Prof. Edison Oliveira de Jesus COMPUTAÇÃO GRÁFICA Cortes de Linhas Cortes de Polígonos Prof. Edison Oliveira de Jesus

Introdução Corte ou Clipping é o processo que determina as partes visíveis da imagem dentro de uma janela; Estes pontos visíveis são então mapeados para o viewport;

Corte de Pontos Um ponto está dentro de uma janela retangular se sua ordenada estiver entre as ordenadas do lado esquerdo e direito do retângulo e sua abscissa estiver entre o lado superior e inferior do retângulo da janela. Assim: xw_esq x xw_dir yw_inf y yw_sup Xw_dir Xw_esq Yw_sup (x, y) Yw_inf

Corte de Pontos É possível fazer este teste para cada pixel da ima-gem; Desvantagens desta opção: A imagem pode ser muito grande e complexa A imagem pode não ser definida pelos seus pixels, mas sim pelos seus vetores e ai tem-se apenas as coordenadas de seus extremos Em ambos os casos o custo computacional pode complicar muito as operações de corte de pontos num desenho;

Corte de Linhas i j b g a d d’ g’ c f h’ e h

Dois casos são triviais: Nesta figura são mostradas as diversas formas que um segmento de reta pode ou não interceptar uma janela; Dois casos são triviais: Os segmentos de retas com os dois extremos dentro da janela são reconhecidos como visíveis; Os segmentos totalmente fora da janela e portanto, são ditos invisíveis;

Algoritmo de Cohen Sutherland b 1 2 3 d 8 janela 4 f e 7 5 6 a c

Regras do Algoritmo de Cohen Sutherland para o corte de linhas: Dividir o sistema de coordenadas em nove regiões; O extremo de um segmento de reta pode pertencer a apenas uma destas regiões; Qualquer ponto que estiver sobre uma borda exten-dida, será considerado na região vizinha à borda; Exemplo: um ponto sobre a borda que divide as regiões 1 e 8, será considerado pertencente à região 8; Qualquer ponto sobre uma borda da janela, será considerado dentro da janela;

Desta forma, as seguintes direções poderão ser consideradas: Região 0 ►dentro da janela Região 1 ► superior esquerda Região 2 ► superior Região 3 ► superior direita Região 4 ► direita Região 5 ► inferior direita Região 6 ► inferior Região 7 ► inferior esquerda Região 8 ► esquerda

Os dois casos triviais são: Um segmento de reta é visível se ambos seus extre-mos pertencerem à janela; Um segmento de reta é invisível se seus extremos pertencerem à regiões que têm pelo menos uma direção em comum;

Exemplo: segmento ab As coordenadas do ponto a estão na região 1 As coordenadas do ponto b estão na região 7 A região 1 tem as seguintes direções: Superior esquerdo A região 7 tem as seguintes direções: Inferior esquerdo Portanto, em comum elas têm a direção esquerdo, o que torna este segmento de reta invisível àquela janela

Cada uma das 4 direções é testada na seguinte ordem: Se nenhum dos dois casos é obtido, então o segmento é sub dividido nos pontos onde intercep-tam as bordas extendidas; Cada uma das 4 direções é testada na seguinte ordem: Esquerda Direita Inferior superior

As partes do segmento claramente fora da janela, são descartadas; As partes restantes são verificadas com os casos triviais; Exemplo: segmento de reta cd

b 1 2 3 d 8 janela 4 f e 7 5 6 a c

Ele não satisfaz os casos triviais; Inicia no ponto c na região 6 ( inferior ); Intercepta a borda inferior da janela, no ponto e; o segmento ce tem seus extremos numa direção comum: a inferior, logo ele é descartado, ficando agora o segmento ed; O segmento ed também não satisfaz aos casos triviais; Como o ponto e pertence à janela, então inicia-se o processo pelo outro extremo, no caso o ponto d; Este ponto está na região 3 ( superior direita );

