MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com

O que é Estatística? A Estatística basicamente se divide em 3 partes, a saber: Estatística Descritiva: Essa parte da Estatística utiliza números para descrever fatos. Compreende a coleta, a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas. Probabilidade: É utilizada para analisar situações que envolvem o acaso. Inferência: Diz respeito a coleta, redução, análise e interpretação de dados amostrais, a partir do que, tira- se conclusões sobre a população na qual os dados (amostra) foram obtidos.

Estatística Resumidamente, podemos dizer que a estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A Estatística 23 24 73 42 17 22 33 35 36 30 21 18 29 28 A estatística envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados, ou provenientes de experimentos, ou vindos de estudos observacionais.

Etapas da Analise Estatística

Tipos de Variáveis Em Estatística, variável é atribuição de um número a cada característica da unidade experimental de uma amostra ou população. Vários tipos de variáveis são encontradas no dia-a-dia, sendo importante a distinção entre as mesmas. Quando uma característica ou variável é não-numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo. Quando a variável é expressa numericamente, denomina-se variável quantitativa.

Aula1. Acurácia e Precisão

Distribuição de Freqüência Com uma massa grande de dados é conveniente agrupá-los em classes com suas freqüências, a fim de extrair informações. Isto é denominado distribuição de freqüências. Embora se perca alguma informação a respeitos dos dados, a distribuição é útil na investigação das características da variável em estudo.

Alguns conceitos importantes: Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a crítica dos dados. Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou decrescente. Amplitude total ou “range” ( R ): é a diferença entre o maior e o menor valor observados. Freqüência ( Fi ): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma mesma classe. Número de classes ( K ): não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes, mas as duas maneiras mais usuais são:

Amplitude das classes ( h ): é a amplitude total ( R ) dividida pelo número de classes:. Assim como no caso do número de classes ( k ), a amplitude das classes ( h) deve ser aproximada para o maior inteiro. Limites das classes: são os extremos de cada classe e existem diversas maneiras de representá-los: Exemplos: 15 ├─ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20, excluindo o 20 15 ├─┤ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20. 15 ── 20: limite aparente, limite real 14,5 ── 19,5. 15 ─┤ 20: compreende os valores entre 15 e 20, excluindo o 15. Pontos médios das classes (xi ): é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Estes pontos estão representando cada um dos dados pertencentes à classe. Assim: se a classe for 12 ├─ 20, teremos: 16 como ponto médio da classe.

Freqüência acumulada ( Fac): é a soma das freqüências das classes. Freqüência relativa (fi): é a porcentagem de um valor na amostra e é dada por fi=Fi/n. Representação de uma distribuição de freqüência:

Gráficos Observações: Para representar graficamente dados agrupados em uma distribuição de freqüências, podemos utilizar um “histograma”, um “polígono de freqüências “ou um “polígono de freqüências acumuladas. Observações: Os gráficos facilitam a visualização dos valores que são amplamente usados na apresentação de dados estatísticos. Cabe destacar que os gráficos perdem informações, porque não mostram as observações originais. Ao inferir sobre uma população a partir de gráficos, deve-se ter bastante cuidado.

Histograma É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos, de tal forma que: As bases estão sobre um eixo ( eixo x ) com centro no ponto médio dos intervalos de classe e as larguras iguais às amplitudes dos intervalos das classes. A área de um histograma é proporcional a soma das freqüências das classes. A altura do histograma ( eixo y) deve corresponder a aproximadamente 70% do eixo x. Para a construção do histograma, colocamos no eixo dos x os limites de cada intervalo de classe e em y as freqüências das classes. Para construção da primeira classe, devemos deixar antes no eixo dos x um espaço ( no mínimo) igual ou superior a amplitude de classe.

