneceram as seguintes observações: 1,98 2,01 2,02 1,99 e 2,00. Já a 2a. máquina forneceu uma amostra do mesmo tamanho com as observações: 2,00 2,01 2,01 1,98 2,0. Você diria, com base nas amostras, que as duas máquinas estão centradas no alvo das especificações? Tome a sua decisão calculando as médias amostrais.

= 1,98+2,01+2,02+1,99+ 2,00) = 2,00 = 2,00+2,01+2,01+1,98+ 2,00) = 2,00 Sim, as máquinas estão centradas no alvo (valor nominal) das especificações.

mediana  (separa os dados ordenados em duas partes com igual número de termos) Exemplo 3: Calcule a mediana amostral de cada uma das amostras aleatórias seguintes. Lembre de primeiro ordenar as observações. a) 20 30 40 20 25 b) 1,5 2,0 1,0 2,5 3,0

b) Ordenando os termos: 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Solução: Ordenando os termos: 20, 20, 25, 30, 40 b) Ordenando os termos: 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 c) xi fi 20 3 25 4 30 2

EXERCÍCIOS 1) A mediana  é uma separatriz, além de uma medida de centralidade. Então, o que faz a separatriz? R: Separa as observações ordenadas em duas partes com igual número de termos. 2) Os quartis são medidas de posição (ordem), ou ainda, separatrizes. Quantos são os quartis e o qual a sua função? R: Os quartis são três: Q1 é o quartil inferior, Q2 é a mediana e Q3 é o quartil superior. A função dos três quartis é separar os dados ordenados em quatro partes com igual número de termos; deste modo 25% das observações são inferiores a Q1, 50% são nferiores a Q2 =  e 75% são inferiores a Q3.

3) A descrição dos dados de uma amostra forneceu os seguintes valores para os quartis: Q1 = 7, Q2 = 10 e Q3 = 13. Interprete o significado de cada um dos quartis quanto à população de onde vieram os dados. 4) Os percentís são medidas de posição (ordem), ou ainda, separatrizes. Qual a sua função? R: Os percentís são em número de 99 e têm por função separar os dados ordenados em 100 partes com igual número de termos.

Exercício Descreva os dados do diâmetro do calibrador que estão na tabela 1 do exemplo 1. Solução: usa-se um pacote estatístico (MINITAB p.ex.) Descriptive Statistics: diam_calib Variável Média E.P. D.P. Variância Min. Q1 diam_calib 10.0025 0.0000854 0.000270 7.28889E-08 10.002 10.0020 Variable Mediana Q3 Max. Amplitude diam_calib 10.0026 10.003 10.0028 0.000800

Q1= 10.0023 Média = 10,0025 Mediana = 10,0026 Q3 = 10,0027 Máximo = 10,0028 Amplitude = 0,0220 Desvio padrão = 0,000270 Caminho no Minitab: STAT BASIC STATISCS DISPLAY DESCRIPTIVES ...

Exercício 3: Os dados abaixo correspondem a uma amostra aleatória do diâmetro do furo (em mm) para fixação de certo equipamento aeronáutico. Descreva os dados numericamente e graficamente. 120,5 120,9 120,3 121,3 120,4 120,2 120,1 120,5 120,7 121,1 120,9 120,8 120,3 120,2 120,3 120,4 120,5 120,2 120,8 120,9 120,5 120,6 120,4 120,7 120,5 120,6 120,5 120,7 120,6 120,5

STAT > BASIC STATISCS >DISPLAY > DESCRIPTIVES ... Solução: Caminho no Minitab: STAT > BASIC STATISCS >DISPLAY > DESCRIPTIVES ... Descrição numérica consiste em calcular as estatísticas descritivas: média, desvio padrão, variância, etc. Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median diam_furo 120,56 0,0511 0,280 0,0783 0,0023 120,10 120,38 120,50 Variable Q3 Maximum Range diam_furo 120,73 121,30 1,20

Média = 120,56 Desvio padrão s = = 0,280 Erro padrão da média EP = Variância = s2 = = 0,0783

Coef. de variação = = 0,23% Então, o desvio padrão é 0,23% da média. O valor mínimo x(1) = 120,10 O primeiro quartil Q1 = 120,38 Significa que 25% dos termos são inferiores a 120,38 Posição de Q1 é = , então Q1 está entre o 70. e o 80. termos ordenados.

