Redes Complexas Carlos Felipe Saraiva Pinheiro orientador: Américo T. Bernardes Laboratório de Modelamento e Simulação Computacional DEFIS - UFOP REDEMAT

João amava Teresa que amava Raimundo que amava Maria que amava Joaquim que amava Lili que não amava ninguém. Quadrilha

João foi para os Estados Unidos, Teresa para o convento, Raimundo morreu de desastre, Maria ficou para tia, Joaquim suicidou-se e Lili casou-se com J. Pinto Fernandes que não tinha entrado na história. Quadrilha

Grafo Nó = personagem Arco = relação (amar) Grafo direcionado

+ Conecividade Grau de incidência k Hub ou plexo kin e kout Nó extremamente conectado

Six Degrees of Separation Sociedade Nós: indivíduos Links: relações sociais (família/trabalho/amizade/ etc.) S. Milgram (1967) Six Degrees of Separation John Guare Redes Sociais: Muitos indivíduos com relações diversas de interação social entre si.

Redes de comunicação Nós Links computadores roteadores satélites linhas telefônicas cabos ondas eletromagnéticas

Problema do custo mínimo Logística

Se tudo está em rede Devemos estudá-las Nova visão: topologia mecanismos propriedades Nova visão: Física: reducionismo partícula e distância Há sistemas em que: distância é irrelevante nem tudo interage

Modelo Erdős-Rényi redes aleatórias N fixo Faz-se as ligações aleatoriamente Reinou por anos não descreve a maioria dos sistemas reais

Redes Reais Mundo pequeno caminho médio l Compactação Por maior que seja a distância, há sempre um atalho six degrees to Kevin Bacon caminho médio l Compactação meus amigos são amigos entre si Coef. de compactação 1 2 3 4 5 6 7 i l15=2 [125] l17=4 [1346  7] … < l > = ??

Distribuição de graus Grau do sítio i Redes Aleatórias: Distribuição de Poisson Grau do sítio i ki =: no de links incidentes no nó i P(k) =: probabilidade de um nó ter k vizinhos

(Watts and Strogatz, Nature 393, 440 (1998)) Modelo (WS) Watts-Strogatz C(p) : clustering coeff. L(p) : average path length (Watts and Strogatz, Nature 393, 440 (1998))

WWW World Wide Web Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999) ROBOT: collects all URL’s found in a document and follows them recursively R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999)

WWW-power Oque era esperado? Oque foi encontrado: k ~ 6 P(k=500) ~ 10-99 NWWW ~ 109  N(k=500)~10-90 Oque foi encontrado: out= 2.45  in = 2.1 P(k=500) ~ 10-6 NWWW ~ 109  N(k=500) ~ 103 Pout(k) ~ k-out Pin(k) ~ k- in J. Kleinberg, et. al, Proceedings of the ICCC (1999)

Três classes principais de modelos ER (random graph) aleatórios; L peq.; C peq. P(k) é Poisson Small World WS om p adequado; L peq.; C gde. P(k) semelhante a ER Scale Free crescimento da rede; L peq.; C gde. P(k) ~ k -

Redes SF Dinâmica Poucos com muito e muitos com pouco (Léo Jaime) Exemplos abundam: www, internet, citações, aeroportos, sexo, Hollywood,... Dinâmica Crescimento Conexão preferencial Ricos cada vez mais ricos Se uma das condições acima faltar, não se obtém uma rede SF

Rede sem escala faça você mesmo a sua Cresce um nó por vez Cada nó se liga a m nós conexão preferencial

Fração de nós removidos, f Robustness Robustês Sistemas complexos mantêm suas funções mesmo sob erros e falhas (células  mutações; Internet  queda dos servidores) fc 1 Fração de nós removidos, f S Falha de nó

Robustês das redes scale-free Tolerância de danos devido à topologia Robust-SF Robustês das redes scale-free Falha Tolerância de danos devido à topologia 1 fc Ataques   3 : fc=1 (R. Cohen et al PRL, 2000) S f 1

Calcanhar de Aquiles  erro  ataque

Exemplo

Implicações das redes sem escala Computação Resiste a falha mas é vulnerável ao ataque Impossível erradicação de vírus Medicina Vacinar hubs é mais efetivo ? Eliminação de efeitos colaterais ? Identificar moléculas hub Negócios Evitar quebradeira em cascata Marketing