A ordem dos testes é realizada primeiro para a direita que é antes da superior; Logo, o ponto f é encontrado na borda direita que intercepta o segmento de reta; o segmento fd tem seus extremos numa direção comum, a direita, logo ele é descartado, ficando agora o segmento ef; Este segmento satisfaz ao caso trivial 1, ou seja, ele é visível;

Considerações Matemáticas As coordenadas do ponto de intersecção ( x, y ) de um segmento de reta com uma das borda da janela, podem ser obtidas através das seguintes considerações: ( x2 , y2 ) ( x, y ) ( x1, y1 )

Para um ponto qualquer ( x, y ) tem-se que a inclinação do segmento de reta é dado por: m = ( y – y1 ) / ( x – x1 ) = ( y2 – y1 ) / ( x2 – x1 ) Se um segmento de reta cruza uma borda esquerda ou direita da janela, então x1 é diferente de x2 e, portanto a inclinação do segmento tem denominador diferente de zero; Da mesma forma, se o segmento de reta cruza a borda superior ou inferior, então y1 é diferente de y2 e, portanto o inverso da inclinação do segmento tem denominador diferente de zero;

Como o valor da inclinação m pode ser obtido através das coordenadas dos pontos extremos do segmento dado, os valores do ponto de intersec-ção ( x, y ) podem ser obtidos como: y = m ( x – x1 ) + y1 x = ( y – y1 ) / m + x1 onde: m e ( x1, y1 ) são conhecidos; x na primeira equação, corresponde à abscissa da borda esquerda ou direita que o segmento de reta está cru-zando; y na segunda equação corresponde à ordenada da borda inferior ou superior que o segmento está cruzando.

Lista contendo as direções Implementação Criar uma rotina para dado as coordenadas de um ponto, ela retornar a região a qual este ponto per-tence; A melhor forma de implementar esta rotina é criar uma lista associada ao ponto, de tal forma que esta lista contenha as direções da região que o ponto pertence; Exemplo: região ( x, y, < direcoes > ) Lista contendo as direções

Criar 4 rotinas, uma para cada direção, para o cál-culo das coordenadas do ponto de intersecção do segmento de reta com a borda da janela; Criar a rotina de corte, a qual utilizando as rotinas anteriores, fará o corte dos segmentos de retas dados;

Para cada segmento de reta: Obter as direções dos pontos inicial e final; Calcular a inclinação m quando x1 for diferente de x2; Calcular o inverso da inclinação m quando y1 for diferente de y2; Obter o corte do segmento, utilizando o algoritmo se-guinte. Seja dir_inic e dir_fim, respectivamente as listas contendo as direções dos pontos inicial e final do segmento de reta.

Algoritmo enquanto dir_inic ≠ λ ou dir_fim ≠ λ faça se dir_inic ∩ dir_fim ≠ λ então segmento é invisível ( tem direções em comum ) senão se dir_inic = λ então direções ← dir_fim ( x, y ) ← ( x2 , y2 ) direções ← dir_inic ( x, y ) ← ( x1 , y1 ) fim_se

Coordenadas do ponto de intersecção do segmento com a borda // Corte contra as bordas Se “esquerda” ε direções então corte_esquerda ( x, y ) senão se “direita” ε direções então corte_direta ( x, y ) idem com “inferior” e “superior” fim_se Coordenadas do ponto de intersecção do segmento com a borda

Se direções = dir_inic então ( x1 , y1 ) ← ( x, y ) região ( x1 , y1 , direção 1 ) senão ( x2 , y2 ) ← ( x, y ) região ( x2 , y2 , direção 2 ) fim-se fim_enquanto linha ( x1 , y1 , x2 , y2 )

O mesmo raciocínio se aplica às outras direções rotina corte_esquerda ( x1 , y1 , xw, m ) y ← m ( xw – x1 ) + y1 x ← xw retorna ( x, y ) fim_rotina Onde: x1 , y1 → ponto inicial do segmento de reta xw → abscissa borda esquerda da janela m → inclinação do segmento de reta O mesmo raciocínio se aplica às outras direções

rotina região ( x, y, direção ) se x < xw_esq então direção ← “esquerda” senão se x > xw_dir então direção ← “direita” senão se y < yw_inf então direção ← “inferior” senão se y > yw_sup então direção ← “superior” fim-se Fim-rotina