Polígono de Freqüência É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono. Para a construção do polígono de freqüência partimos do histograma e projetamos os pontos médios de cada retângulo os quais estavam localizados sobre o eixo dos x no topo do retângulo. Devemos também aqui , tomar o cuidado de deixar no eixo dos x, um espaço correspondente a uma classe, tanto para a esquerda como para a direita.

1. Medidas de Posição Central Definição: representam os fenômenos pelos seus valores médios , em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. Dentre todas as medidas de tendência central, veremos: 1.1 Média; 1.2 Mediana; 1.3 Moda

1.1 Média Definição: é o valor médio de uma distribuição, determinado segundo uma regra estabelecida a priori e que se utiliza para representar todos os valores da distribuição. Representada por Pode ser: Aritmética; Ponderada; Harmônica; Geométrica.

Média Aritmética É a mais utilizada dentre todas as médias. É dada pela fórmula: Onde: n é o número de valores em uma amostra; xi é cada variável que representa os valores individuais dos dados.

Média Aritmética Exemplo: um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em 4 provas. Sua média será: = (5 + 7 + 9 + 10)/4 = 7,75

Média Aritmética para Dados Agrupados É calculada quando a informação disponível é o valor médio do intervalo i (Xi) e a frequência de intervalo i (f i):

Exemplo Considere os seguintes dados: 12,58 12,97 13,45 13,53 13,59 13,61 13,62 13,78 13,97 14,21 14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 15,17 15,23 15,29 15,37 15,40 15,45 15,51 15,62 15,67 15,73 15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,23 16,35 16,43 16,49 16,52 16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17,22 17,30 17,48 17,80 18,47

...continuando Intervalos de classes Frequência absoluta 12,51 a 13,50 8 14,51 a 15,50 15 15,51 a 16,50 13 16,51 a 17,50 9 17,51 a 18,50 2

Média Ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa ou pesos relativos diferentes. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

Média Ponderada É dada por: wi é o peso de cada xi .

Média Ponderada Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:

1.2 Mediana Definição: é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Representada por ou Md. Isto é, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. (a média não garante essa propriedade)

1.2 Mediana Para valores ordenados crescentemente, dois modos de calcular: Se n é ímpar, mediana é o valor central: Na amostra 30 32 35 48 76 a mediana é 35 Se n é par, mediana é a média simples entre os dois valores centrais: Na amostra 30 32 35 48 76 81 a mediana é 35 + 48 = 41,5 2

1.2 Mediana para dados agrupados 1º: Calcula-se n/2; 2º: Achar qual das classes esse valor se encontra a partir das freqüências absolutas; 3º: Usar a fórmula Soma das freqüências anteriores a classe da mediana Amplitude da classe da mediana Limite inferior da classe Freqüência da classe da mediana

Exemplo Calcula-se n/2 50/2 Identifica-se a classe da mediana Intervalos de classe Freqüência absoluta Freqüência acumulada 12,51 a 13,50 3 13,51 a 14,50 8 11 14,51 a 15,50 15 26 15,51 a 16,50 13 39 16,51 a 17,50 9 48 17,51 a 18,50 2 50 Calcula-se n/2 50/2 Identifica-se a classe da mediana Terceira classe

...continuando Utiliza-se a fórmula: 14,51 = 11 = 13,4 = 0,99 = 15 =

1.3 Moda É o valor que ocorre com mais freqüência. Representada por Mo. Numa amostra, Mo pode não existir ou ser múltipla. Exemplos: Na amostra 21 24 27 27 28 28 31 31 31 Mo = 31 Na amostra 45 46 49 52 52 60 60 76 79 tem moda 52 e 60

Moda para Dados Agrupados Utiliza-se a seguinte fórmula: - Limite inferior da classe modal = 14,51 - Diferença entre a freqüência da classe e a anterior = 7 - Diferença entre a freqüência da classe e a posterior = 2 - Amplitude da classe modal = 0,99

