Probabilidade Definições, Métodos e Teoremas. Objetos da Aula Terminologia Definição Axiomática Métodos de Cálculo de Probabilidades Propriedades Probabilidade.

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1 Probabilidade Definições, Métodos e Teoremas

2 Objetos da Aula Terminologia Definição Axiomática Métodos de Cálculo de Probabilidades Propriedades Probabilidade Condicional Teorema do Produto Teorema da Probabilidade Total Teorema de Bayes Eventos Independentes Definição de Variável Aleatória Variáveis Aleatórias Unidimensionais Variáveis Aleatórias Bidimensionais Obs. Objetivo é entendermos os conceitos matemáticos da probabilidade

3 Fenômenos Naturais Determinísticos: -Os resultados são sempre os mesmos - Independe do experimento - Os parâmetros são bem conhecidos e não precisam ser estimados Aleatórios: - Os resultados são imprevisíveis. - Dependem do experimento - Os parâmetros são estimados mediante uma amostra Caóticos: - Os resultados dependem das condições iniciais - Independe do experimento - Os parâmetros podem ou não serem estimados (?)

4 Experimentos Aleatórios - Ex; Jogar uma moeda.  = {  1 ;  2 } = { C ; K } Evento associado a um ponto do espaço amostral

5 Eventos

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7  – Espaço amostral

8

9

10

11 C K

12 Partição do Espaço Amostral

13 Álgebra detalhe

14  -Álgebra ( A )

15  -Álgebra

16 B – Álgebra de Borel

17 Definições de Probabilidade

18 Probabilidade

19 Definição Axiomática

20 def. Axiomática

21 Propriedades Regra dos eventos complementares Limitada A prob. do evento impossível é nula Aditividade Finita  - aditividade Aditividade eventos Sub-eventos Diferença entre eventos Prova

22 Espaço de Probabilidade

23 Probabilidade Lembramos que probabilidade é uma função P definida numa  -Algebra que satisfaz os axiomas A1 A2 e A3’

24 Métodos de Cálculo Definições

25 Terminologia

26 Métodos de Cálculo Observe ATENTAMENTE os dois exemplos abaixo:

27 Ref: Moretin

28

29 Probabilidade X Contagem 1. Uma urna contém 8 bolas Vermelhas, 3 bolas Brancas e 9 bolas Amarelas. Se 3 bolas são retiradas ao acaso, determine 1 – Todas as 3 bolas saírem vermelhas 2 - 2 V e 1 B 8 V 3B 9A

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31 Exercícios 1. Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que o seu número seja a)Par b) Ímpar c)Par e maior que 3 d)Múltiplo de 3 e 5 2. Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 pretas. Extraindo-se duas bolas simultaneamente, calcule a probabilidade de serem a)Uma de cada cor b)Ambas da mesma cor Obs: Resolva por Teorema Fundamental da Contagem e depois por Axiomas probabilísticos.

32 Teoremas

33 Probabilidade Condicional

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35 Teorema da Probabilidade Total

36 Fórmula de Bayes

37 Condicionabilidade B 

38 Exemplo a)Qual a probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela fábrica I, II, III ? b) Some as probabilidades.

39 Exemplo

40 Teorema de Beyes Exempo: Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas: Produção Defeituosos 1.Fábrica1: (Dobro da Fábrica 2 ou 3) 2% 2.Fábrica2: (Igual à Fábrica 3) 2% 3.Fábrica3: (Igual à Fábrica 2) 4% Vamos introduzir os seguintes eventos: A = { a peça é defeituosa } B1 = { a peça é proveniente da Fábrica 1} B2 = { a peça é proveniente da Fábrica 2} B3 = { a peça é proveniente da Fábrica 3} Pergunta: Suponha a peça ser retirada do depósito e se verifique ser ela defeituosa. Qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1?

41 1 Abaixo uma planta de um galpão industrial. Um sistema de alarme contra incêndio utiliza n células sensíveis ao calor que agem independentemente uma da outra. Cada célula entra em funcionamento com probabilidade p quando a temperatura atinge  ºC. Se pelo menos uma célula entrar em funcionamento o alarme soa. Encontre a relação entre a probabilidade de ativação das células e da quantidade instalada. Faça um gráfico para p = 99%, 95%, 87%, 80 %, 75%, 70%, 60%, 50%, 40%, 30%, 25%, 20%, 10% e 5%. Como engenheiro, forneça um gráfico industrial para o alarme contra incêndio.

42 Tabela do alarme

43 Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90 % dos dias em que faz bom tempo. Chovem em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover?

