CÁLCULOS FINANCEIROS Prof. Carlos Marques.  Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...  Números Inteiros (Z):...,–5, –4, –3, – 2, –1,

Apresentação em tema: "CÁLCULOS FINANCEIROS Prof. Carlos Marques.  Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...  Números Inteiros (Z):...,–5, –4, –3, – 2, –1,"— Transcrição da apresentação:

1 CÁLCULOS FINANCEIROS Prof. Carlos Marques

2  Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...  Números Inteiros (Z):...,–5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...  Números Racionais (Q):..., -1/2, -0,25, 0, 1/2, 0,25,... (em forma de fração)  Números Irracionais (I):..., -√3, -√2, 1,32365498...,√2, 3,141592...,... (não podem ser representados por frações)  Números reais (R)  União do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais  N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

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7  Divisão proporcional  Muito usada na matemática financeira, contabilidade, administração de forma a possibilitar a divisão de lucros ou prejuízos de forma proporcional aos respectivos valores investidos pela pessoas envolvidas em algum tipo de operação financeira.  Exemplo: Quatro pessoas devem dividir de forma proporcional o lucro de determinada operação financeira no valor de R$ 12.750,00. Sabe-se que A investiu R$ 40.000,00, B investiu R$ 30.000,00, C investiu R$ 10.000,00 e D investiu R$ 5.000,00. Qual deve ser o valor do lucro distribuído para cada um?

8 } R$ 12.750,00

9  Como demonstrar em uma planilha de cálculo Ctrl + `

10  Exercício: Dez amigos jogaram na Mega Sena, sendo que cada um participou com as quantias abaixo. Se o prêmio for de R$ 1.000.000,00 quanto caberá a cada um?  Paulo = R$ 5,00  Maria = R$ 3,00  João = R$ 2,50  Pedro = R$ 7,00  Joaquim = R$ 4,00  Manoel = R$ 2,00  Beatriz = R$ 6,50  Ana = R$ 5,50  Claudia = R$ 3,50  Izabel = R$ 4,50

11  Regra de sociedade  É uma das aplicações da divisão proporcional.  Existem situações diferentes.

12  1ª. Situação: O capital e o tempo de participação dos sócios são iguais.  Resolução: Divisão do valor total pelo número de sócios.  Exemplo: Pedro e Maria começaram uma sociedade em 30/07/2015, em que cada um contribuiu com R$ 30.000,00. No final do ano houve um lucro total de R$ 10.000,00. Qual o valor correspondente ao lucro de cada sócio?  Se o capital e o tempo investido de cada sócio foram os mesmos, basta dividir o lucro da empresa pelo número de sócios (2). Então Pedro e Maria receberão R$ 5.000,00 cada.

13  2ª. Situação: O capital dos sócios é igual, mas o tempo de participação é diferente.  Resolução: Divisão proporcional do lucro em relação ao tempo de participação de cada sócio.  Exemplo: Manoel abriu uma empresa no dia 30/06/15, investindo R$ 30.000,00. Em 30/08/2015, Ana entrou em sociedade com Manoel, investindo o mesmo valor. Ao término de 2015 foi verificado um lucro de R$ 5.000,00 para a empresa, qual o lucro a ser distribuído para cada sócio?  Se cada sócio investiu a mesma quantia, o que variou neste caso foi o tempo de participação.  Como Manoel trabalhou 6 meses e Ana trabalhou 4 meses, temos um total de 10 meses trabalhados.  Dividindo R$ 5.000,00 / 10 meses, descobre-se que cada mês gerou um lucro de R$ 500,00.  Portanto Manoel deve receber R$ 500,00 X 6 = R$ 3.000,00 e Ana R$ 500,00 X 4 = R$ 2.000,00.

14  3ª. Situação: O capital investido por cada sócio é diferente e o tempo de participação é igual.  Resolução: Divisão proporcional do lucro em relação ao capital investido por cada sócio.  Exemplo: Beatriz e Guilherme constituíram uma sociedade no dia 15/02/2015, onde Beatriz investiu R$ 20.000,00 e Guilherme investiu R$ 25.000,00. Ao término de 2015 a empresa teve um lucro de R$ 54.000,00, quanto cada sócio tem direito em relação lucro?  Se cada sócio investiu a mesma quantia, o que variou neste caso foi o tempo de participação.  Como Beatriz investiu R$ 20.000,00 e Guilherme investiu R$ 25.000,00, foram investidos no total R$ 45.000,00.  Ao dividir o lucro de R$ 54.000,00 pelo valor total investido R$ 45.000,00, descobre-se que cada R$ 1,00 investido gerou R$ 1,20 de lucro.  Então, para Beatriz R$ 20.000,00 X R$ 1,20 = R$ 24.000,00 e para Guilherme R$ 25.000,00 X R$ 1,20 = R$ 30.000,00.