Moda para Dados Agrupados Determinar a classe modal pela maior freqüência absoluta. Na tabela, a terceira, utilizando a fórmula: Notas Número de Alunos 0 |-- 20 2 20 |-- 40 7 40 |-- 60 23 60 |-- 80 16 80 |-- 100 3 Total 51

...continuando Onde: - Limite inferior da classe modal = 40 - Diferença entre a freqüência da classe e a anterior = 16 - Diferença entre a freqüência da classe e a posterior = 7 - Amplitude da classe modal = 20

Comparação Para distribuições simétricas, a média, mediana e moda são aproximadamente iguais; Para assimétricas, observa-se o seguinte:

2. Medidas de Dispersão Definição: é um valor que busca quantificar o quanto os valores da amostra estão afastados ou dispersos relativos à média amostral; As medidas utilizadas para representar dispersão são: 2.1 Amplitude Total 2.2 Desvio Padrão; 2.3 Variância; 2.4 Amplitude Inter-quartílica.

Relações Empíricas entre Média, Moda e Mediana Exemplo: A relação entre média e mediana para as amostras a seguir é: A Distribuição Simétrica 10 12 14 16 18 B Distribuição Assimétrica à direita 10 12 14 16 23 C Distribuição Assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18

2.1 Amplitude Total Definição: também chamado simplesmente de Amplitude, é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. Amplitude = (maior valor)-(menor valor); A amplitude é muito fácil de ser calculada, mas como depende apenas dos valores maior e menor, não é tão útil quanto as outras medidas de variação que usam todos os valores.

Amplitude Total Exemplo: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9 A amplitude é total: R = 11,9 – 8,5 = 3,4

Desvio Médio Absoluto É a média aritmética dos desvios considerados em módulos (valor absoluto). .

2.3 Variância Definição: é uma medida da variação igual ao quadrado do desvio padrão. Representada por s2 ou σ2; Para a amostral: Para a populacional:

2.2 Desvio Padrão Definição: é uma medida da variação dos valores em torno da média em um conjunto de valores amostrais. Representado por s (para amostral) e σ (para populacional);

2.2 Desvio Padrão Para achar o desvio padrão de uma população, usa-se a expressão: Para uma amostra de n observações, x1, ..., xn, o desvio padrão S é definido como: n é o número total de variáveis na amostra; xi é o valor de cada variável; x é a média amostral;

Desvio Padrão = 3,16 Exemplo: para a amostra 10 12 14 16 18 A média é 14 e o desvio-padrão é calculado: Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero, pois a média é o valor central: 10-14=-4 12-14=-2 14-14=0 16-14=+2 18-14=+4 = 3,16 S =

Desvio padrão: dados agrupados Considere os seguintes dados: Intervalos de Classe Freqüência Absoluta 12,50 a 13,50 3 13,51 a 14,50 8 14,51 a 15,50 15 15,51 a16,50 13 16,51 a 17,50 9 17,51 a 18,50 2 Ponto médio do intervalo S =

Coeficiente de Variação Definição: para um conjunto de dados amostrais ou populacionais, expresso como um percentual, descreve o desvio padrão relativo à média, e é dado pelo seguinte: População Amostra

Coeficiente de Variação É uma medida dimensional, útil para comparar resultados de amostras ou populações cujas unidades podem ser diferentes; Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando a média é próxima de zero.

TEORIA DAS PROBABILIDADES

Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos: Resultado no lançamento de um dado; Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; Condições climáticas do próximo domingo; Taxa de inflação do próximo mês; Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .  = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar.  = {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada.  = {t: t  0}

Eventos: subconjuntos do espaço amostral  Notação: A, B, C ...  (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6}   B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}   C: sair face 1 C = {1}  

À partida o resultado é desconhecido Experiência Determinista Aleatória Lançamento de uma moeda Lançamento de um dado Totoloto Estado do tempo para a semana Extracção de uma carta Tempo que uma lâmpada irá durar Furar um balão cheio Deixar cair um prego num copo de água Calcular a área de quadrado de lado 9 cm À partida já conhecemos o resultado À partida o resultado é desconhecido

Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável. Chamamos de probabilidade de um evento A (A C S) o número real P(A), tal que: Onde n(A) é o número de elementos de A; n(S) é o número de elementos de S. Exemplo: Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: S = {Ca, Co} n(S)=2 A={Ca} n(A)=1

p + q = 1 Eventos Complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é p=1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é q=4/5.