44 Desafio (Na real!) A indústria X recebe 2% de produtos defeituosos dos seus fornecedores. Um teste realizado pela própria empresa divulgou que 2% das peças são, na verdade, classificadas erroneamente como peça boa e 5% são classificadas erroneamente como defeituosas. As unidades reprovadas são repassadas para uma terceirizada que consegue recuperar 90% das peças defeituosas, que são devolvidas à indústria. Uma linha de produção adquire a peça sem defeito. Qual a probabilidade da unidade adquirida ter sido uma peça defeituosa que foi recuperada pela terceirizada? X Terceirizada 90% 2% recondicionada

45 Lim Sup e Lim Inf http://www.math.washington.edu/~morrow/334_12/limsup.pdf

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47 Variável Aleatória detalhe

48 Variável Aleatória

49 Tipos de Variáveis Aleatórias Discreta: ou admitem número finito de calores ou tem uma quantidade enumerável de valores. Contínua: pode tomar um número infinito de valores e, esses valores podem ser associados a mensurações em escala contínua, de tal forma que não haja lacunas ou interupções. Mista: é aquela em que toma valores parciais discretas e parciais mistas conjuntamente Singular: apresenta propriedades fractais

50 Variável Aleatória Discreta

51 Função de Probabilidade p(x i ) = P(X=x i ) = P({   : X  )=x i }) DEF. A função de probabilidade P(X=x) p.f. de uma variável aleatória DISCRETA é uma função que atribui probabilidade a cada um dos possíveis valores assumidos pela variável aleatória X. Propriedades: A p.f. de X em ( , A, P) satisfaz: a)0≤ p(xi)≤ 1 b)Σp(xi)=1

52 Função MASSA de Probabilidade p(x i ) = P(X=x i ) = P({   : X  )=x i })

53 Função de Distribuição Acumulada de Probabilidade f(x)F(x)

54 Função Distribuição Acumulada de Probabilidade

55 Exercício1

56 Exercício2

57 Variável Aleatória Contínua A p.f.d.. de X em ( , A, P) satisfaz: a)- ∞ ≤ xi≤ + ∞ b)0≤ F X (xi)≤ 1 c)∫ F X (xi) dx = 1

58 Variável Aleatória Contínua

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60 Cálculo de Probabildiade da Variável Aleatória Contínua

61 Propriedades da Função Acumulada de F X (x)

62 Exemplo1:

63 Exemplo2: f(x)= x se 0 ≤ x ≤ 1 (2 – x) se 1 ≤ x ≤ 2 Calcule P[0 ≤ x ≤ 0,8] e P[0,7 ≤ x ≤ 1,8]. Determine a função Acumulada de distribuição para P[0,7 ≤ x ≤ 1,8].

64 Variável Aleatória Mista DEF. A função de probabilidade p.f. de uma variável aleatória MISTA é uma função que atribui probabilidade a cada um dos possíveis valores assumidos pela variável aleatória X tanto parte discreta como contínua. Propriedades: A p.f. de X em ( , A, P) satisfaz: a)Σ p(xi) + ∫ F X (xi) dx = P( Ώ ) = 1 ( Fd + Fac = F)

65 Exemplo de uma distribuição Mista f(x) = C 1 e -x/10 se x > 2 0,500 se 0 ≤ x < 2 0 se x < 0

66 Função de Distribuição de Probabilidade Singular Fs DEF. A função de probabilidade p.f. de uma variável aleatória NÃO É DISCRETA, CONTÍNUA OU MISTA, é uma função que atribui probabilidade a cada um dos possíveis valores assumidos pela variável aleatória X.

67 Tipos de Variáveis Aleatórias Seja: C: o conjunto numerável dos pontos de descontinuidade de F X (x) P(X C) a probabilidade da variável aleatória pertencer ao conjunto C C ≠  P(X C) = 1 C =  P(X C) = 0 C ≠  P(X C) < 1 Discreta (Fd) Contínua (Fac) Singular (Fs) Mista

68 Variáveis Aleatórias F = Fd + Fac + Fs C ≠  P(X C) = 1 C =  P(X C) = 0 C ≠  P(X C) < 1 Discreta (Fd) Contínua (Fac) Singular (Fs) Mista

69 Valor Esperado Responda a pergunta: 1. Se o professor realizar 3 provas valendo 100 e, supondo que você retire 80, 90 e 75, qual a nota esperada por você? 2. Se as provas forem realizadas por pesos, isto é, a primeira vale 0,60 a segunda vale 0,30 e a última vale 0,10, qual a nota esperada agora? 3. Suponha que o professor divida as proporções que não fecham 100%. A primeira vale 0.60, a segunda vale 0,30 e a terceira vale 0,40? Qual a nota esperada?