A mediana  = 120,5 Posição da mediana n/2 Se n é impar a mediana é o termo central (termos ordenados). Se n é par a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais (termos ordenados). O segundo quartil Q2 =  = 120,5 O terceiro quartil Q3 = 120,73 A posição de Q3 é Então Q3 situa-se entre o 220. e o 230. termos.

O valor máximo é x(n) = 121,30 A amplitude dos dados é R = x(n) - x(1) = 121,30 – 120,10 R = 1,20

Descrição gráfica consiste em construir o histograma dos dados. Caminho no MINITAB: GRAPH HISTOGRAM

2) O tempo de vida até falhar, em horas, de um componente eletrônico sujeito a um teste de durabilidade acelerado é mostrado abaixo para uma amostra com tamanho n = 40. Para acelerar a falha no teste, as unidades experimentais são testadas sob uma temperatura elevada. 127 125 131 124 129 121 142 151 160 125 124 123 120 119 128 133 137 124 142123 121 136 140 137 125 124 128 129 130 122 118 131 125 133 141 125 140 132 129 126

a) Calcule a média amostral. b) Calcule a variância amostral. c) Calcule o desvio padrão amostral. d) O erro padrão da média. e) Calcule a variância. f) Calcule o coeficiente de variação. g) Calcule a mediana e os quartis. h) Calcule a amplitude dos dados. i) Qual a finalidade das estatísticas que você calculou nos itens anteriores. j) Construa o histograma. E ajuste a curva normal aos dados, use qualquer programa estatístico.

Usando o MINITAB com o caminho: Solução: Usando o MINITAB com o caminho: MTB> STAT>BASIC STATISTICS>DISPLAY DESCRIP. ...... Resultados: Variable Mean SE Mean StDev Var. CoefVar Minimum Q1 Median tempoVIDA 130,00 1,41 8,92 79,54 6,86% 118,00 124,00 128,00 Variable Q3 Maximum Range tempoVIDA 135,25 160,00 42,00

Média = (127+125+ … +126) = 130,00 Desvio padrão s = = 8,92 Erro padrão da média EP = = Variância s2 = = 79,54 Coef. de Variação cv = = = 6,86%

Mediana  = 128 (N = 40, então a mediana é a media aritmética dos dois termos centrais: 190 e 200); 10. Quartil Q1 = 124 (25% dos termos são inferiores a 124) 30. Quartil Q3 = 135,25 (25% dos termos são superiores a 135,25) Amplitude R = x(n) – x(1) = 160 – 118 = 42 i) A finalidade das estatísticas calculadas é estimar (avaliar) os verdadeiros parâmetros.

f) Histograma e ajuste a curva normal Solução: usando o MINITAB com o caminho: STAT BASIC STATISTICS NORMALITY TEST

O ajuste da Curva Normal foi aceito pois no teste de Kolmogorov-Smirnov o valor-p foi p = 0,115 > 0,05.

3) Os dados adiante são leituras do rendimento de um processo químico em dias sucessivos (leia da esquerda para a direita). Faça o histograma dos dados, comente o aspecto do histograma e verifique se o histograma lembra alguma distribuição de probabilidade conhecida. E, ainda, descreva numericamente os dados, calculando as estatísticas listadas adiante. a) Calcule a media amostral. b) Calcule a variância amostral. c) Calcule o desvio padrão amostral. d) Calcule a mediana e os quartis. e) Qual a finalidade das estatísticas que você calculou nos itens anteriores. Escreva para que serve cada uma delas.

94,1 87,3 94,1 92,4 84,6 85,4 93,2 84,1 92,1 90,683,6 86,6 90,6 90,1 96,4 89,1 85,4 91,7 91,4 95,288,2 88,8 89,7 87,5 88,2 86,1 86,4 86,4 87,6 84,286,1 94,3 85,0 85,1 85,1 85,1 95,1 93,2 84,9 84,089,6 90,5 90,0 86,7 87,3 93,7 90,0 95,6 92,4 83,089,6 87,7 90,1 88,3 87,3 95,3 90,3 90,6 94,3 84,1 86,6 94,1 93,1 89,4 97,3 83,7 91,2 97,8 94,6 88,696,8 82,9 86,1 93,1 96,3 84,1 94,4 87,3 90,4 86,494,7 82,6 96,1 86,4 89,1 87,6 91,1 83,1 98,0 84,5

Solução: Usando o MINITAB no caminho MTB> STAT> BASIC STATISTICS> DISPLAY DESCR.. Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median RENDpq 89,476 0,438 4,158 17,287 4,65 82,6 86,1 89,250 Variable Q3 Maximum Range RENDpq 93,1 98,000 15,400 A finalidade dessas estatísticas é estimar os verdadeiros parâmetros.