Eventos Independentes Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. A probabilidade de que dois eventos se realizem simultaneamente é dada por P(x) = p1 x p2 Ex. Lançamos dois dados. A probabilidade de obter 1 no 1º dado é : p1= 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no 2º dado é p2= 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no 1º e 5 no 2º é : p = 1/6 x 1/6 = 1/36.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística. A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média  e o desvio padrão  da distribuição. FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo

DISTRIBUIÇÃO NORMAL Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc. FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo

DIST. NORMAL (Gráfico e Equação) definimos Se X ~ N( ;  2),

CARACTERISTICA DA DIST. NORMAL pode assumir todo e qualquer valor real. A área total é igual a 1. o gráfico é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média , chamada de curva normal ou de Gauss. A curva normal é assintótica, isto é, aproxima- se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo . P(X ≥ ) = P(X ≤ ) = 0,5.

USO DA TABELA NORMAL PADRÃO Denotamos : A(z) = P(Z  z), para z  0.

Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular a) P(Z  0,32) P(Z  0,32) = A(0,32) = 0,6255. Tabela

Encontrando o valor na Tabela N(0;1): z 1 2 0,0 0,5000 0,5039 0,5079 0,1 0,5398 0,5437 0,5477 0,2 0,5792 0,5831 0,5870 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 Tabela

P(0 < Z  1,71) = P(Z  1,71) – P(Z  0) b) P(0 < Z  1,71) P(0 < Z  1,71) = P(Z  1,71) – P(Z  0) = A(1,71) – A(0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564. Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5. Tabela

c) P(Z  1,5) P(Z > 1,5) = 1 – P(Z  1,5) = 1 – A(1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668. Tabela

Análise de Regressão

Análise de Regressão Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos uma análise de regressão. A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. A variável a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

Ajustamento da Reta Supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida por: Y = aX + b, onde a e b são parâmetros.

Ajustamento da Reta

Ajustamento da Reta Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita, como as que formam a tabela a seguir:

Ajustamento da Reta

Matemática Financeira Conceitos Básicos de Matemática Financeira

Fatores Necessários para Calcular o Valor dos Juros Capital, principal ou valor presente: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira, que será emprestada ou aplicada numa data inicial (data 0). Para a HP-12C, será simbolizado por PV (valor presente). Taxa de Juros: é a unidade de medida de juros, ou seja, o custo ou remuneração paga pelo uso de dinheiro durante determinado tempo. Tempo, prazo ou período: prazo em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) que o capital foi empregado à determinada taxa de juros. Regime de capitalização: refere-se ao processo de formação dos juros, que poderão ser simples ou compostos, conforme será visto a seguir.

Diferenças entre Juros Simples e Compostos Onde: J = valor dos juros simples ($). P = valor presente, principal ou capital da operação. i = taxa de juros simples. n = prazo ou número de períodos da operação. J = P x i x n FV = P . (1 + i . n)

Diferenças entre Juros Simples e Compostos Abaixo é apresentada a fórmula geral para o cálculo dos juros compostos. Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos; Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composto, sendo que o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período. n FV = P . (1 + i)

Conceito de Fluxo de Caixa Qualquer problema de matemática financeira pode ser facilmente demonstrado por meio de um diagrama de fluxo de caixa, que consiste na representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Observe a sua representação básica: PV n i FV

Conceito de Fluxo de Caixa Onde: A linha horizontal representa a linha do tempo, em que são destacadas as entradas e saídas de dinheiro; Uma entrada de caixa é representada por uma seta para cima e seu sinal, para efeitos de convenção, é positivo; Toda saída de caixa é representada por uma seta para baixo e seu sinal será negativo.