70 Valor Esperado O valor esperado de uma va. Discreta é dado por: O valor esperado de uma va. Contínua é dado por: É a própria média !

71 http://www.math.washington.edu/~morrow/334_12/limsup.pdf

72 Valor Esperado: Propriedades Caso de duas variáveis aleatórias X e Y serem: Dependentes: Independentes (não implica!) :

73 EXY=EX EY Mostre que não implica em independência! Y \ X01 1/50 00 0 1 0

74 Exercício 1.Considere dois lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. com o espaço de probabilidade sendo o usual, defina X como sendo o número de caras nos dois lançamentos. A variável X é discreta. Calcule o valor esperado. X012 p(xi)1/41/21/4

75 Exercício 1.Dada a função abaixo Z, calcule: a)P[0<x< ∞ ] b)O valor esperado entre 0 e ∞.

76 Valor Esperado: Na Potência Momento Momento Central

77 Valor Esperado: Na Potência Curtose: Pico ou achatamento da função: Assimetria (skewness): medida de assimetria: Variância: Medida de dispersão com propriedades matemáticas rígidas: Covariância = Variância Compartilhada

78 Exercício 1.Dada a função abaixo Z, calcule: a)A equação do n-ésimo momento entre - ∞ e ∞.

79 Valor Esperado: Na Potência Resolva:

80 Vetor Aleatório

81 Função de Probabilidade e Função Acumulada de uma Variável Aleatória

82 Tipos de Distribuições Aleatórias DiscretasContínuas Função de Probabilidade P(X ≤ x) A função p.f. é a própria probabilidade Momento Densidade de Probabilidade f(x) A integral de d.p.f é a probabilidade Funções mais usuais: Densidades mais usuais: Uniforme Birnouli Binomial Hipergeométrica Geométrica Poisson Pascal Binomial Negativa Multinomial Uniforme Contínua Gama  Beta Gauss (normal) t-Student  F – Senedecor Exponencial nnn n n

83 Responda as Perguntas Qual a probabilidade de jogar 3 moedas distintas e dar 1 cara? Qual a probabilidade de jogar a mesma moeda 3 vezes e dar 1 cara?

84 Responda as Perguntas Qual a probabilidade de jogar 8 moedas e dar 3 caras? Qual a probabilidade de acertar na Mega-sena? Um lago contém 5 espécies de peixes. Qual a probabilidade de pescar 2 peixes da espécie Xiphophorus helleri ? Uma rede de call center recebe 12 ligações por minuto. Qual a probabilidade de receber 15 lig. neste tempo? Qual a probabilidade de escolher estudantes da rede estadual de ensino entre 10 e 13 anos na 8ª série? Uma lâmpada queima após 150 horas. Qual a probabilidade de queimar em 200 horas?

85 Distribuições Discretas. Esperanças: Uniforme Discreta 0 1 1/6 P.F.

86 Distribuições Discretas. Birnouli (p) Função de Probabilidade: Esperanças: Birnouli (p) = Binomial (n=1,p) y Py 1 0

87 Distribuições Discretas. Binomial Função de Probabilidade Esperanças:

88 Distribuições Discretas. Binomial

89 Distribuições Discretas. Binomial

90 Distribuições Discretas. Birnouli (p) Função de Probabilidade:

91 Distribuições Discretas. Hipergeométrica (p) Função de Probabilidade: Esperanças: População Amostra SUBGRUPO Variável Aleatória

92 Distribuições Discretas. Hipergeométrica (p) Função de Probabilidade: N = 10 k=6 n =5 Quanto vale P(x=3)? Esperanças:

93 Distribuições Discretas. Poisson (p) Função de Probabilidade: Esperanças: x

94 Distribuições Discretas. PASCAL Função de Probabilidade: Esperanças:

95 Distribuições Discretas. Geométrica Função de Probabilidade: Esperanças:

96 Distribuições Discretas. Geométrica Função de Probabilidade: Esperanças: O banco de sangue necessita de sangue tipo O-. Probabilisticamente apenas 10% da população apresentam este tipo de sangue. Qual a probabilidade desta pessoa ser encontrada ser a quinta?