Média amostral = 89,476 A verdadeira média do rendimento médio é um parâmetro desconhecido e estimado pela média amostral em 89,476. Variância amostral s2 = = 17,287. A verdadeira variância do rendimento médio é um parâmetro desconhecido e estimado pela variância amostral em 17,287. Desvio padrão amostral s = = 4,158

O verdadeiro desvio padrão do rendimento é um parâmetro desconhecido, mas estimado pelo desvio padrão amostral s = 4,158. A mediana amostral é 89,250 A verdadeira mediana do rendimento é um parâmetro desconhecido, mas estimado pela mediana amostral 89,250. Então, entende-se que 50% dos valores do rendimento são inferiores ao rendimento de 89,250.

O primeiro quartil é Q1 = 86,1 O valor de Q1 é determinado a partir da posição dessa separatriz . Então, o primeiro quartil está entre o 220. termo (86,1) e o 230. termo (86,1) ordenados. Logo, ele é 86,1. Isto significa que 25% dos termos são inferiores a 86,1 e, consequentemente, 75% são superiores.

O terceiro quartil é Q3 = 93,1 O valor de Q3 é determinado a partir da posição dessa separatriz . Então, o terceiro quartil está entre o 670. termo (93,1) e o 680. termo (93,1) ordenados. Logo, ele é 93,1. Isto significa que 25% dos termos são superiores a 93,1 e, consequentemente, 75% dos termos são inferiores. A finalidade de cada estatística calculada é avaliar (estimar) o parâmetro verdadeiro (populacional) desconhecido.

Ajustamento de Um modelo Probabilístico aos Dados Seja agora o problema de se ajustar um modelo de probabilidade aos dados adiante. Isto deve ser feito por programa estatístico computacional. Usando o MINITAB o caminho é: GRAPH PROBABILITY PLOT Dados: (Amostra de uma distribuição log-normal) 3,94026 1,94644 2,83870 2,17336 2,65617 2,21181 2,18587 3,19817 3,56792 1,48382 2,41691 2,06446 3,86631 4,69082 1,76695 2,62691 3,60134 1,57235 2,91195 2,94858

Vamos examinar o histograma dos dados:

Ajuste do Modelo Normal p = 0,597 > 0,05 (aceito)

Modelo Lognormal p = 0,962 > 0,05 (melhor modelo)

5. Estimação de Parâmetros Introdução Seja a a.a. [X1, X2, ... , Xn] obtida de uma distribuição de probabilidade que corresponde a população amostrada. Então, essa amostra trás informações sobre os parâmetros da distribuição (população) e é possível estimar esses parâmetros usando as informações da amostra. ESTIMADOR Um estimador é uma estatística (função conhecida de v.a’s observáveis que também é uma v.a.) cujos valores são usados para estimar alguma função do parâmetro .

Exemplo 1 A estimação da média populacional  (parâmetro) é feita usando-se o estimador mais adequado, que é a média amostral Este estimador (estatística) tem propriedades excelentes, tais como: é suficiente, é consistente, é eficiente e é não-viciado, ou seja, ele é UMVU.

Pergunta importante: Precisão e acurácia significa a mesma coisa? Seja a a.a. [x1, x2, ... , xn] obtida de uma distribuição de probabilidade que corresponde a população amostrada. Então, essa amostra trás informações sobre os parâmetros da distribuição (população) e é possível estimar esses parâmetros usando as informações da amostra. Precisão mede a diferença entre a estimativa que avalia o parâmetro e a média da amostra, ou seja, . Precisão tem a ver com dispersão dos dados. Acurácia mede a diferença entre a estimativa que avalia o parâmetro e o próprio parâmetro estimado, ou seja, - 

Um estimador suficiente resume todas as informações que a a. a Um estimador suficiente resume todas as informações que a a.a. trás, este resumo pode ser observado na estatística que agrega todas as informações; Já um estimador consistente é aquele que à medida que o tamanho da amostra (n) aumenta, a estimativa obtida se aproxima do verdadeiro parâmetro populacional ; Um estimador eficiente significa que as estimativas fornecidas por ele possuem a menor variância entre as de todos os possíveis estimadores do parâmetro; E, finalmente, um estimador não-viciado é tal que a esperança matemática (média) dele é o próprio parâmetro que ele está estimando, ou seja, E(T) = .

