1 Geometria Analítica Prof. Paulo Salgado

Apresentação em tema: "1 Geometria Analítica Prof. Paulo Salgado"— Transcrição da apresentação:

1 1 Geometria Analítica Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br

2 Sumário O plano – Ângulo entre Retas – Distância de um Ponto a uma Reta 2

3 3 Ângulos entre Retas Exemplo: Determine o menor dos ângulos entre as retas r e s, cujas equações são  y = 2x – 2  y = -x + 4 r s Observe que o problema é igual a achar o ângulo entre vetores!!

4 4 Ângulos entre Retas Que vetores então?  r: y = 2x – 2  s: y = -x + 4 r: y = 2x - 2 s: y = -x + 4 v 1 = (1, 2) v 2 = (1, -1)

5 5 Ângulos entre Retas Assim, temos v1 = (1, 2) e v2 = (1, -1) cos θ = (u.v) / (||u|| ||v||) cos θ = (1, 2).(1, -1) / (√5√2) cos θ = (1.1 + 2.(-1)) / √10 cos θ = -1/ √10 = -√10/10 Logo: θ = arccos (-√10/10)

6 Ângulos entre Retas Exemplo 1 (2.55): Determine a interseção da reta y = 2x-1 com a reta definida pelos pontos (2, 1) e (0, 0) Solução y = 2x-1 e pontos (2, 1) e (0, 0) De (2, 1) e (0, 0) temos o vetor v = (2, 1) e as eq. paramétricas: x = 0 + 2t e y = 0 + t, então x = 2y, desse modo y = 2x-1 é... y = 2.(2y) – 1 => y = 4y – 1 => y = 1/3 Então, 1/3 = 2x – 1 => 2x = 4/3 => x = 2/3 (x = 2/3, y = 1/3) 6

7 7 Ângulos entre Retas Exemplo 2 (2.57): Determine o menor ângulo entre as retas a) 2x + 3y = 1 e y = -5x + 8 b) x + y + 1 = 0 e x = 1 – 2t, y = 2 + 5t

8 8 Ângulos entre Retas Exemplo (2.57): a) 2x + 3y = 1 e y = -5x + 8 r: 2x + 3y = 1 r: s: y = -5x + 8 s: y = -(2/3)x +1/3 y = -5x + 8 v 1 = (1, -2/3) v 2 = (1, -5)

9 9 Ângulos entre Retas Exemplo (2.57): a) 2x + 3y = 1 e y = -5x + 8 cos θ = v 1.v 2 cos θ = (1, -2/3).(1, -5) =  2/2  θ = π/4 ||v 1 ||.||v 2 ||  13/3.  26

10 10 Ângulos entre Retas Exemplo (2.57): b) x + y + 1 = 0 e x = 1 – 2t, y = 2 + 5t r: x + y + 1 = 0  y = -x – 1 r: s: y = -x – 1 x = 1 - 2t y = 2 + 5t v 1 = (1, -1) v 2 = (-2, 5)

11 11 Ângulos entre Retas Exemplo (2.57): b) x + y + 1 = 0 e x = 1 – 2t, y = 2 + 5t cos θ = v 1.v 2 cos θ = (1, -1).(-2, 5) = -7/  58  θ = cos -1 (-7/  58) ||v 1 ||.||v 2 ||  2.  29

12 12 Distância de um Ponto a uma Reta A distância de um ponto P(x 0, y 0 ) à reta r, de equação y = mx + k, é definida como a distância de P a A, onde A(x 1, y 1 ) é o pé da perpendicular baixada de P a r. A distância de P a r é:  d(P, r) = ||PA|| A P m 1

13 13 Distância de um Ponto a uma Reta Como o vetor (1, m) tem a mesma direção de r, então os vetores PA =(x 1 -x 0, y 1 -y 0 ) e (-m, 1) têm a mesma direção Logo, existe um número real t tal que  PA = t(-m, 1) Assim, d(P, r) = ||PA|| = ||t(-m, 1)|| = = |t|√m 2 + 1 Assim, d(P, r) estará definido se conhecermos t

14 14 Distância de um Ponto a uma Reta Cálculo de t  PA = (x 1 – x 0, y 1 – y 0 ) = t(-m, 1)  Logo: x 1 = x 0 – tm y 1 = y 0 + t  Como (x 1, y 1 ) pertence à reta r, então deve valer: y 0 + t = m(x 0 – tm) + k  t = (-y 0 + mx 0 + k) / (1 + m 2 )

15 15 Distância de um Ponto a uma Reta Como d(P, r) = |t|√1 + m 2, temos:  d(P, r) = |(-y 0 + mx 0 + k) / (1 + m 2 )|.√1+m 2 Ou seja:  d(P, r) = |(-y 0 + mx 0 + k)| / √1+m 2

16 Distância de um Ponto a uma Reta Exemplo (2.61): Determine a distância entre as retas 2x-y=6 e 2x-y=-1 Solução Retas => 2x – y = 6 e 2x – y = -1 Deve-se calcular a distância de um ponto qualquer de uma das retas à outra reta Tomando como base um ponto da reta 2x – y = 6, onde x = 0, então: 2.0 – y = 6 => y = -6, então o ponto é P(0, -6) Com base na reta y = 2x + 1 d(P,r) = |-y 0 + mx 0 + k| = |6 + 2.0 + 1| = |7| = 7 = 7√5 √1 + m 2 √1 + 2 2 √5 √5 5 16

17 17 Exercícios Sugeridos  2.6, 2.14, 2.29, 2.33, 2.39, 2.40, 2.41, 2.46, 2.50, 2.51

18 18 A Seguir.... O Espaço...