97 Distribuições Discretas. Multinomial

98 Resolva:

99

100 Responda as Perguntas Qual a probabilidade de jogar 8 moedas e dar 3 caras? Qual a probabilidade de acertar na Mega-sena? Um lago contém 5 espécies de peixes. Qual a probabilidade de pescar 2 peixes da espécie Xiphophorus helleri ? Uma rede de call center recebe 12 ligações por minuto. Qual a probabilidade de receber 15 lig. neste tempo? Determinar a probabilidade de uma família de 4 crianças haver: a) Exatamente um menino b) Pelo menos um menina

101 Distribuições Contínuas

102 Distribuições Básicas Função ErroFunção Gamma Fonte: Wikipédia

103 Distribuições Contínuas. Função Uniforme Função de Probabilidade: Esperanças: Momento Gerador

104 Distribuições Contínuas. Gamma Distribution Função de Probabilidade: Esperanças:

105 Distribuições Contínuas. Gamma Distribution Função de Probabilidade: Casos particulares:

106 Distribuição Gamma

107 Distribuições Contínuas. Weibull Distribution Função de Probabilidade: Esperanças: forma escala

108 Distribuições Contínuas. Distribuição Normal Função de Probabilidade: Esperanças:

109 Distribuições Contínuas. Distribuição Normal

110 Distribuições Contínuas. Distribuição Normal Padronizada Função de Probabilidade:

111 Distribuições Contínuas. Distribuição Normal Padronizada Função de Probabilidade: PIVOT

112 Distribuições Contínuas. Distribuição Normal Padronizada Função de Probabilidade: Temos Originalmente: Montamos o PIVOTTABELA Não preciso integrar TABELA Não preciso integrar Montamos o PIVOTTABELAMontamos o PIVOT

113 É a área azul! z0z0 Prob Vimos na aula passada da que a tabela é simétrica

114 É a área azul! z0z0 Prob 0 0 Livro do Magalhães TABLELA ESCOLHIDA

115 z0z0 Prob 0 0 Livro do Magalhães

116 Exercício: Suponha uma população de pessosas da empresa? Qual a probabilidade de encontrar uma pessoa com “peso’ acima de 85 kg?

117 Exercício: Suponha uma população de pessosas da empresa? Qual a probabilidade de encontrar uma pessoa com “peso’ acima de 85 kg? 85

118 Distribuição t-student Gaussiana

119 Dsitribuição t - Student

120 Distribuição t-Student Suponha duas variáveis aleatórias: Z e U: O pivot t é formado por:

121 Distribuição t-Student Função densidade de Probabildiade

122

123 Exercício: O Censo do IBGE informa que a cidade de São Mateus do Sul Produz 3.126 kg/hectare com var(x) =26 2. Suponha que N(3.126, 254 2 ). Qual a probabilidade da produção atual estar entre 3.100 e 3.200 Kg/hectare Na data de hoje?

124 Distribuições Contínuas. Distribuição Qui-quadrado é o grau de Liberdade. Você sabe o que significa o grau de liberdade?

125 Distribuições Contínuas. Distribuição Qui-quadrado Função de Probabilidade: Esperanças: (Gamma)  22 =Z 1 2 + Z 2 2 + Z 3 2 +... + Z k 2

126 TabelaQui-Quadrado    é a área chamada de p-valor

127 TabelaQui-Quadrado  

128 TabelaQui-Quadrado  

129 Qui-Quadrado  

130

131 F- Sendedecor

132 F - Senedecor

133 F-Sedendecor Distribution Suponha duas variáveis aleatórias: Z e U: O pivot t é formado por:

134 F-Sedendecor Distribution Densidade de Probabilidade

135

136 Tabela F para  =0.01

137 Tabela F para  =0.05

138

139 Vetores Bi-dimensionais

140 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

141 Encontrar o parâmetro desconhecido da população pela amostra X1, X2, X3,..... Xn N n f(x) 

142 Densidades Marginais

143

144 ESTATÍSTICA

145 FAMÍLIA EXPONENCIAL

146 Família Exponencial

147

148 TÉCNICAS DE ESTIMAÇÃO

149 Métodos dos Momentos Amostrais

150 Método da Função de Verossimilhança

151 Método dos Mínimos Quadrados x f(x) Reais Medidos

152 Método dos Mínimos Quadrados x f(x) Reais Medidos  x   y 

153 Método dos Mínimos Quadrados x f(x)   Reais Medidos

154 PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES

155 EQM – Erro Quadrático Médio EstimadorParâmetro

156 EQM – Erro Quadrático Médio

157

158  ENV – ESTIMADOR NÃO VIESADO

159 Exemplo:

160 PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES

161 Suficiência  Quando o estimador não depende do parâmetro desconhecido.

162 Eficiência  Será eficiente, desde que ENV, EXISTE UM LIMITE INFERIOR NA SUA VARIÂNCIA.

163 Consistência  Quando a amostra n -> N aumenta o estimador tende ao parâmetro desconhecido  e sua variância vai a zero..