ESTIMATIVA É o valor numérico obtido para o estimador com os dados da amostra. TIPOS ESTIMAÇÃO Existem dois tipos de estimação. O que fornece uma estimativa PONTUAL, e que nesse caso corresponde a um único valor para a estimativa. E o que fornece uma estimativa por INTERVALO, nesse caso tem-se um limite inferior e um limite superior para a variação do parâmetro com certo nível de confiança. ESTIMAÇÃO PONTUAL Seja a abordagem desse tema por meio de um exemplo:

Exemplo 2 Seja a a.a. das cinco leituras do diâmetro do calibrador listada na tabela adiante. A estimativa pontual do verdadeiro diâmetro médio do calibrador  é obtida usando-se o estimador: = 10,0028 que forneceu a estimativa pontual de 10,0028. b) A estimativa pontual da variância 2 é dada pelo estimador: s2 = = 5.9E-7

que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual de s2 = 5 que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual de s2 = 5.9E-7. c) A estimativa pontual do desvio padrão  é dada pelo estimador: s = = 0,00768115 que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual s = 0,00768115.

Os dados analisados são: Medidas do Diâmetro do Calibrador Número da leitura Medidas do Diâmetro do Calibrador 1 10,0024 2 10,0027 3 10,0041 4 5 10,0021 ...................

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO: A estimação por intervalo consiste na construção de um intervalo de confiança em torno da estimativa pontual, de modo que esse tenha uma probabilidade fixada do intervalo cobrir o verdadeiro valor do parâmetro. Geralmente, o que se faz na construção do intervalo é somar e subtrair à estimativa pontual um múltiplo do erro padrão da estatística usada na estimação, de modo que se tenha certa probabilidade de cobrir o intervalo.

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL Quando os dados vêm de uma distribuição Normal, ou ainda, quando n > 30 e se  for conhecido tem-se a seguinte expressão para o intervalo de confiança de nível (1 - ) para a média : onde

Este intervalo é construído com base na estatística: A v.a. z tem uma distribuição de probabilidade Normal Padrão, ou seja, N(0, 1). Sua f.d.p. é: f(z) =

Quando os dados vêm de uma distribuição Normal (Gaussiana) e  for desconhecido, tem-se a seguinte expressão para o intervalo de confiança de nível (1 - ) para a média : onde Este intervalo é construído com base na estatística:

A f.d.p. da distribuição “t” de Student tem o seguinte gráfico no caso do número de G.L. ser n – 1 = 5 – 1 = 4

Exercícios Seja a amostra aleatória dos diâmetros de esferas de rolamento com tamanho n = 5, [2,0; 2,1; 2,0; 2,2; 2,1]. Os diâmetros estão em milímetros. Estime por ponto a média do processo de produção desse item. = = = 2,08

2) Estime por ponto o desvio padrão da amostra do ex. 1.

3) Estime o erro padrão da estimativa do exercício 1. EP = = = = 0,0374 4) Estime por intervalo a média do processo de produção do diâmetro considerando o nível de confiança de 95%. =

Mas, será que os dados vêm de uma distribuição Gaussiana? MT> STAT>BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST Valor-p p > 0,150 Aceito a hipotese nula dos Dados serem Gaussianos

Então, faz-se as contas: O cálculo do escore da distribuição “t” de Student com  = n – 1 = 4 graus de liberdade é: MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t > Inverse Cumulative Probability P( T <= t ) t 0,025 -2,77645 Então, faz-se as contas: P(2,08-2,77645.0,0374<  < 2,08 + 2,77645.0,0374) = 0,95 P(1,97607 <  < 2,18389) = 0,95 Então, IC de nível 95% é: [1,976607 ; 2,18389]

Intervalo de Confiança Usando o MINITAB: MTB> STAT> BASIC STATISTICS> 1-Sample t One-Sample T: diamESFF Test of mu = 2 vs not = 2 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T p diamESFF 5 2,080 0,08367 0,03742 (1,97611; 2,18389) 2,14 0,099 Este comando faz também o teste de H0 :  = 0 = 2 Decisão: Aceita-se H0 pois o valor-p é p = 0,099 > 0,05.