Capitalização Simples – Juros Simples

JUROS SIMPLES O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES. A TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR INICIAL (EMPRESTADO OU APLICADO). EX: Ci = $ 100,00 aplicados a 5% ao período. primeiro período: 100 x 0,05 = $ 5,00 segundo período: 100 x 0,05 = $ 5,00 terceiro período : 100 x 0,05 = $ 5,00 n-éssimo período: 100 x 0,05 = $ 5,00

J = VP x i x n Juros em RCS Onde: j = Juros ( $ ) VP = Valor Presente ( $ ) i = Taxa ( unitária/período ) n = períodos

Exemplo 1 Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no RCS. Qual o valor dos juros mensais? J = VP x i x n J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00 Na HP12C: 500 (ENTER) 5 % 25,00000 (visor)

Altere sempre n e evite alterar i IMPORTANTE Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base. SUGESTÃO: Altere sempre n e evite alterar i

Exemplo 2 Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? J = VP x i x n J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60 Na HP12C: 120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)

MONTANTE OU VALOR FUTURO SENDO: VF = VP + j e j = VP x i x n VF = VP + (VP x i x n) MONTANTE OU VALOR FINAL VF = VP x (1 + i x n)

Exemplo 3 Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação? VF = VP x (1 + i x n) VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00 Na HP12C: 3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000

DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS. VP = VF / (1 + i x n) VF = VP (1 + i x n) i = [(VF / VP) - 1] / n n = [(VF / VP) - 1] / i

Exemplo 4 Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação? VP = VF / (1 + i x n) VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00 Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x +  500,00000 (visor)

Exemplo 5 O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação? i = [(VF / VP) - 1] / n i = [(400 / 200) - 1] / 5 $ 0,20 ou 20% a. m. Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5  0,200000 (visor)

Exemplo 6 A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação? n = [(VF / VP) - 1] / i n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses Na HP12C: 134 (ENTER) 68  1 – 0,02  (visor) 48,52941175 meses

IMPORTANTE Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base. SUGESTÃO: Altere sempre n e evite alterar i

Exercício nº 5 Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? J = VP x i x n J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60 Na HP12C: 120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)

MONTANTE OU VALOR FUTURO SENDO: VF = VP + j e j = VP x i x n VF = VP + (VP x i x n) MONTANTE OU VALOR FINAL VF = VP x (1 + i x n)

Exercício nº 6 Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação? VF = VP x (1 + i x n) VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00 Na HP12C: 3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000

DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS. VP = VF / (1 + i x n) VF = VP (1 + i x n) i = [(VF / VP) - 1] / n n = [(VF / VP) - 1] / i

Exercício nº 7 Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação? VP = VF / (1 + i x n) VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00 Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x +  500,00000 (visor)

Exercício nº 8 O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação? i = [(VF / VP) - 1] / n i = [(400 / 200) - 1] / 5 $ 0,20 ou 20% a. m. Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5  0,200000 (visor)

Exercício nº 9 A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação? n = [(VF / VP) - 1] / i n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses Na HP12C: 134 (ENTER) 68  1 – 0,02  (visor) 48,52941175 meses

Operações com Séries Uniformes

Séries Uniformes Objetivos: discutir os principais aspectos associados às séries uniformes diferenciar séries antecipadas, postecipadas e diferidas.

Conceito de Séries Uniformes Consistem em uma seqüência de recebimentos ou pagamentos cujos valores são iguais. Genericamente, as séries uniformes podem ser representadas de acordo com a figura seguinte.

