Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 3.a Aula: Linearização de Sistemas e Transformada de Laplace.

Apresentação em tema: "Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 3.a Aula: Linearização de Sistemas e Transformada de Laplace."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 3.a Aula: Linearização de Sistemas e Transformada de Laplace

2 Linearização  Na engenharia de controle, uma operação normal de um sistema pode ser em torno do ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio.  Entretanto, se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não linear por um sistema linear.  Este sistema linear é equivalente ao sistema não linear considerado dentro de um conjunto limitado de operações.

3 Linearização  Neste tópico, vamos recorrer freqüentemente a técnicas de linearização de um sistema não-linear em torno de um ponto de operação. Isto permite que o sistema linear resultante seja analisado com base nas poderosas ferramentas de análise válidas para o caso linear.  Como a linearização é uma aproximação em torno de um ponto de operação, ela só pode levar à predição do comportamento do sistema em uma vizinhança deste ponto.  Nenhum outro comportamento não-local, muito menos o comportamento global do sistema em todo o espaço de operação, podem ser preditos pelo modelo linearizado..

4 Linearização  O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retenção somente do termo linear.  A linearização de um sistema não linear supõe que o sistema operará próximo de um ponto de operação (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.

5 Linearização  Em matemática, uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:matemáticasérie de funções  Dito de outra forma, uma série de Taylor é uma expansão de uma função analítica f(x) na vizinhança de um ponto x=a.  A constante a é o centro da série, que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a=0, a série também é chamada de série de Maclaurin.

6 Linearização  Considere que o sistema abaixo opere próximo ao ponto de operação (P.O.):  Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos: Sendo: P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema.

7 Linearização  A suposição de que o sistema não linear irá operar em torno do P.O., implica que x ficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3,... será menor ainda, portanto: Substituindo (2) em (1) tem-se:

8 Linearização Interpretação geométrica:

9 Linearização Exemplo 1: Linearize a função que corresponde ao momento (torque) que a massa m faz com relação ao ponto “P” do pêndulo simples abaixo. Linearizar em torno do ponto de operação.

10 Linearização Neste caso, o ponto de operação é. Expandindo na série de Taylor, temos :

11 Linearização Logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se: Que é um modelo linear.

12 Linearização A figura a seguir mostra que para o sistema linearizado é uma boa aproximação do sistema não linear. Este gráfico foi feito com a utilização do MATLAB.

13 Linearização

14 Exemplo 2: Linearize a função em torno do P.O. : io =1A. Faca o gráfico (interpretacao geomérica).. Solucao: (1)

15 Solucao: e Logo: Entao:

16 Interpretacao grafica

17 Transformada de Laplace  A Transformada de Laplace é uma importante ferramenta para a resolução de equações diferenciais. Também é muito útil na representação e análise de sistemas.  É uma transformação que faz um mapeamento do domínio do tempo para o domínio S com s = σ+jw (complexo).  A transformada de Laplace existe em duas variantes: unilateral e bilateral. A transformada unilateral é útil na análise de sistemas com condições iniciais. A transformada bilateral tem uso para estudar certas características dos sistemas.  A principal aplicação da transformada de Laplace no âmbito da engenharia é a análise de resposta temporal e da estabilidade de sistemas.

18 Transformada de Laplace Definição

19 Transformada de Laplace Definição

20 Transformada de Laplace Definição

21 Transformada de Laplace Definição  Condições de existência:  Para que a transformada de Laplace exista é necessário que a integral convirja. Isto é garantido se:

22 Transformada de Laplace Definição  Região de Convergência (ROC): Valores de σ para os quais a transformada de Laplace converge. Sendo esta condição expressa em termos da parte real de s=σ+jw, ela estabelece como região de convergência um semi plano à direita de uma reta vertical

23 Transformada de Laplace  Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente interconectados, o uso da Transformada de Laplace permite a manipulação de equações algébricas ao invés de equações diferenciais.  Então os sistemas dinâmicos são modelados por equações diferenciais, primeiramente aplica-se a Transformada de Laplace, depois projeta-se o controlador no domínio ’s’ e finalmente implanta- se o controlador e analisa-se o resultado obtido no domínio do tempo.

24 Transformada de Laplace

25  Vantagens:  As vantagens da transformada de Laplace sobre a trasformada de Fourier:  Fornece mais informação sobre sinais e sistemas que também podem ser analisados pela transformada de Fourier;  Pode ser aplicada em contextos em que a transformada de Fourier não pode, por exemplo, na análise de sistemas instáveis.  Desvantagens:  A análise por Laplace de sistemas é extremamente útil, no entanto seu uso é mais complicado que a análise de Fourier quando se tratando de sinais.

26 Transformada de Laplace  O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta que proporciona a solução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, de maneira sistemática e relativamente simples.  Uma classe importante do controle se restringe à resolução desses tipos de equações. Portanto, destaca-se a importância da Transformada de Laplace no controle de processos.  A transformação de uma equação diferencial resulta em uma equação algébrica, onde a variável s substitui a variável independente (como o tempo, t).

27 Transformada de Laplace

28 Transformada Inversa de Laplace

29 Transformada de Laplace Exemplo: Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau. Iremos calcular sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechamento da chave “S” no circuito abaixo: OBS.: É suposto que os capacitores estão descarregados e os indutores tem corrente nula no instante inicial t = 0 s.

30 Transformada de Laplace

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34  Esta tabela reúne as principais transformadas utilizadas neste curso. Note que genericamente F(s) é a razão entre dois polinômios:

35 Propriedades das Transformadas de Laplace 2. A Transformada de Laplace tem a propriedade singular de transformar a operação de diferenciação em relação a t em uma multiplicação por s (Diferenciacao no domínio do tempo): (1) (2) (3)

36 Polos e Zeros Obs.: foi visto na tabela das transformadas de Laplace que genericamente F(s) é composto pela divisão de dois polinômios em ‘s’, ou seja: Exemplo:  As raízes do numerador são chamadas de ”zeros” e as raízes do denominador são chamadas de polos. Neste exemplo temos:

37 Teorema do Valor Inicial e Valor Final

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39 Teorema do Valor Final ( ) – T.V.F. Obs.: mais adiante neste curso, veremos que um sistema que tem todos os polos com parte real negativa, é dito estável. Exemplo 1:

40 Teorema do Valor Final ( ) – T.V.F. Solucao:

41 Teorema do Valor Final ( ) – T.V.F.  Obs.: o T.V.F. permite obter o valor de regime de um sistema tendo- se apenas a sua transformada de Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento da função temporal (f(t)). Ou seja, o T.V.F. é útil para determinar o valor de regime de f(t), conhecendo-se apenas F(s). Exemplo 2: f(t) = sen(t)

42 Teorema do Valor Final ( ) – T.V.F.

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44 Teorema do Valor Inicial e Valor Final Exemplo 3 Solucao:

45 Exemplo 1: Determinar a transformada de Laplace da função impulso. Uma ideia de entrada impulsiva é o choque do taco de “baseball” com a bola, o choque tem uma grande intensidade e curtíssima duração. Graficamente: Cálculo Transformada de Laplace

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47 Solucao: Cálculo Transformada de Laplace

48 Exemplo 2: Obtenha a transformada de Laplace de para. Solucao:

49 Usando o MATLAB para calcular a Transformada de Laplace  Utiliza-se o comando laplace, para achar a Transformada de Laplace de uma funcao no domínio do tempo.

50 Exercícios Transformada de Laplace com MATLAB Obtenha a transformada de Laplace de para. Exemplo 3:

51 Lista de Exercícios