164 TESTE DE HIPÓTESES

165 Teoria da Decisão Estatística Decisão H0: Hipótese Verdadeira Falsa Não Rejeitar H0 Decisão Correta Rejeitar H0Decisão Correta OBJETIVO !

166 Teoria da Decisão Estatística Decisão H0 VerdadeiraFalsa Não Rejeitar H0Decisão Correta  Erro II  Rejeitar H0Erro I  Decisão Correta  P( Erro I ) =  = P(Rejeitar H0 | Hipótese H0 é VERDADE)  = P(Rejeitar H0 | Hipótese H0 é FALSA)

167 Regras

168

169 Regras ACEITO A HIPÒTESE

170 Regras REJEITO A HIPÒTESE

171 Uma amostra

172 Duas amostras

173 Duas Amostras

174

175 Exercício1. Os dados populacionais referente ao tempo de uso dos celulares pela população adolescente é em média  = 98,20 minutos e  = 0,62 minutos. Dados do censo da cidade de Nova França, cuja população estimada é de n = 106 pessoas. Teste a hipótese de que o uso médio de celulares por adolescentes está acima de 98,6 minutos.

176 Exercise 2. O desvio padrão da vida útil de um tubo de televisão de determinada marca é de  = 500 horas, sendo que a vida útil dos tubos é normalmente distribuída. O fabricante afirma que a vida média do tubo é, no mínimo, de 9000 horas. Testar esta Afirmação ao nível de significância de 5%, denominado-a como H0, e dados que a vida útil média em uma amostra de 15 tubos foi de X = 8.000 horas. Exercício2. O desvio padrão da vida útil de um tubo de televisão de determinada marca é de  = 500 horas, sendo que a vida útil dos tubos é normalmente distribuída. O fabricante afirma que a vida média do tubo é, no mínimo, de 9.000 horas. Teste essa afirmação ao nível de significância de 5% sendo que os dados da vida útil média de uma amostra de 15 tubos foi de X = 8.000 horas

177 Exercício3. Câncer de faringe e boca são doenças quem mais evoluíram significativamente na última década devido ao consumo de cigarro. Em um a amostra de 16 pessoas analisadas, a média de pessoas com pequenos nódulos na boca foram X = 6 e s = 0,1 pessoas. Teste a hipótese em que a quantidade média de pessoas com estes nódulos presentes está: a) Acima ou igual a 5 pessoas. b) Abaixo de 8 pessoas.

178 Exercício4. A empresa COPACO levantou uma amostra de 25 funcionários sobre o consumo de álcool antes do expediente. Observou que a proporção de funcionários que bebiam cerveja durante o experimento era de 4%. Teste a hipótese de que a proporção é maior ou igual a 6% de funcionários que bebem durante o serviço.

179 Exercício5. Durante uma entrevista sobre aceitação do gosto de um produto alimentício, observou que 52 entrevistados em uma amostra de 364 pessoas, rejeitaram a nova fórmula proposta pela empresa. Testes a hipótese de que a rejeição é menor ou igual a 10% da população local.

180 Exercício6. Suponha o seguinte teste: “Peso” antes do treinamento em kg: {99,62,74,59,70,73} “Peso” depois do treinamento em kg: {94,62,66,58,70,76} Houve diferença entre os pesos antes e depois do treinamento?

181 Exercício7. A variância populacional de X é maior do que a de Y ? S2S2 n X4011 Y16

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183 Exercício8. Teste a Hipótese de que as latas do grupo A tem carga axial, em média, inferior que as cargas axial das latas B. Teste com  =1%.

184 Quimica

185 Exercício9. Dois barris de vinho foram analisados quanto ao seu teor de álcool para se determinar se eles eram provenientes de fontes distintas. Com base em seis análises, o teor médio do primeiro barril foi estabelecido como 12,61% de etanol. Quatro análises feitas do segundo barril forneceram uma média de 12,53 % de álcool. As dez análises geraram um desvio padrão combinado s = 0,070 %

186 Exercício10. Um sistema é regulado para trabalhar com desvio padrão de até 10 unidades e média de 500 unidades distribuído normalmente. Colhida uma amostra de n = 16, observou-se uma variância de 169 unidades2. É possível afirmar com este resultado que a máquina está desregulada quanto a variabilidade, supondo uma significância de 5%?

187 Bibliografia Agradeço à oportunidade Jose Carlos

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