15  4ª. Situação: O capital e o tempo de participação dos sócios são diferentes.  Resolução: Divisão proporcional do lucro em relação ao tempo e ao capital investido por cada sócio.  Exemplo: Nair e Romão constituíram uma empresa, sendo que Nair investiu R$ 10.000,00 e Romão R$ 7.000,00. Nair esteve ativa na empresa por 5 meses e Romão por 12 meses. Se o lucro no final do período foi de R$ 8.040,00, qual o valor do lucro a ser atribuído para Nair e para Romão?  Primeiramente multiplica-se o valor que cada sócio investiu pelo tempo de permanência do mesmo na empresa:  Nair: R$ 10.000,00 x 5 = R$ 50.000,00  Romão: R$ 7.000,00 x 12 = R$ 84.000,00  Ao somar os dois valores encontrados no passo anterior, descobre-se o valor aplicado em todo o período R$ 50.000,00 + R$ 84.000,00 = R$ 134.000,00.  Dividindo o lucro pelo valor aplicado em todo o período, tem-se o lucro gerado por cada real aplicado no período. R$ 8.040,00 / R$ 134.000,00 = R$ 0,06.  Portanto Nair (R$ 50.000,00 X R$ 0,06 = R$ 3.000,00) e Romão (R$ 84.000,00 X R$ 0,06 = R$ 5.040,00).

16  Exercícios – Grandezas Proporcionais  1) Sabendo que x, y, z e 60 são diretamente proporcionais aos números 100, 60, 100 e 240, determine os valores de x, y e z.  2) Sabendo que a, 50, b e c são diretamente proporcionais aos números 36, 120, 24 e 12, determine os valores de a, b, e c.  3) Em uma escola, o número de meninas em determinada sala é de 2/3, pergunta-se quantos meninos estudam nesta sala se o número total de alunos é 60?  4) Em um sítio existem frangos e cavalos na mesma proporção. Se a quantidade de cavalos for acrescida de 30, o que deve acontecer com a quantidade de frangos para que o total de cabeças permaneça inalterado?  5) Considerando a questão anterior, o que aconteceria se houvesse a necessidade de manter inalterada apenas a quantidade de patas?

17  Exercícios – Grandezas Proporcionais  6) Sabendo que 7, s, 112, 448 são diretamente proporcionais a r, 140, 560 e t, determine os valores de s, r e t.  7) O número de dias gastos em uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de trabalhadores na obra? Justifique.  8) Qual é o fator de proporcionalidade entre as sequências de números inversamente proporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12)?  9) Sabendo que os números das sequências (1, a, -4) e (4, 2, b) são inversamente proporcionais determine a e b.  10) Qual o fator de proporcionalidade no exercício anterior?

18  Exercícios – Regra de sociedade  11) O valor de R$ 2.500,00 deve ser dividido diretamente proporcional a 4, 6 e 10. Determine os valores desta divisão.  12) Uma sociedade realizada entre três pessoas é baseada em quotas de responsabilidade limitada. Sabendo que os investimentos foram de R$ 3.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 6.000,00 e que após determinado tempo gerou um lucro de R$ 200.000,00. Qual será a parte de cada um?  13) Um pai resolveu dividir R$ 70.000,00 entre quatro filhos, de modo que a divisão fosse diretamente proporcional às suas idades. Eles têm 18, 28, 32 e 34 anos. Quanto recebeu cada um?  14) Paulo, João e Joana, ao terminar um serviço, repartiram o valor recebido de forma proporcional ao número de horas trabalhadas por cada um e, coube a eles, respectivamente R$ 6.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 12.000,00. Sabe-se que no total foram 100 horas. Quantas horas cada um trabalhou?

