Noções sobre Vetores Exemplo Produto escalar

Apresentação em tema: "Noções sobre Vetores Exemplo Produto escalar"— Transcrição da apresentação:

1 Noções sobre Vetores Exemplo Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: a.b = a1b1 + a2b anbn = Exemplo Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). . = (-2) (-2)+ 4.1 = -6

2 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: onde  é o ângulo formado por e

3 Noções sobre Vetores Exemplo
Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). = 2.(-1) = 6 Portanto, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

4 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Se e então, cosseno
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.

5 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Exemplo
O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que:

6 Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores . => Mas, , logo
Temos então que:

7 Noções sobre Vetores Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é: x y x1 y1 Além disso, dado um escalar , pertencente a :

8 Noções sobre Vetores Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

9 Noções sobre Vetores Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor
É um vetor unitário, pois:

10 Noções sobre Vetores Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

11 Noções sobre Vetores Produto vetorial Exemplo:
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

12 Noções sobre Vetores Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0  Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.

13 Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. u v |u x v| = área do paralelogramo u x v