Classificação das séries Antecipadas Com entrada Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + … Postecipadas Sem entrada Exemplos … 2x, 5x, 6x …

n Pagamentos Periódicos Séries Postecipadas O pagamento ocorre ao final do primeiro período Valor Presente Postecipada PMT n Pagamentos Periódicos Sem Entrada

A geladeira nova de Pedro Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, sem entrada Valores nominais iguais Séries UNIFORMES Taxa da loja? Como obter PMT? +$1.000,00 i= 4% a.m. Álgebra Tabelas HP 12C 2 1 4 3 -PMT

VF Usando o bom senso Supondo JS VF = VP (1+in) VF = 1000 (1+0,04.2,5) Pagamentos em 1, 2, 3 e 4 Prazo médio igual a 2,5 +$1.000,00 i= 4% a.m. n = 2,5 2 1 4 3 -PMT Supondo JS VF = VP (1+in) Cuidado! Valor aproximado por juros simples VF = 1000 (1+0,04.2,5) VF = 1100 VF Valor exato com juros compostos Como são feitos quatro pagamentos Pagamento = 1100/4 = $275,00

Usando a álgebra VP = an,i.PMT

an,i=3,6299 Usando a tabela Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49 N i 1 2 8 9 10 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 an,i=3,6299 Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49

g Beg g End Usando a HP 12C ou [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal g Beg g End ou

7 8 Na HP 12C BEG END Begin = Começo Antecipado Com entrada Flag no visor End = Final 8 END Postecipado Sem entrada Sem Flag

$275,49 Exemplo na HP 12C i= 4% a.m. [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 -PMT [g] [END] Sem entrada ou [PMT] POSTECIPADA $275,49 em inglês END Com JS, $275,00

N Pagamentos Periódicos Séries Antecipadas Valor Presente O pagamento ocorre no início do primeiro período Antecipada PMT N Pagamentos Periódicos Com Entrada

E se os pagamentos fossem … Com entrada …

VF Usando o bom senso Supondo JS VF = VP (1+in) VF = 1000 (1+0,04.1,5) Pagamentos em 0, 1, 2 e 3 Prazo médio igual a 1,5 +$1.000,00 i= 4% a.m. n = 1,5 2 1 4 3 Supondo JS -PMT VF = VP (1+in) Cuidado! Valor aproximado por juros simples VF = 1000 (1+0,04.1,5) VF = 1060 VF Valor exato com juros compostos Como são feitos quatro pagamentos Pagamento = 1060/4 = $265,00

A geladeira nova de Pedro Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, com entrada +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 -PMT

Usando a álgebra VP = (an-1,i+1).PMT

an-1,i=2,7751 Usando a tabela Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89 3 4 5 6 7 8 9 10 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89

7 $264,89 Na HP 12C BEG [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] Com entrada ANTECIPADA 7 BEG em inglês BEGIN [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] Begin = Começo Antecipado [g] [BEG] [PMT] Com entrada $264,89 Flag no visor

Exemplo A Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 4 x sem entrada

- 157,574 3 Analisando o DFC: 4x Taxa igual a 2% a.m. Sem entrada +600,00 [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [END] 2 [i] [PMT] - 157,574 3 2 1 4 3 -PMT Taxa igual a 2% a.m. Sem entrada Na HP 12C: g END

Exemplo B Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 1 + 3 x

- 154,484 6 Analisando o DFC: 4x Taxa igual a 2% a.m. Com entrada +600,00 [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [BEG] 2 [i] [PMT] - 154,484 6 2 1 4 3 -PMT Taxa igual a 2% a.m. Com entrada Na HP 12C: g BEG

Séries Diferidas VP = Valor Presente PMT = Prestações ou Pagamentos n = número de pagamentos iguais Carência m + 1

E se os pagamentos fossem … Diferidos …

A geladeira nova de Pedro Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, com primeiro pagamento após seis meses +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 5 6 7 8 9 -PMT

Convertendo a diferida +$1.216,65 +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 5 6 7 8 9 -PMT É preciso capitalizar os $1.000,00 para a data cinco VF = VP(1+i)n = 1000.(1,04)5 = $1.216,65 Após a capitalização temos uma série postecipada convencional!

