Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Apresentação em tema: "Introdução aos Sistemas Dinâmicos"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Sistemas Dinâmicos
Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos 4 – Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso

2 Modelagem de Sistemas Objetivos Sistemas estudados
Construir modelos matemáticos para descrever sistemas simples. Sistemas estudados Sistemas mecânicos Sistemas elétricos Sistemas fluídicos Sistemas térmicos

3 Sistemas de Controle Para controlar é preciso conhecer!!
Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal conhecidos. “Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido” Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos e interligados. Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à automacão industrial.

4 Sistemas de Controle Base para Análise de um Sistema:
Fundamentos da teoria de sistemas lineares. Relação de causa e efeito. Relacão de entradas e saídas representa esta relacão. Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída.

5 Sistemas de Controle Modelo Matemático:
É a descricão matemática das características dinâmicas de um sistema; Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas que determinam o valor de sinais saída a partir de um valor de sinal de entrada; Blocos são utilizados para representar sistemas; Em engenharia, tais blocos representam equações diferenciais (ou recursivas) lineares;

6 Sistemas de Controle Sistemas Lineares:
São aqueles nos quais as equações do modelo são lineares; Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são constantes ou apenas funções da variável independente; Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma das duas respostas individuais; Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear.

7 Sistemas de Controle Se um sistema tem a resposta Y1 para uma entrada X1 e uma resposta Y2 para uma entrada X2, então, se tiver uma entrada X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2 f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)

8 Sistemas de Controle Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais com coeficientes constantes; A invariância no tempo implica simplesmente que a definição das operações dos blocos não pode mudar ao longo do tempo; Suas expressões dependem somente das entradas, não depende do tempo; “Reage sempre da mesma maneira”

9 Sistemas de Controle Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):

10 Modelos Matemáticos Transformada de Laplace:
Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da maioria dos sistemas físicos podem ser representados através de equações diferenciais; A transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw (variável complexa).

11 Modelos Matemáticos L [f(t)]= Transformada de Laplace
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace F(s) = transformada de Laplace de f(t) Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por: L [f(t)]=

12 Transformada de Laplace
Ex: y(t) = cos(wt) – sen (wt)

13 Modelos Matemáticos Funcão de Transferência:
Na teoria de controle “Funcões de transferência” são extremamente usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo; E a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação);

14 Modelos Matemáticos Funcão de Transferência:
Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x sua entrada:

15 Modelos Matemáticos Funcão de Transferência:

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18 G(s) = Y(s) / X(s)  Y(s) = G(s).X(s)
Modelos Matemáticos Funcão de Transferência G(S): G(s) = Y(s) / X(s)  Y(s) = G(s).X(s) X(S) – Transformada de Laplace da entrada. Y(S) – Transformada de Laplace da saída.

19 Sistemas de Controle Sistemas Mecânicos
As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton: 1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial. 2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração. 3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção, mas com sentido oposto.

20 Sistemas Mecânicos Sistema massa-mola-amortecedor:

21 Sistemas Mecânicos Sistemas Mecânicos

22 Sistemas Mecânicos

23 Sistemas Mecânicos Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:

24 Sistemas Mecânicos

25 Sistemas Mecânicos Descreva a equacão diferencial do
Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa: Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N a massa de 1 kg acelera com 1m/s2. Aplicando a lei de Newton, temos:

26 Sistemas Mecânicos Sistema se suspensão de um automóvel:

27 Sistemas Mecânicos Encontre a função de transferência do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no mesmo. k b u(t) x(t) m

28 Sistemas Mecânicos Resolução: Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema: k b u(t) x(t) m Fm Fb Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho: F = u(t) – Fm – Fb

29 Sistemas Mecânicos ... Continuação
Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da massa pela aceleração, ou seja F = m.a. Assim, a equação fica: m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t) Colocando tudo em função da posição x(t):

30 Sistemas Mecânicos ... Continuação
Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida, obtemos: : Finalizando, considerando que as condições iniciais do problema são iguais a zero, a função de transferência do sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do sistema) será dada por:

31 Sistemas Mecânicos

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33 Sistemas Mecânicos

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35 Sistemas Mecânicos

36 Sistemas Elétricos Sistemas Elétricos
As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são: - Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero. - Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.

37 Sistemas Elétricos Componentes: Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais. Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas. Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em forma de campo eletromagnético. i(t) vR(t) vC(t) i(t) i(t) vL(t)

38 Sistemas Elétricos Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo. L R C ei eo i

39 Sistemas Elétricos Resolução: Pela lei de kirchoff das quedas de tensão: L R C ei eo i vL vR vC ei = vL + vR + vC eo = vC Devemos colocar os valores em termos da corrente i:

40 Sistemas Elétricos Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas, obtemos: A equação de transferência do sistema é a relação entre a saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as equações uma pela outra:

41 Sistemas Elétricos

42 Sistemas Mecânicos Exercícios:
1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário. Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3 k b u(t) x(t) m

43 Sistemas Elétricos 2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário. Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F L R C ei eo i

44 Sistema Mecânico e Sistema Elétrico

45 Sistemas Elétricos

46 Sistema Fluídico – Nível Líquido

47 Sistema Fluídico – Nível Líquido

48 Sistema Fluídico 1

49 Sistema Fluídico 2

50 Sistema Térmico

51 Sistema Fluídico – Sistema Térmico

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