26 de fevereiro de Árvores (2,3) e Árvores B Katia Guimarães

Vimos que árvores de busca quando balanceadas, como as árvores AVL, permitem busca em tempo logarítmico. Árvores de Busca com grau maior do que 2 No caso das árvores AVL, a busca se dá em tempo log 2 (n) no pior caso. Poderíamos tentar melhorar procurando fazer a busca em tempo log k (n), com k > 2.

Similar às árvores AVL, mas - Cada nó interno tem dois ou três filhos e - Todos os nós externos têm a mesma profundidade. 3 Árvores 2-3 A C F K M HLO G P T RX Q S VZ

Como nas árvores AVL, a inserção se dá numa folha. Se há espaço para acrescentar o novo elemento, ele entra aí. 4 Inserção em Árvores 2-3 E L P I T V X UWZ Ex: Inserção do elemento G na árvore abaixo. G

Se não há espaço para acrescentar o novo elemento, gera-se dois nós com os dois elementos extremos no nó, e promove-se o elemento central, para ser incluído no nível imediatamente superior. 5 Inserção em Árvores 2-3 E L P I T V X UWZ Ex: Inserção do elemento N na árvore abaixo. G N

6 Inserção em Árvores 2-3 I N T V X UWZ Ex: Inserção do elemento N na árvore abaixo. Como um nó não pode ter três elementos, são criados dois nós com um elemento cada, e o elemento do meio é promovido. LE G P

Se não há espaço para acrescentar o nó promovido, procede-se da mesma forma que no overflow anterior, até eventualmente achar espaço suficiente ou chegar até a raiz. 7 Inserção em Árvores 2-3 I N T V X UWZ Ex: Inserção do elemento C na árvore abaixo. LE G P C

Se não há espaço para acrescentar o nó promovido, procede-se da mesma forma que no overflow anterior, até eventualmente achar espaço suficiente ou chegar até a raiz. 8 Inserção em Árvores 2-3 N T V X UWZ Ex: Inserção do elemento C leva à promoção do elemento E. LC P E G I

9 Inserção em Árvores 2-3 I T V X UWZ Ex: Inserção do elemento C leva à promoção do elemento E que por sua vez leva à promoção do elemento I. C E G N L P

10 Árvores B Note que a diferença crucial em termos de tempo de acesso entre a árvores binárias e as árvores 2-3 é que agora o acesso pode ser feito em tempo logarítmico, mas com base 3, o que é mais rápido. Podemos pensar então numa forma de diminuir mais ainda o tempo de acesso, aumentando o número de elementos em cada nó.

11 Árvores B ÁRVORES B são uma extensão da noção de árvores 2-3, onde cada nó que não é a raiz pode ter entre k e 2k chaves. Esta estrutura normalmente é usada em memória externa. Deve haver um compromisso entre o maior número de elementos por nó e a capacidade de acesso em disco, além de uma técnica de busca dentro do nó.