19  Exercícios – Regra de sociedade  15) Ao realizar um trabalho, as pessoas A, B, C e D receberam R$ 25.000,00, sendo que se dedicaram da seguinte forma: A por 4 horas diárias, durante 5 dias; B por 6 horas diárias, durante 2 dias; C por 8 horas diárias por 3 dias e D por 2 horas diárias por 15 dias. A pessoa C lembrou que havia sido combinado anteriormente que a cada duas horas trabalhadas haveria um descanso obrigatório de 15 minutos que seria descontado para efeito da divisão final dos valores. A pessoa A concordou, mas lembrou que o total de horas de descanso não poderia ser “quebrado”, ou seja, deveria ser um número inteiro, e que o critério que havia sido acordado era de simplesmente adotar apenas a parte inteira para o cálculo, sem qualquer tipo de aproximação. A pessoa D complementou dizendo que o gasto total com materiais foi de R$ 10.000,00 e que este gasto deveria ser descontado proporcionalmente ao número de horas efetivamente trabalhadas. Demonstre todos os cálculos necessários para ser chegar a divisão correta, considerando todas estas regras.

20  Exercícios – Regra de sociedade  16) Maria, Pedro e José foram contratados para realizar um trabalho, sendo contratados pelo valor total de R$ 15.000,00. Na execução deste serviço Maria participou em 1/5 e Pedro em 2/5, quanto deve receber cada um?  17) Na divisão de uma herança, três filhos receberam valores diferentes, sendo que o primeiro recebeu 1/3 do segundo e, o segundo 1/4 do terceiro. Se o valor total era de R$ 56.000,00, quanto cada um recebeu?  18) Na divisão proposta pelo exercício 17 os filhos que ficaram com os menores valores discordaram da divisão e propuseram um outro critério, ou seja, que a mesma fosse efetuada de forma inversamente proporcional a idade de cada um. Sabendo que respectivamente os filhos têm 18, 25 e 30 anos, para quais filhos esta nova divisão seria melhor? Demonstre os cálculos.

21  Exercícios – Regra de sociedade  19) Em um condomínio empresarial existem empresas de diferentes ramos de atuação. O valor mensal da taxa condominal é calculado da seguinte forma:  As empresas industriais devem pagar igualmente 7/8 dos gastos com gás, sendo que o restante deve ser rateado de forma igual entre as demais.  As empresas comerciais devem pagar igualmente 2/3 das despesas com limpeza, sendo que o restante deve ser rateado de forma igual entre as demais.  As empresas de prestação de serviços devem pagar igualmente1/3 da conta de energia elétrica e 3/5 da conta de telefone e internet, sendo que o restante deve ser rateado de forma igual entre as demais.  Todas as outras despesas devem ser divididas de forma proporcional ao número de empregados de cada empresa. As despesas do mês foram: Água e esgoto  R$ 5.000,00; Gás  R$ 1.200,00; Energia elétrica  R$ 10.000,00; Segurança  R$ 3.000,00; Limpeza  R$ 4.000,00; Telefone  R$ 1.500,00; Internet  R$ 800,00. A empresa A e mais 5 outras são do ramo industrial, a empresa B e mais 3 outras são do ramo comercial e, a empresa C e mais 8 outras são de prestação de serviços. No total são gerados 500 empregos, sendo que a empresa A tem 10 funcionários, a empresa B tem 5 funcionários e a empresa C tem 3 funcionários. Qual o valor da taxa condominal das empresas A, B e C? Demonstre os cálculos.

22  Regra de três  Processo que visa resolver problemas envolvendo quatro valores, onde conhecemos três destes valores. Portanto, podemos determinar um valor a partir de três outros já conhecidos.  Como fazer:  Montar uma tabela, onde as grandezas do mesmo tipo ficam nas colunas e as grandezas diferentes ficam em linhas diferentes, porém mantendo sua correspondência.  Identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.  Montando a proporção, resolver a equação.

23  Regra de três  Exemplo – Dois homens constroem 5 metros de muro em um dia, quantos metros diários serão construídos se tivermos seis homens trabalhando.  Montando a tabela HomensMetros 2 5(dois homens constroem 5 metros diários) 6 x(seis homens vão construir x metros diários)  Identificando os tipos de grandeza (diretamente ou inversamente proporcionais) HomensMetros 2 5 6 x  A quantidade de homens aumentou (saindo de 2 para 6). Quando a quantidade de homens aumenta, a quantidade de metros também aumenta. Portanto as duas grandezas são diretamente proporcionais.  Montando a proporção -