5) A amostra adiante corresponde a n = 20 observações da espessura de chapas metálicas. Este produto está especificado pelo valor nominal  = 5 mm e tolerância de 0,5 mm e toda chapa produzida deve ficar dentro dos limites de especificação, ou seja, entre LIE = 4,5 e LSE = 5,5 mm. 4.83629 5.10238 5.09497 4.96608 4.93144 5.06309 4.90608 4.89091 5.06783 5.07828 4.96388 4.94415 4.93216 4.83297 5.13654 4.86722 5.10440 4.97626 5.01899 4.81916

a) Verifique se os dados vêm de uma distribuição Normal. Usando o MINITAB no caminho: MTB> STAT> BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST

Como o valor-p é p > 0,150 aceita-se a Gaussianidade. b) Determine o intervalo de confiança de nível 1 -  = 0,95 para a média e verifique se ele está contido no intervalo da especificação. One-Sample T: ESP_CHAPA Test of mu = 5 vs not = 5 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI t p ESP_CHAPA 20 4,97665 0,10115 0,02262 (4,92931; 5,02400) -1,03 0,315 LIE = 4,5 e LSE = 5,5 logo o IC não está dentro da amplitude de especificação, existe uma parcela de não-conformes abaixo de 4,5.

c) Teste a hipótese de que a espessura média das chapas seja igual ao alvo das especificações. Solução: H0 =  = 0 = 5 (hipótese nula) H1 =   5 Estatística do teste: t = ~ tn-1 Então, t = = -1,03 ~ t19 Então, determina-se o valor-p dessa estatística.

No MINITAB com o caminho: MTB> CALC>PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t Valor-p p = 2x0,151084 = 0,315 > 0,05 Aceitá-se H0 e o processo de produção da chapa tem média estatisticamente igual ao alvo do processo. Verifique o desempenho do processo de produção analisando a capacidade do processo no MINITAB CAMINHO: MTB> STAT>QUALITY TOOLS>CAPABILITY ANALYSIS> NORMAL

Analisando os números da capacidade do processo: = 1,50 Razão entre as amplitudes de especificação e do processo. ( é 4,976) Com esta capacidade (capability) de 1,50 o número de defeituosos esperado é de: 9,95  10 ppm

6) Suponha que outra empresa produz a mesma chapa e uma descrição de uma a.a. de n = 20 dessas chapas produziu: = 4,8 e s = 0,1021. Verifique se os dois processos são equivalentes na média. Hipótese nula a ser testada H0 : X = y Û X - y = 0 Estatística do teste: t = ~ tn1+n2-2 onde sp =

Cálculo da estatística do teste: t = = = 5,476 ~ t38 Sp = = 0,101626 Valor-p p = 0,0000 < 0,05 Rejeita-se a hipótese H0.

E, se queremos fazer direto no MINITAB? Usa-se o comando: MTB> STAT> BASIC STATISTICS> 2-sample t E, entra-se com os valores das médias e desvios padrões ou com os dados, conforme o caso. Resultados: Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean 1 20 4.976 0.101 0.023 2 20 4.800 0.102 0.023 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 0.176000 95% CI for difference: (0.110942; 0.241058) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 5.48 P-Value = 0.000 DF = 38 Both use Pooled StDev = 0.1016 – REJEITA-SE H0

ANÁLISE DA VARIÂNCIA Quando se faz um experimento que envolve amostras de mais de dois grupos (populações) e se necessita testar a hipótese nula: H0: 1 = 2 = .... = k =  contra H1: pelo menos uma das médias é diferente das demais, aplica-se o método conhecido como Análise da Variância, detalhado a seguir.

EXEMPLO Os dados adiante correspondem aos resultados de um experimento onde 4 tratamentos de plasma são comparados quanto ao tempo de coagulação. Amostras de plasma de 32 indivíduos foram alocadas aos 4 tratamentos numa ordem aleatória (experimento completamente casualizado). Faça uma análise estatística com a finalidade de verificar se existe diferença estatisticamente significativa entre os tratamentos.

T1 T2 T3 T4 8.4 12.8 9.6 9.8 8.6 8.9 7.9 9.4 15.2 9.1 8.8 8.2 9.9 9.0 8.1 12.9 11.2 8.5 9.2 12.2 14.4 12.0 10.9 10.4 10.0

MTB> STAT>ANOVA>ONEWAY ANOVA Resultados: SOLUÇÃO: MTB> STAT>ANOVA>ONEWAY ANOVA Resultados: One-way ANOVA: REPOSTA versus TRAT Source DF SS MS F p TRAT 3 13.02 4.34 1.31 0.291 Error 28 92.76 3.31 Total 31 105.78 S = 1.820 R-Sq = 12.31% R-Sq(adj) = 2.91% H0: 1 = 2 = 3 = 4 Conclusão: Não existe diferença entre as médias, aceitá-se H0, ou seja os tratamentos produzem a mesma média.

