CONJUNTOS NUMÉRICOS Projeto INFO UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Navegação Conjunto é ... R RR H VOL remete à novas informações conjuntos numéricos Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um dos botões. Navegação Conjunto é ... remete à novas informações remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas de exercícios (Respostas das Rapidinhas) R RR e remete à história da Matemática H ouve uma narração ou som remete a um bloco de notas no qual você poderá imprimir ou salvar suas anotações volta ao primeiro slide volta ao slide anterior vai para o slide seguinte vai para o último slide aumenta ou diminui volume do som VOL

H Conjunto é uma coleção de compreensão implícita explícita conjuntos numéricos Conjunto é uma coleção de elementos. Exemplos: Um conjunto pode ser escrito de diversas formas: compreensão A = conjunto dos alunos da UNISINOS B = {x / x  R, x >2 e x <10, x é par} implícita H C = {4; 6; 8} explícita Use letra maiúscula para nome do conjunto e letra minúscula para os elementos; para designar o conjunto use chaves; para separar os elementos do conjunto use vírgula ou ponto e vírgula. Pense bem sobre isso! VOL

N elemento conjunto VOL conjuntos numéricos Se você quiser relacionar um elemento de um conjunto com um conjunto, use o símbolo  ou . Você diz, então 2  {1; 2; 3} ou -6  {1; 2; 3} ou 4  N elemento conjunto VOL

Assim, se A = {2} está contido em B = {1; 2; 3}, você diz que A é um conjuntos numéricos Se você quiser relacionar um conjunto com um outro conjunto, use o símbolo  ou  . Você diz, então {2}  {1; 2; 3} ou {-6}  {1; 2; 3} ou {2; 4; 6}  N Assim, se A = {2} está contido em B = {1; 2; 3}, você diz que A é um subconjunto de B. conjunto VOL

Conjuntos Numéricos H H R dos números naturais N = {1; 2; 3; 4; ...} Z = {...-2; -1; 0; 1; 2; ...} Q = {x /x = , p e q  Z, q  0} Q’ = {x/ x não pode ser colocado sob forma de fração} R = Q  Q´ C = {x / x = a+bi, a e b  R,b0} H dos números inteiros H dos números racionais dos números irracionais dos números reais dos números complexos R VOL

Intervalo Numérico VOL Um intervalo é outra forma de conjuntos numéricos Intervalo Numérico Um intervalo é outra forma de representar um conjunto, infinito, de números reais. A notação [a;b] indica um intervalo fechado. Fazem parte do intervalo todos os números reais, maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. a b Use “ bola cheia” para indicar que a e b fazem parte do inter- valo. Você pode representar, geometricamente, o conjunto [a;b] na reta real: VOL

VOL A notação (a;b) indica um intervalo conjuntos numéricos A notação (a;b) indica um intervalo aberto. Fazem parte do intervalo todos os números reais, maiores do que a e menores do que b. a b Use “bola vazia” para indicar que a e b não fazem parte do inter- valo. Você pode representar, geometricamente, o conjunto (a;b) na reta real: VOL

R VOL Observe atentamente cada um dos intervalos e a sua representação conjuntos numéricos Observe atentamente cada um dos intervalos e a sua representação geométrica: a) [3; 7] = {x / x  R, 3 x  7} 3 7 b) ( - ; 2)  ( 2; ) = {x / x  R, x  2} 2 R VOL

R VOL c) [2; 5)  [6; 7) = {x / x R, 2  x < 5 e 6  x < 7} 6 7 conjuntos numéricos c) [2; 5)  [6; 7) = {x / x R, 2  x < 5 e 6  x < 7} 6 7 2 5 R Tem mais aqui! d) R - {-1} = {x / x  R, x  -1} -1 VOL

CRIAÇÃO E MONTAGEM: PROFª NARA SARAIVA

Rapidinhas 1 RR O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? conjuntos numéricos Rapidinhas 1 O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? a) {1; 2; 3; 4} ....... Q’ b) N ....... Z c) Z ....... R d) Q’ ....... Q e) C ....... R f) {x/ x  Z, x2 - 4 = 0} ....... N g) 0,33333... .......... Q h) (-16)¼ .............. C i)  ........... Q Clique aqui para obter a resposta. RR VOL