POLIGONOS

Corte de polígonos O algoritmo de corte de linhas somente deve ser utilizado para linhas desconectadas; No caso de linhas conectadas a outras linhas, formando desta forma um polígono fechado, deve-se utilizar outro algoritmo; Existem situações onde um polígono cortado por uma janela, resulta em outro polígono;

exemplo janela figura

exemplo Figura cortada

Algoritmo Sutherland-Hodgman Este algoritmo é utilizado para o corte de polí-gonos; Corta o polígono contra uma borda a cada vez; Para cada borda da janela de corte tem-se uma lista de vértices do polígono e obtém-se outra lista de vértices para o polígono cortado, a qual é submetida para o corte da próxima borda da janela;

A lista de entrada é uma seqüência dos vértices consecutivos do polígono, obtidos do ultimo corte contra uma borda da janela; A lista inicia-se com os vértices do polígono original; A lista termina com os vértices do polígono cortado contra todas as bordas;

O algoritmo testa um par de vértices consecutivos contra uma borda. Existem 4 casos possíveis: Caso 2 v2 a v3 Caso 1 Caso 3 v4 b v1 Caso 4

O polígono de teste originalmente tem quatro vértices: { v1 , v2 , v3 , v4 } Caso 1: O 1o e o 2o vértice estão dentro da janela de corte; Neste caso, o vértice v2 é enviado à lista de saída; Caso 2: O 1o vértice está dentro da janela de corte e o 2o vértice está fora da janela; Neste caso, o ponto de interseção da borda da janela com o polígono ( ponto a ) é enviado à lista de saída;

Caso 3: Ambos os vértices estão fora da janela; Neste caso, nenhum ponto é enviado à lista de saída; Caso 4: O 1o vértice está fora da janela de corte e o 2o vértice está dentro da janela; Neste caso, o ponto de interseção da borda da janela com o polígono ( ponto b ) é enviado à lista de saída;

O algoritmo é invocado quatro vezes, uma para cada borda a janela;

Corte à direita

Corte inferior

Corte à esquerda

Corte superior

Polígono final

Implementação Uma lista com os vértices iniciais; Uma lista com os vértices finais ( vazia no inicio do processo ); Rotina para o cálculo da interseção da linha do polígo-no com uma borda da janela; Rotina para definir se um ponto está dentro de uma dada borda da janela; Rotina para atualizar lista com os vértices de saída;

Rotina Southerland Hodgman Rotina SH ( lista_entrada, lista_saida, borda ) v1 ← retira_no ( lista_entrada ) enquanto lista_entrada ≠ λ faça v2 ← retira_no ( lista_entrada ) se dentro ( v2, borda ) então { caso 1 ou 4 } se dentro ( v1, borda ) então { caso 1 } coloca_no ( lista_saida, v2 ) senão { caso 4 } intercepta ( v1, v2, borda, p ) coloca_no ( lista_saida, p ) fim_se

intercepta ( v1, v2, borda, p ) coloca_no ( lista_saida, p ) fim_se senão { caso 2 ou 3 } se dentro ( v1, borda ) então { caso 2 } intercepta ( v1, v2, borda, p ) coloca_no ( lista_saida, p ) fim_se v1 ← v2 fim_enquanto fim rotina

Rotina dentro Rotina dentro ( v, borda ) dentro ← falso caso borda.lado “superior” : se ( v.y ≤ borda.valor ) então dentro ← verdade “inferior” : se ( v.y ≥ borda.valor ) então dentro ← verdade “esquerda” : se ( v.x ≥ borda.valor ) então dentro ← verdade “direita” : se ( v.x ≤ borda.valor ) então dentro ← verdade fim_caso retorna ( dentro ) Fim rotina

Fim da apresentação