EXEMPLO Uma fábrica de papel usado para fazer sacolas de papel está interessada em melhorar a resistência do papel à tensão. A engenharia de produto da empresa imagina que a resistência à tensão depende da concentração da madeira de lei na polpa e que a faixa prática de interesse dessa concentração está entre 5% e 20%. Foi feito então um experimento nos seguintes níveis de concentração: 5%, 10%, 15% e 20% e mediu-se a resistência à tensão em seis sacolas de prova em cada nível. Os resultados estão adiante. Faça uma Análise da Variância.

Resistência à Tensão (psi) 5% 10% 15% 20% 7 12 14 19 8 17 18 25 15 13 22 11 23 9 16 10 20

A aplicação da ANOVA exige Gaussianidade dos dados. Isto é verificado com base nos resíduos do ajuste do moedelo para a resposta (resistência): yij =  + i + ij onde: yij é a resposta medida;  é a média geral; i é o efeito do nível i fator (conc. da madeira de lei); ij é o erro aleatório -componente estocástica do mod. ij ~ N(0, 2) (suposições do modelo – verificar)

Testando a hipótese nula H0: 1 = 2 = 2 = 4 One-way ANOVA: concentração versus nível Source DF SS MS F P nível 3 382.79 127.60 19.61 0.000 Error 20 130.17 6.51 Total 23 512.96 S = 2.551 R-Sq = 74.62% R-Sq(adj) = 70.82% Rejeitá-se a hipótese nula, pois p = 0,000 < 0,05.

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev +---------+---------+---------+--------- 5% 6 10.000 2.828 (----*----) 10% 6 15.667 2.805 (----*-----) 15% 6 17.000 1.789 (----*-----) 20% 6 21.167 2.639 (-----*----) +---------+---------+---------+--------- 8.0 12.0 16.0 20.0 Pooled StDev = 2.551 Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons Observa-se que 10%, 15% e 20% praticamente estão empatados. O nível de 5% é diferente dos demais.

Verificando as suposições: Gaussianidade, homogeneidade da variância e independência dos resíduos. MTB> STAT> BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST

Homogeneidade de variância: Como o valor-p foi de p > 0,150 > 0,05 aceitá-se a hipótese de Gaussianidade para os resíduos. Homogeneidade de variância: Test for Equal Variances: RESI1 versus nível Bartlett's Test (normal distribution) Test statistic = 1.14; p-value = 0.769 Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 0.60; p-value = 0.623 Aceitá-se a hipótese de homogeneidade na variância H0: 12 = 22 = 32 = 42 pois p > 0,05

6. AMOSTRAGEM Suponha que você deseja estimar a verdadeira média  da espessura de uma chapa metálica. Qual será o tamanho adequado, n, da amostra? Tamanho da Amostra com Erro Especificado e  Conhecido Deve ser fixado o nível de confiança: 1 -  Deve ser fixado o erro de | | = e n = onde é o escore da N(0, 1) correspondente a

Exemplo Suponha que no caso da espessura da chapa foi fixado um erro de e = 0,05 e um nível de confiança de 95%. Então: Com 1 -  = 0,95 tem-se /2 = 0,025 e z0,025 = 1,96 MTB> CALC>PROBABILITY DISTRIBUTIONS> NORMAL>INVERSE CUMULATIVE PROBABILITY Normal with mean = 0 and standard deviation = 1 P( X <= x ) x 0.025 -1.95996 n = = = 15,675 = 16

Tamanho da Amostra com Erro Especificado e  Desconhecido Neste caso há necessidade de se estimar o desvio padrão . Assim, toma-se uma amostra piloto de tamanho n0 e estima-se o desvio padrão s0. Usa-se a expressão para o tamanho n = Então, se n > n0 tudo bem e recalcula-se o erro e; se n < n0 toma-se mais n0 – n observações adicionais.

A descrição da amostra piloto forneceu: Exemplo Suponha que se deseja testar a hipótese de que o diâmetro médio de um pino tem média de 10 mm. Qual o tamanho da amostra, supondo que o desvio padrão  é desconhecido, o nível de confiança é 95% e a precisão de 0,01. Solução: Como o desvio padrão é desconhecido toma-se uma amostra piloto de tamanho n0 = 5. Os valores são: 10,1; 10,05; 9,98; 9,95 10.06. A descrição da amostra piloto forneceu: MTB> STAT> BASIC STATISTICS> DISPLAY .. Variable N Mean SE Mean StDev pino 5 10.010 0.0207 0.0464

MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t Dimensionando o tamanho da amostra com base nas informações da amostra piloto: n = s0 = 0,0678 Escore tn0;/2 MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t Inverse Cumulative Distribution Function Student's t distribution with 4 DF P( X <= x ) x 0.025 -2.77645

n = = = 166 Então, como tomamos n0 = 5, devemos tomar outras 161 observações adicionais. Por que deu um tamanho de amostra tão grande? Devido o nível de confiança de 95% (poderia ser menor – 90%) e devido a precisão de 0,01.

