Zeros Reais de Funções Reais

Métodos iterativos - Zeros Método da Bissecção Método da Posição Falsa Método do Ponto Fixo Método de Newton-Raphson Método da Secante

Introdução Zero real da função real : Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.

Introdução Graficamente, os zeros reais de são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo

Introdução A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases. Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz) Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)

Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de

Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ Teorema 2. Seja contínua em . Se e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de

Parte 1 Formas de se localizar as raízes de : Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal. Análise gráfica da função .

Parte 1- Exemplo 1 / Método1 Seja . Sinais de As raízes estão nos intervalos de mudança de sinal de . Veja .....

Parte 1- Exemplo 1 / Método 2 Façamos o gráfico de Novamente temos os intervalos dos zeros.

Parte 1- Exemplo 1 / Método 3 Façamos o gráfico da função equivalente Novamente temos os intervalos dos zeros

Parte 1- Exemplo 2 Seja para . Sinais de Logo temos uma única raiz!!!!! Temos uma raiz no intervalo

Parte 2 - Refinamento Refinamento por métodos iterativos Métodos iterativos=Seqüência de ciclos Iteração=um ciclo (loop) Iteração k depende da iteração anterior k-1 Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado.

Parte 2 - Refinamento Critérios de parada: está suficientemente próximo da raiz exata? Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo

Parte 2 - Refinamento Dados iniciais k=1 Cálculo da nova aproximação Sim A aproximação está suficientemente próxima da solução exata? Cálculos finais Não k=k+1

Critérios de parada Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata . Então, é a raiz aproximada com precisão , se: i) ou ii) Não conhecemos Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii) simultaneamente.

Critérios de parada Caso 1 Caso 2

Critérios de parada Note que satisfazer não implica que . Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente. Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping)

Critérios de parada – Método Geral Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que Então pode ser

Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de . Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo ao meio sucessivamente.

Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja com zero em As iterações são realizadas da forma 1) 2) 3) Continue o processo até que e

Método da Bissecção a3 a2 x1 a=a0 x2 x0 b=b0 a1 b3 b1 b2 || || || ||

Método da Bissecção I. Método da Bissecção-Exemplo Seja com e . Temos Obtemos em dez iterações. iteração x f(x) b-a 1 0.5 -1.375 2 0.25 0.765 3 0.375 -0.322 0.125 4 0.313 0.218 0.063 10 0.3369 0.00660 0.00098

Método da Bissecção ak bk xk f(xk) bk-ak k=1 1 0.5 -1.375 k=2 0.25 Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak k=1 1 0.5 -1.375 k=2 0.25 0.765 k=3 0.375 -0.322 0.125 k=4 0.3125 0.218 0.0625 k=5 0.34375 -0.0531 0.03125 k=6 0.32813 0.0822 0.015625 k=7 0.33594 0.01447 7.8X10-3 k=8 0.33984 -0.01934 3.9X10-3 k=9 0.33789 -2.4X10-3 1.95X10-3 k=10 0.3369 6.0X10-3 9.8X10-4 Note que (bk-ak)<

Método da Bissecção I. Estudo da Convergência Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em .

Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações Dada a precisão e um intervalo inicial , qual será o número de iterações para que . Tomando o logarítmo da equação,

Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações - Exemplo Queremos o zero da função no intervalo com precisão . O número de iterações a realizar pelo método da bissecção é:

Métodos iterativos - Zeros II. Método da Posição Falsa Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de . Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em .

Método da Posição Falsa II. Média Ponderada Para e . Como , podemos supor que o zero está mais próximo de . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de .

Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa Seja com um zero em . As iterações são realizadas da forma 1) 2) Continue o processo até que e .

Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa - Exemplo Seja com e . Temos . Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessitava de 10 iterações para tal precisão. Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak k=1 1 0.375 -3.2226 k=2 0.3386 -8.7902X10-3 k=3 0.3376 -2.2588X10-4 Um dos critérios de parada foi atingido

Método da Posição Falsa I. Estudo da Convergência Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em . Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.