$335,17 Exemplo na HP 12C i= 4% a.m. [f] [Reg] 1216,65 [PV] 4 [n] +$1.216,65 i= 4% a.m. 2 1 4 3 -PMT [g] [END] Sem entrada ou [PMT] POSTECIPADA $335,17 em inglês END

Prestação = amortização + juros Sistemas de amortização – Conceitos gerais O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor. Tais prestações são formadas por duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizados Prestação = amortização + juros ou PMT = A + J

Sistemas de amortização – Conceitos gerais Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização e os juros correspondentes ao saldo do devedor do empréstimo não reembolsado. Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. É a devolução do capital emprestado. Os Juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também denominados “serviço da dívida”. Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos cabe destacar: O sistema frânces de amortização (Tabela PRICE). O sistema de amortização constante (SAC).

Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICE Nesse sistema de amortização, o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio em geral, o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (séries uniformes de pagamento). Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce à medida que as prestações são quitadas, eles serão decrescentes, e portanto as amortizações do principal serão crescentes. Exemplos: - Crédito Direto ao Consumidor - Financiamento de automóveis - Sistema Financeiro da Habitação

Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICE Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em cinco prestações mensais postecipadas (END). Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização: (calcular PMT na HP-12C)

Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICE Ou seja, para um determinado período, os juros serão calculados sobre o saldo devedor do empréstimo no início desse período: a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período; e o saldo devedor será calculado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior subtraído do valor amortizado no respectivo período Jn = SDn-1 * i An = PMTn - Jn SDn = SDn-1 - An

Sistemas de Amortização Constante - SAC Nesse sistema de amortização, as prestações são decrescentes, as amortizações crescentes e os juros decrescentes. Calcula-se a amortização dividindo o principal pelo número de períodos de pagamento (An = SD0 / n). Exemplos: - Empréstimos de longo prazo do BNDES. - Empréstimos do Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID). - Empréstimos do Banco Mundial.

Sistemas de Amortização Constante - SAC Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização constante em cinco prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização:

Sistemas de Amortização Constante - SAC Nesse sistema, a prestação inicial é superior à prestação (fixa) do sistema francês, que era de R$ 23.097,48, ao passo que a última prestação é menor. Em suma, no início paga-se mais, porém termina-se pagando uma prestação menor que a do sistema frânces. An = SD0 / n SDn = SDn-1 - An Jn = SDn-1 x i PMT = A + J

Período de PAYBACK É o período de recuperação de um investimento e consiste em identificar qual o prazo em que o montante do dispêndio de capital efetuado num projeto, seja recuperado, através dos FC líquidos de um projeto. O Payback original, ou prazo de recuperação do capital, é encontrado somando-se os valores dos fluxos de caixa positivos ( e negativos, se houver) até que se atinja o montante dispendido no investimento.

Payback Simples (PBS) É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado. Exemplo: Aquisição de uma Copiadora moderna - Estimativa de economia Período (ano) Fluxo de Caixa (R$) Saldo (R$) Payback 0 (35.000) (35.000) 1 10.000 (25.000) 2 10.000 (15.000) 3 10.000 ( 5.000) 4 10.000 5.000 5 10.000 15.000 Calcula-se o PBS por interpolação: 5.000 - (-5.000) 4 - 3 10.000 1 = 12 meses = 833,33 = 5.000 = 6 meses 833,33

Payback Descontado (PBD) É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado. Considera o custo de capital da empresa. O fluxo de caixa de cada período trazido a valor presente, ou seja, calculado o valor de cada fluxo na data zero. Exemplo: Uma determinada pretende recuperar o capital investido de R$ 60.000,00 no máximo em 03 anos. Considerando que os fluxos líquidos de caixa deste investimento sejam de R$ R$ 24.000,00 por ano a uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, como segue:

Payback Descontado (PBD)

Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual Líquido (VAL) (Na HP-12C tecla NPV) Onde: NPV = net present value FC = Fluxos de Caixa i = custo de oportunidade (taxa de atratividade) VPL = VAEC - IL Onde: VPL = valor presente líquido VAEC = valor atual das Entradas de Caixa IL = Investimento Líquido

Critério de “Decisão” É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto. VPL > = 0  ACEITA-SE O PROJETO VPL < 0  REJEITA-SE O PROJETO

Exemplo : Investimento do “Seu” Zé Vamos usar o exemplo do “seu" Zé: Zé pretende se aposentar e está estudando um investimento a ser feito com suas economias. O projeto consiste na compra de um táxi (e contratação de um motorista) para trabalhar no mercado nos próximos 5 anos. Levantou as seguintes informações: preço de um veículo novo = R$15.000,00; b) licença + placa comercial = R$10.000,00; c) despesas gerais com o veículo no 1° ano estimadas em R$6.000,00, prevendo-se um aumento de R$1.000,00 a cada ano. O faturamento anual é da ordem de R$24.000,00 e o salário anual para contratar um motorista é de R$6.000,00. Ao final do empreendimento, o Zé pretende vender a placa pelo mesmo valor de aquisição e o veículo por um valor residual de 40%.

Estrutura do Projeto do exemplo 1 2 3 4 -25.000 12.000 11.000 10.000 9.000 24.000 5

Cálculo do VPL Usando matemática financeira e entendendo que o Zé quer uma taxa mínima de 15% de atratividade:

Usando teclas financeiras da HP-12C: Cálculo do VPL Usando teclas financeiras da HP-12C:

Interpretação do VPL O valor encontrado para o VPL do projeto do “seu” Zé foi de R$17.405,55, que significa: O projeto é viável, pois o VPL > 0; Se o VPL fosse igual a zero, seria ainda igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15%; O VPL encontrado significa que o Zé, além de atingir o mínimo de 15% de retorno, teve um ganho em $ de R$17.405,55.

Taxa Interna de Retorno (TIR) Uma das formas possíveis de pensar a TIR é: Onde: Sj = saída de caixa j. FCj = entrada de caixa j. i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR

Outra forma de representar a TIR Outra forma de representar a TIR seria: Onde: FC0 = saída de caixa. FCj = entrada de caixa j. i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR Portanto: a TIR é a taxa que “zera” o VPL!

Critério de “Decisão” É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto. TIR > = K  ACEITA-SE O PROJETO TIR < K  REJEITA-SE O PROJETO

Cálculo da TIR (“IRR” na HP-12C) Não há solução algébrica no conjunto dos números reais, para a equação que faz VPL=zero. Na verdade, é aqui que o uso da calculadora financeira mais se justifica. O cálculo seria então:

Interpretação da TIR O valor encontrado para a TIR do projeto do “seu” Zé foi de 39,19%, que significa: O projeto é viável, pois o TIR(39,19%) > K(15%) Se a TIR fosse (=15%) igual a K, seria ainda igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15% O excedente encontrado em relação à taxa de atratividade (K) (39,19% - 15% = 24,19%) não tem significado na análise de investimentos. Só indica que riqueza está sendo agregada

Referências Bibliográficas COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira., Estatística São Paulo, Edgard Blucher, 2002 MARTINS, Gilberto de Andrade., Estatística Geral e Aplicada São Paulo, Atlas, 2001 MORETTIN, Luiz Gonzaga., Estatística Básica São Paulo, Makron Books, 1999 KAZMIER, L. Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo: McGraw-hill, 1982. 376p. FONSECA, J.S. da & MARTINS, G. de A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 6.ed, 1996.320p. _________. Estatística aplicada, São Paulo: Atlas, 2.ed., 1995.267p. SILVA, Ermes Medeiros da. Et al. Estatística: para cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999. v. 1.