Respostas das Rapidinhas 1 conjuntos numéricos Respostas das Rapidinhas 1 O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? a) {1; 2; 3; 4} ....... Q’ b) N ... ...... Z c) Z ..........R d) Q’ ......... Q e) C ... ...... R f) {x/ x  Z, x2 - 4 = 0} ... ...... N g) 0,33333... ......... Q h) (-16)¼ ..... ........ C i)  ........... Q VOL

Rapidinhas 2 RR Represente, graficamente, os intervalos numéricos: conjuntos numéricos Clique aqui para obter a resposta. Rapidinhas 2 Represente, graficamente, os intervalos numéricos: a) [-3; 0)  (2; 3) b) R - {2; 3} c) (-; 4]  (5; 7) d) [½; 4) RR VOL

Respostas das Rapidinhas 2 conjuntos numéricos Respostas das Rapidinhas 2 Represente, graficamente, os intervalos numéricos: a) [-3; 0)  (2; 3) b) R - {2; 3} c) (-; 4]  (5; 7) d) [½; 4) -3 2 3 2 3 4 5 7 ½ 4 VOL

Rapidinhas 3 RR O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? conjuntos numéricos Rapidinhas 3 O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? a) [1; ) ............ N b) (-3; 3) ........... Z c) (-; 0] ........... Z d) (-; ) ......... R e) 5 ......... (- ; 5) f)  ........ (-3; 3] g) 0,33333... .......... (0; 1] h) (-; 2)  (2; ) ......... R - {2} i) {1; 3} .......... [1; 3] j) {1; 3} .......... (1; 3) Clique aqui para obter a resposta. RR VOL

Respostas das Rapidinhas 3 conjuntos numéricos Respostas das Rapidinhas 3 Exercícios em dose dupla você encontra clicando aqui! O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? a) [1; ) ..... .... N b) (-3; 3) ...... .. Z c) (-; 0] ..... ... Z d) (-; ) ... ... R e) 5 ... ... (- ; 5) f)  .... ... (-3; 3] g) 0,33333... .... .... (0; 1] h) (-; 2)  (2; ) .... .... R - {2} i) {1; 3} .... .... [1; 3] j) {1; 3} ..... ... (1; 3) R VOL

VOL Um conjunto é chamado de unitário se tiver apenas um elemento. A conjuntos numéricos Um conjunto é chamado de unitário se tiver apenas um elemento. A B = { 8} Um conjunto é vazio se não tiver elementos. Simbolicamente, você representa o conjunto vazio por { } ou . Assim, o conjunto dos alunos da UNISINOS com mais de 75 anos é vazio. Indicamos: A = {alunos da UNISINOS com mais de 75 anos} =  VOL

VOL Para dois ou mais conjuntos, conjuntos numéricos Para dois ou mais conjuntos, você pode definir vários tipos de operações que ajudam a obter outros conjuntos. União Assim, A  B (lê-se: A união com B) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B. A  B = {x/ x  A ou x  B} Exemplo: A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 7; 8} A  B = {1; 2; 3; 4; 7; 8} VOL

VOL Diferença A - B (lê-se: A menos B) é o conjunto conjuntos numéricos Diferença A - B (lê-se: A menos B) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A e não pertencentes a B. A - B = {x / x  A e x  B} Exemplo: A = {2; 4; 6; 8} B = {2; 6} A - B = {4; 8} VOL

VOL Um conjunto pode ser representado sob várias formas: conjuntos numéricos Um conjunto pode ser representado sob várias formas:  sob a forma de compreensão: quando você descreve os elementos por meio da linguagem natural. Ex: P = conjunto dos alunos da UNISINOS S = {números naturais menores do que 100} T = conjunto dos números naturais múltiplos de 3 e menores do que 10  sob a forma implícita: quando você escreve os elementos do conjunto através de uma (ou mais) propriedade comum a seus elementos. Ex: U = {x / x  N, x < 10} V = {d/ d é dia da semana} VOL

VOL  sob a forma explícita (ou extensão): quando conjuntos numéricos  sob a forma explícita (ou extensão): quando você enumera os elementos do conjunto (separados por , ou ;), sem repetição. Ex: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Ainda você pode representar conjuntos por meio de diagrama, traçando uma linha simples, fechada, em torno de seus elementos associados a pontos. Se a linha for uma circunferência, chamamos de diagrama de Euler. . a . e . i . o . u VOL