PLANOS DE AMOSTRAGEM Uma das maiores aplicações da estatística no controle de qualidade de produtos está na amostragem para aceitação de lotes. Muitas vezes as empresas recebem carregamentos ou lotes de bens (produtos) e fazem amostragem desses carregamentos com a finalidade de aceitar ou rejeitar o carregamento ou lote todo. Essa decisão é conhecida como sentenciamento do lote. No início da aplicação do controle estatístico, de qualidade, nas décadas de 30 e 40, a amostragem de aceitação era usada, principalmente, para inspeção de entrada (recebimento) de produtos.

Nos últimos anos passou-se a trabalhar com os fornecedores a fim de fazer com que melhorassem os seus processos de produção. Este aperfeiçoamento dos processos poderia ser alcançado por meio de CEP, DOE e outras técnicas estatísticas. Assim, conseguir uma qualidade assegurada pareceu ser melhor do que a amostragem de aceitação. Contudo, estas técnicas continuam sendo necessárias e usadas.

6.3- Plano de Amostragem de Aceitação por Variável Existem dois tipos de planos por variável: 1.) Planos que controlam a fração de defeituosos (ou não conformes) do lote ou do processo; 2.) Planos que controlam um parâmetro do lote ou do processo, em geral a média. Suponha um plano de amostragem de variáveis para controlar a fração de não-conformes do lote ou do processo. A característica de qualidade é uma variável, então existem limites de especificação: LIE e LSE, os dois ou apenas um deles. Esses limites definem os valores aceitáveis do parâmetro.

A fração p de não-conformes do lote corresponde a P(X < LIE) = p, no caso de especificação unilateral, e evidentemente P(X < LIE) + P(X > LSE) = p no caso de especificação bilateral. É claro que p depende da média  e do desvio padrão  do processo. Suponha, agora, que o desvio padrão  seja conhecido. Então, pode-se tomar uma amostra do lote para determinar se o valor da média é, ou não, tal que a fração de defeituosos p seja aceitável. O que se faz é o seguinte:

1. Plano com a distância crítica k. Toma-se a a. a 1. Plano com a distância crítica k. Toma-se a a.a. de tamanho n do lote, [x1, x2, .... ,xn] e calcula-se a estatística: ZLIE = Observe que quanto maior o valor de ZLIE mais afastada está a média amostral do limite de especificação inferior LIE e, conseqüentemente, menor será a fração p de defeituosos do lote. Pode ser fixado um valor crítico, ou melhor, uma distância crítica k, tal que ZLIE > k (no caso unilateral). Dessa forma, se ZLIE > k o lote é aceito. E, em caso contrário o lote será rejeitado.

2. Plano com a área crítica M 2. Plano com a área crítica M. Este procedimento propõe selecionar uma a.a. de n itens do lote e, então, calcula-se a estatística: ZLIE = A seguir usa-se ZLIE para se estimar a fração de defeituosos, p, do lote ou do processo como a área sob a curva da normal padrão abaixo de ZLIE. Uma melhor estimativa ocorre quando se usa a estatística QLIE = ZLIE ao invés de ZLIE, como o escore padronizado.

Então, seja o valor estimado de p que se obtém Então, seja o valor estimado de p que se obtém. Se exceder um valor máximo especificado M (área crítica) rejeita-se o lote, em caso contrário o aceite.

Elaboração de um Plano de Amostragem para Variáveis com uma Curva Característica de Operação Especificada A elaboração do plano de amostragem que tenha uma curva CO específica e o escore de interesse k (distância crítica) é feita tomando-se dois pontos da curva (p1, 1 - ) e (p2, ). É claro que p1 e p2 podem ser níveis da fração de não-conformes do lote ou do processo correspondentes a níveis ACEITÁVEL e REJEITÁVEL de qualidade, respectivamente. O nomograma, em anexo, permite que o engenheiro (ou outro profissional da qualidade) encontre o tamanho da amostra n exigido e o valor crítico k que satisfaçam as condições dadas p1, 1 - , p2 e  para os casos onde  é conhecido e  desconhecido.

