MTM135 – Geometria Euclidiana Prof. Thiago Santos

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1 MTM135 – Geometria Euclidiana Prof. Thiago Santos
Axiomas de Euclides MTM135 – Geometria Euclidiana Prof. Thiago Santos

2 Definição ( Ângulo ) Um par de semiretas com mesma origem é um ângulo.
B C A

3 Definição ( Ângulo ...) As semiretas que formam o ângulo será chamado de lado e o ponto em comum é o vértice. Se as semiretas forem denotadas por 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 , denotaremos o ângulo correspondente por ∡𝐵𝐴𝐶. Se as semiretas forem coincidentes, dizemos que ∡𝐵𝐴𝐶 é ângulo nulo. Se as semiretas forem opostas, dizemos que ∡𝐵𝐴𝐶 é ângulo raso.

4 Definição ( Região Angular)
𝑅 ∡𝐴 = ℘ 𝑙,𝐶 ∩ ℘ 𝑟,𝐵 onde, ∡𝐴= ∡𝐵𝐴𝐶 𝑙= 𝐴𝐵, 𝑟= 𝐴𝐶 ℘ 𝑙,𝐶 é o semiplano relativo a 𝑙 que contém C. ℘ 𝑟,𝐵 é o semiplano relativo a 𝑟 que contém B.

5 Definição ( Região Angular...)
C Ponto Interior E B A Ponto Exterior

6 Definição ( medida de ângulo)
Axioma III.1 Para cada ângulo ∡𝐵𝐴𝐶 do plano existe um número real associado, denotado por 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶), satisfazendo as propriedades: 0≤𝑚(∡𝐵𝐴𝐶)≤180. 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 =0 se, e somente se, ∡𝐵𝐴𝐶 for ângulo nulo. 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 =180 se, e somente se, ∡𝐵𝐴𝐶 for ângulo raso. 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 =𝑚 ∡𝐶𝐴𝐵 . Definição ( medida de ângulo) O número 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 é a medida do ângulo ∡𝐵𝐴𝐶.

7 Axioma III.2

8 Definição ( ângulos suplementares)
Axioma III.2 Se ∡𝐵𝐴𝐶 é um ângulo não-trivial e D é um ponto interior então 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 =𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 +𝑚 ∡𝐷𝐴𝐶 . Se ∡𝐵𝐴𝐶 é um ângulo raso e D é um ponto em um dos lados da reta 𝐵𝐶 então 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 +𝑚 ∡𝐷𝐴𝐶 =180. Definição ( ângulos suplementares) ∡𝛼 e ∡𝛽 são suplementares se 𝑚 ∡𝛼 +𝑚 ∡𝛽 =180.

9 Axioma III.3 Para toda semireta 𝐴𝐵 , todo número real 𝑎, 0<𝑎<180, e cada semiplano ℘ determinado por 𝐴𝐵 , existe uma única semireta 𝐴𝐷 ⊂℘ tal que 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 =𝑎 D ∡𝛼 B A ∡𝛽 C

10 Exercício. Considere os seguintes ângulos com as medidas dadas: 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 =110 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 =120 Calcule a medida de ∡𝐶𝐴𝐷 quando: D está do mesmo lado de C; D e C estão em lados opostos, sempre em relação a 𝐴𝐵.

11 Congruências de segmentos

12 Dois segmentos são congruentes se possuem a mesma medida
Definição Dois segmentos são congruentes se possuem a mesma medida 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 se, e somente se, 𝐴𝐵=𝐶𝐷. Notação: “≡” Obs: “igual” é diferente de “congruente”

13 Exercício. Prove que congruência de segmentos é uma relação de equivalência.

14 Definição (ponto médio)
Dado um segmento 𝐴𝐵 , dizemos que um ponto M∈ 𝐴𝐵 é um ponto médio de 𝐴𝐵 se 𝐴𝑀 ≡ 𝑀𝐵 .

15 Congruências de ângulos

16 Definição Dois ângulos são congruentes se possuem a mesma medida. ∡𝐵𝐴𝐶≡∡𝐸𝐷𝐹 se, e somente se, 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 =𝑚(∡𝐸𝐷𝐹)

17 Definição ( bissetriz )
Dado um ângulo ∡𝐵𝐴𝐶, dizemos que uma semireta 𝐴𝐷 é uma bissetriz de ∡𝐵𝐴𝐶 se: O ponto D pertence ao interior de ∡𝐵𝐴𝐶. ∡𝐵𝐴𝐷=∡𝐷𝐴𝐶.

18 D ∡𝛼 B A ∡𝛼 C

19 Fatos conhecidos que iremos assumir:
O ângulo com medida 90 é chamado de ângulo reto; O ângulo com medida menor que 90 é chamado de ângulo agudo; O ângulo com medida maior que 90 é chamado de ângulo obtuso; Ângulo opostos pelo vértice.

20 Triângulo

21 Definição Um triangulo é uma figura formada pela união de três segmentos 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 , 𝐴𝐶 , onde A, B e C são pontos não colineares. Notação: Δ𝐴𝐵𝐶 Os pontos A, B e C serão chamados vértices. Os segmentos 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 , 𝐴𝐶 serão os lados ou arestas.

22 Continua na próxima aula...