Um pouco de história... VOL Embora Boole tenha utilizado em seus conjuntos numéricos Embora Boole tenha utilizado em seus trabalhos relações entre “conjuntos” de objetos, não chegou a desenvolver seu conceito de modo adequado. Georg Boole (1815-1864) As noções que deram origem à Teoria dos Conjuntos estão ligadas aos estudos dos matemáticos ingleses De Morgan (1806 - 1871) e George Boole (1815 - 1864), tidos como fundadores da lógica moderna. Mas foi somente em 1890 que o matemático russo Georg Cantor (1845 - 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos Números, publicou uma série de proposições e definições que vieram a se constituir numa linguagem simbólica para a Lógica, a Teoria dos Números e outros ramos da Matemática. George Cantor (1845-1918) VOL

Um pouco de história ... VOL A noção de número tem, provavelmente, conjuntos numéricos A noção de número tem, provavelmente, a idade do homem e sempre esteve ligada a sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que o cercavam. Os primeiros símbolos numéricos surgiram para representar conjuntos com poucos elementos. Somente muito mais tarde é que o homem sentiu necessidade de criar novos símbolos numéricos e processos de contagem e os sistemas de numeração. VOL

Um pouco de história ... VOL Os primeiros registros da utilização conjuntos numéricos Os primeiros registros da utilização da notação posicional ocorreram na Babilônia, por volta de 2500 a.C. O aparecimento de um símbolo específico para a representação do zero data do século IX e é atribuído aos hindus. VOL

Rapidinhas 1 RR O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? conjuntos numéricos Rapidinhas 1 O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? a) {1; 2; 3; 4} ....... Q’ b) N ....... Z c) Z ....... R d) Q’ ....... Q e) C ....... R f) {x/ x  Z, x2 - 4 = 0} ....... N g) 0,33333... .......... Q h) (-16)¼ .............. C i)  ........... Q Clique aqui para obter a resposta. RR VOL

Um pouco de história... VOL Embora Boole tenha utilizado em seus conjuntos numéricos Um pouco de história... Embora Boole tenha utilizado em seus trabalhos relações entre “conjuntos” de objetos, não chegou a desenvolver seu conceito de modo adequado. George Boole (1815 - 1864) As noções que deram origem à Teoria dos Conjuntos estão ligadas aos estudos dos matemáticos ingleses De Morgan (1806 - 1871) e George Boole (1815 - 1864), tidos como fundadores da lógica moderna. Mas foi somente em 1890 que o matemático russo Georg Cantor (1845 - 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos Números, publicou uma série de proposições e definições que vieram a se constituir numa linguagem simbólica para a Lógica, a Teoria dos Números e outros ramos da Matemática. Georg Cantor (1845-1918) VOL

H Conjunto é uma coleção de compreensão implícita explícita conjuntos numéricos Conjunto é uma coleção de elementos. Exemplos: Um conjunto pode ser escrito de diversas formas: compreensão A = conjunto dos alunos da UNISINOS B = {x / x  R, x >2 e x <10, x é par} implícita H C = {4; 6; 8} explícita Use letra maiúscula para nome do conjunto e letra minúscula para os elementos; para designar o conjunto use chaves; para separar os elementos do conjunto use vírgula ou ponto e vírgula. Pense bem sobre isso! VOL

Respostas das Rapidinhas 1 conjuntos numéricos Respostas das Rapidinhas 1 O que você colocaria nos espaços: , ,  ou ? a) {1; 2; 3; 4} ....... Q’ b) N ... ...... Z c) Z ..........R d) Q’ ......... Q e) C ... ...... R f) {x/ x  Z, x2 - 4 = 0} ... ...... N g) 0,33333... ......... Q h) (-16)¼ ..... ........ C i)  ........... Q VOL

N é o nome do conjunto que compreende conjuntos numéricos N é o nome do conjunto que compreende os números naturais. Considere como número natural o conjunto dado pelos elementos 1, 2, 3, 4, 5, ... e escreva N = {1; 2; 3; 4; 5; ... } VOL