24  Regra de três  Exemplo – Dois homens constroem um muro de cem metros em três dias, quantos dias serão necessários para construir o mesmo muro se tivermos seis homens trabalhando.  Montando a tabela HomensDias 2 3(dois homens constroem em três dias) 6 x(seis homens vão construir x dias)  Identificando os tipos de grandeza (diretamente ou inversamente proporcionais) Homens Dias 2 3 6 x  A quantidade de homens aumentou (saindo de 2 para 6). Quando a quantidade de homens aumenta, a quantidade de dias diminui. Portanto as duas grandezas são inversamente proporcionais. Logo ao montar a proporção, uma delas deve ser invertida.  Montando a proporção -

25  Regra de três  Exercícios:  1) Uma residência tem placas de geração de energia solar que totalizam 10 metros quadrados que geram 1200W/h. Qual deveria ser a área de placas para que a produção fosse de 4000W/h?  2) Ao se deslocar de uma cidade A para uma cidade B, um veículo a 80Km/h fez o percurso em duas horas. Qual deveria ser a velocidade do veículo para que fizesse o mesmo percurso em 90 minutos?  http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios- sobre-regra-tres-simples.htm

26  Regra de três (composta)  Utilizada para a resolução de problemas que envolvam mais de duas grandezas. Assim como na regra de três simples, as grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais entre si.  Exemplo – Dois tratores araram cinco alqueires em doze horas, quantas horas seriam necessárias para arar seis alqueires utilizando 8 tratores? Tratores Horas Alqueires 2 12 5 (dois tratores, em 12 horas, 5 alqueires) 8 x 6 (oito tratores, em x horas, 6 alqueires ) Pode-se notar que a relação entre o número de tratores e o número de horas é inversamente proporcional, pois a medida que aumentamos o número de tratores, menos horas serão necessárias. Nota-se também que a relação entre o número de horas e o número de alqueires é diretamente proporcional, pois a medida que o número de alqueires arados aumenta, o número de horas também aumenta. Portanto -

27  Regra de três (composta)  Exercícios:  1) Dezesseis pessoas fabricam quarenta motos em dez dias. Quantas motos serão fabricadas por oito pessoas em trinta e dois dias?  2) Quatro torneiras enchem um tanque de 10.000 litros em 20 horas. Quantas horas serão necessárias para oito torneiras encherem um tanque de 15.000 litros?  http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios- sobre-regra-tres-composta.htm

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32  Planilha Exemplo Percentuais.xls

33  Porcentagem  Exercícios:  1) O salário de um trabalhador era R$ 3.000,00, porém teve um reajuste de 15%. Qual é o novo salário?  2) Pedro tem uma fazenda e descobriu que em um lote de 80 bovinos, 15 apresentavam problemas com carrapatos. Como a fazenda tem 1000 bovinos, quantos estariam com o mesmo problema se o índice geral for o mesmo?  3) Você foi comprar um determinado produto e descobriu que pode comprá-lo em 12 vezes de R$ 50,00 ou R$ 500,00 à vista. Existe algum desconto para pagamento à vista? Quanto? Qual seria a melhor opção?  http://www.infoescola.com/matematica/porcentagem/exercicios

34  Moeda  No inicio só havia a troca de mercadorias;  Porém em alguns casos a troca poderia não ser interessante para uma das partes, então surgiu a moeda, que seria uma mercadoria amplamente aceita e que resolveu este problema.  No inicio era metal, depois passou a ser metálica, para no final ser um pedaço de papel (papel-moeda). Atualmente temos até a moeda virtual (bitcoin).

35  Correção monetária  Método para amenizar os efeitos da inflação;  Geralmente está embutida em taxas de financiamentos, através da previsão de inflação futura.

36  Diagrama de fluxo de caixa  Representação gráfica em uma reta, com períodos e valores envolvidos em cada período.  Setas em sentidos opostos indicam valores também opostos (entrada/saída ou positivo/negativo). 100 50 6080 40 100

37  Juros simples  Regime de capitalização onde apenas o valor principal (capital) é considerado para o cálculo dos juros ao longo do período.  Capital (C) – Valor inicial da operação.  Taxa (i)– Valor percentual utilizado para calcular a remuneração atribuída ao capital. Deve ser expressa com a indicação do período a que se refere. Exemplo: 2% a.m. (ao mês).  Juro (J) – é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.  Tempo (n) – número de períodos sobre o qual o capital será remunerado.  A taxa e o período devem, obrigatoriamente, estar na mesma medida de tempo.  Montante (M) – soma do capital com os juros relativos ao período. J = C. i. nM = C + JM = C. (1 + i. n)

38  Taxas proporcionais  Taxas que apesar de serem diferentes entre si, mantêm a mesma proporcionalidade em razão do tempo.  Exemplo: 1,5% a.m. é proporcional a 18% a.a.  Taxas equivalentes  Taxas que, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.  Para o regime de capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes.