EXEMPLO 1 Seja o problema em que se pretende obter um plano com a distância crítica k. Uma fábrica de refrigerantes compra garrafas descartáveis de um fornecedor. A fábrica estabeleceu um limite de especificação inferior (LIE) de LIE = 225 psi. Se até 1% das garrafas do lote de fato se rompem abaixo desse limite a fábrica quer aceitar o lote com uma probabilidade de 1 -  = 0,95. Assim, tem-se p1 = 0,01 e 1 -  = 0,95. Mas, se 6% ou mais das garrafas do lote se rompem abaixo de LIE = 225, a fábrica deseja rejeitar o lote com probabilidade 0,90. Dessa vez tem-se p2 = 0,06 e  = 0,10.

Solução: Trace no nomograma, as linhas: uma de p1 a 1 -  e outra de p2 a , ou melhor, da fração de defeituosos p1 = 0,01 a probabilidade de aceitação 1 -  = 0,95 (em cada escala respectiva), depois a outra linha da fração de defeituosos p2 = 0,06 a  = 0,10. A intersecção das linhas fornece k = 1,9. Se  é desconhecido o tamanho da amostra é obtido seguindo-se a curva até a escala superior que fornecerá n = 40. Então, o procedimento é tomar uma amostra de tamanho n = 40 garrafas do lote, medir a força de ruptura de cada uma, calcular a média e o desvio padrão s e, em seguida, calcular: ZLIE = e aceitar o lote se ZLIE > k = 1,9.

Mas, se  é conhecido deve-se descer verticalmente até a escala inferior  conhecido resultando em n = 15. Portanto, se o desvio padrão é conhecido obtém-se uma amostra com tamanho sensivelmente reduzido.

EXEMPLO 2 Seja o problema do exemplo 1 e o plano com o procedimento da área crítica M. Pretende-se determinar a fração de defeituosos crítica (permissível) M. Solução: Neste caso segue-se o procedimento anterior e acrescenta-se um passo adicional, ou seja, converte-se os valores de ZLIE ou ZLSE em uma fração de defeituosos estimada. É sabido que n = 40 ( desconhecido) e k = 1,9. Então, determina-se a abscissa : = = 0,35

Então, com o valor 0,35 encontra-se diretamente no nomograma adiante o valor de M = 0,030. Portanto, tomando-se a amostra definida de n = 40 e calculando-se a média amostral = 255 e o desvio padrão s = 15, tem-se: ZLIE = = = 2

Então, entrando no 30. nomograma com ZLIE = 2 encontra-se = 0,02 Então, entrando no 30. nomograma com ZLIE = 2 encontra-se = 0,02. E, como = 0,02 < M = 0,03 aceitá-se o lote.

Então, com o valor 0,35 encontra-se diretamente no nomograma (em anexo) o valor de M = 0,030. Portanto, tomando-se a amostra definida de n = 40 e calculando-se a média amostral = 255 e o desvio padrão s = 15, tem-se: ZLIE = = = 2

7. REGRESSÃO Suponha que se deseja estabelecer a relação entre duas variáveis por meio de um modelo. EXEMPLO: Foram tomadas n = 9 amostras de um solo (canteiros) que foram tratadas com diferentes quantidades X de fósforo. Seja Y a quantidade de fósforo presente em sementes de plantas, de 38 dias, crescidas nos diferentes canteiros. Os dados estão adiante. De início se faz um Diagrama de Dispersão para se visualizar o tipo de função. X 1 4 5 9 11 13 23 23 28 Y 64 71 54 81 76 93 77 95 109

Observa-se na forma do gráfico que a função é uma reta.

Ajusta-se então o modelo linear: Yi = 0 + 1Xi + i Onde 0 e 1 são os parâmetros do modelo; Y é a variável resposta; Xi é a variável explicativa; i é o erro, supõe-se que i ~ N(o, 2) O modelo é ajustado por Mínimos Quadrados Ordinários

O ajuste pelo MINITAB MTB> STAT> REGRESSION> REGRESSION Regression Analysis: Y versus X The regression equation is Y = 61.6 + 1.42 X Predictor Coef SE Coef T P Constant 61.580 6.248 9.86 0.000 X 1.4169 0.3947 3.59 0.009 S = 10.6933 R-Sq = 64.8%

Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 1473.6 1473.6 12.89 0.009 Residual Error 7 800.4 114.3 Total 8 2274.0 Conclui-se que: O modelo é estatísticamente significativo p = 0,009 <0,05 A qualidade do modelo é razoável R2 = 0,648.