O símbolo  está associado à noção de constituir, estar presente e conjuntos numéricos O símbolo  está associado à noção de constituir, estar presente e lê-se como pertence. VOL

O símbolo  está associado à conjuntos numéricos O símbolo  está associado à noção de não constituir, não estar presente e lê-se como não pertence. VOL

conjuntos numéricos O símbolo  é lido como está contido. VOL

conjuntos numéricos O símbolo  é lido como não está contido. VOL

N = {1; 2; 3; 4; 5; ... } N é o nome do conjunto que compreende conjuntos numéricos N é o nome do conjunto que compreende os números naturais. Considere como número natural o conjunto dado pelos elementos 1, 2, 3, 4, 5, ... e escreva N = {1; 2; 3; 4; 5; ... } VOL

Navegação Conjunto é ... R RR H VOL remete à novas informações conjuntos numéricos Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um dos botões. Navegação Conjunto é ... remete à novas informações remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas de exercícios (Respostas das Rapidinhas) R RR e remete à história da Matemática H ouve uma narração ou som remete a um bloco de notas no qual você poderá imprimir ou salvar suas anotações volta ao primeiro slide volta ao slide anterior vai para o slide seguinte vai para o último slide aumenta ou diminui volume do som VOL

Navegação Conjunto é ... R RR H VOL remete à novas informações conjuntos numéricos Esta tela é uma demonstração. Clique em cada um dos botões. Navegação Conjunto é ... remete à novas informações remete aos exercícios (Rapidinhas) ou respostas de exercícios (Respostas das Rapidinhas) R RR e remete à história da Matemática H ouve uma narração ou som remete a um bloco de notas no qual você poderá imprimir ou salvar suas anotações volta ao primeiro slide volta ao slide anterior vai para o slide seguinte vai para o último slide aumenta ou diminui volume do som VOL

¶ é um número irracional, tem infinitas conjuntos numéricos ¶ é um número irracional, tem infinitas casas decimais e é igual a 3,14159.... Um número irracional não pode ser representado sob a forma de fração. São também números irracionais o raiz de 5, raiz de 3, raiz cúbica de 3, etc. VOL

C é a notação usada para números complexos. conjuntos numéricos C é a notação usada para números complexos. Um número complexo tem a forma a+ bi, com a e b pertencentes ao conjunto dos reais e b diferente de zero. São números complexos raiz quadrada de -2, raiz quarta de -3, 2i, 1± 3i, etc. VOL

A idéia de número racional (Q) nasceu da necessidade conjuntos numéricos A idéia de número racional (Q) nasceu da necessidade de se operar com grandezas que não podem ser representadas por números inteiros. Os mais antigos registros da utilização de símbolos para representar frações são egípcios e datam de, aproximadamente, 1800 a.C. São números racionais o -2; 1,5; ¼; -¾; etc. VOL

O conjunto dos números irracionais (Q’) conjuntos numéricos O conjunto dos números irracionais (Q’) é aquele formado por números decimais infinitos e não periódicos. Não podem ser colocados sob a forma de fração. São números irracionais o , raiz quadrada de 3, raiz quadrada de 5, raiz quarta de 6, etc. VOL

R = {x/ x  Q ou x  Q’}. Um número real (R) pode ser racional (Q) ou conjuntos numéricos Um número real (R) pode ser racional (Q) ou irracional (Q’). Assim, você pode representar o conjunto dos reais como R = {x/ x  Q ou x  Q’}. VOL

C é a notação usada para números complexos. conjuntos numéricos C é a notação usada para números complexos. Um número complexo tem a forma a+ bi, com a e b pertencentes ao conjunto dos reais e b diferente de zero. São números complexos raiz quadrada de -2, raiz quarta de -3, 2i, 1± 3i, etc. VOL

Quando um dos extremos do intervalo for -, conjuntos numéricos Quando um dos extremos do intervalo for -, usamos sempre parêntesis (( ). VOL

Conjunto é uma coleção de conjuntos numéricos Conjunto é uma coleção de elementos. Exemplos: A = conjunto dos alunos da UNISINOS B = {x / x  R, x >2 e x <10, x é par} C = {4; 6; 8} A proposição x > 2 e x < 10 pode ser escrita, também, como 2 < x < 10. Pense bem sobre isso! VOL