39  Permuta valendo 2,0 pontos  Resolver utilizando o Excel, todos os exercícios das páginas 81 à 99, inclusive os resolvidos. (Livro do Arnot).  Entrega na próxima aula.

40  Desconto simples  Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.  Nota promissória – promessa de pagamento, usada em compra/venda e empréstimos como forma de caução (garantia), sendo emitida pelo devedor (sacado). Não existe a figura do aceite.  Duplicata – utilizada em transações mercantis, emitida pelo credor (sacador), precisa de aceite do devedor (sacado).  Letra de câmbio – comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado, porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

41  Desconto simples  Apesar do cheque ser uma ordem de pagamento à vista, é usual utilizar-se do mesmo como um título de crédito (o famoso pré-datado).  Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, assim como o credor pode vender o título para um terceiro, sendo que este irá obter um lucro por estar adiantando o capital que só irá receber no futuro. Esta operação de diminuir o valor a ser pago/recebido através de um abatimento é denominada de desconto.  Portanto a diferença entre as duas quantidades, obtida em comum acordo, também recebe o nome de desconto.

42  Desconto simples  Nomenclatura:  Dia de vencimento – dia fixado no título para o pagamento/recebimento do valor.  Valor nominal – valor constante no título. É a importância a ser paga no dia do vencimento. Também chamado de valor futuro, valor de face ou valor de resgate.  Valor atual – é o valor líquido pago/recebido antes do vencimento. Também chamado de valor descontado.  Tempo ou prazo – número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento. (se contar o primeiro dia, não conta o último e vice-versa)  Então podemos definir desconto como a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

43  Desconto simples  Tipos de desconto:  Desconto comercial/bancário/por fora  Calculado sobre o valor nominal.  d  valor do desconto  N  valor nominal do título  A  valor atual  n  tempo  i  taxa de desconto  d = N. i. n  A = N (1 – i. n)  Se aplicado a períodos maiores, o desconto pode ser maior do que o próprio valor do título.

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45  Desconto simples  Tipos de desconto:  Desconto comercial/bancário/por fora  Se tivermos dois ou mais títulos, não é necessário realizar as operações de desconto de forma individualizada, desde que a taxa seja a mesma.

46  Desconto simples  Demonstrativo do cálculo efetuado no slide anterior  Note que na coluna E a taxa foi dividida por 30, pois a taxa da coluna C está em %a.m. e o período na coluna B está em dias.

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48  Permuta valendo 1,0 ponto  Resolver utilizando o Excel, todos os exercícios das páginas 100 à 110, inclusive os resolvidos. (Livro do Arnot).  Entrega na próxima aula.

49  Juros compostos  Regime de capitalização onde em cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante (capital + juro) relativo ao período anterior. Esta é a fórmula de cálculo mais adotada mundialmente.  Capital (C) – Valor inicial da operação.  Taxa (i)– Valor percentual utilizado para calcular a remuneração atribuída ao capital. Deve ser expressa com a indicação do período a que se refere. Exemplo: 2% a.m. (ao mês).  Juro (J) – é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.  Tempo (n) – número de períodos sobre o qual o capital será remunerado.  A taxa e o período devem, obrigatoriamente, estar na mesma medida de tempo.  Montante (M) – soma do capital com os juros relativos ao período. M = C. (1 + i) n C = M. (1 + i) -n

50  Comparativo entre Juros simples e Juros compostos

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52 Utilizar planilha Comparação Juros Simples X Juros Compostos

53  Comparativo entre Juros simples e Juros compostos  Agora fica fácil entender porque os Estados estão “brigando” com a União para que o cálculo da dívida dos Estados utilize juros simples e não compostos. (04/2016).

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55  Permuta valendo 1,0 ponto  Resolver utilizando o Excel, todos os exercícios das páginas 112 à 128, inclusive os resolvidos. (Livro do Arnot).  Entrega na próxima aula.

56  Desconto composto

57 Matemática Comercial e Financeira Antônio Arnot Crespo Editora Saraiva