Processamento de Sinais

Processamento de Sinais
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa Universidade de Brasília (UnB) Departamento de Engenharia Elétrica (ENE) Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Caixa Postal 4386 CEP , Brasília - DF Homepage:

Equações lineares de diferenças com coeficientes constantes (1)
As equações lineares de diferenças com coeficientes constantes são uma subclasse de sistemas LTI cuja a entrada e saída satisfazem uma equação de diferenças de ordem N com coeficientes constantes. Exemplo: Acumulador

Exemplo: Acumulador Atraso de uma amostra

Exemplo: Média móvel com M1 = 0 a partir de um acumulador A resposta ao impulso é dada por:

Exemplo: Média móvel com M1 = 0 a partir de um acumulador Atenuador Sistema acumulador Atraso de (M2 +1) amostras

Exemplo: Média móvel com M1 = 0 a partir de um acumulador

Representação no domínio da frequência (1)
Aplicação em sinais Transformada de Laplace Sinal contínuo no domínio do tempo Domínio espectral Domínio de Laplace Amostragem Sinal amostrado no domínio do tempo Transformada Z Domínio espectral Domínio Z A transformada de Laplace é para sinais contínuos. A transformada Z que é a transformada de Laplace para sinais discretos.

Transformada de Laplace onde a freqüência complexa s é definida como: admite-se que Transformada de Fourier onde Notar que a transformada de Fourier é um caso da transformada de Laplace quando

Por que usar a transformada de Laplace? No domínio de Laplace podem ser visto comportamentos que não são claros no domínio do tempo, por exemplo, pontos de instabilidade de um sistema de controle. Resolução de circuitos transientes de forma mais simples que resolvendo Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) no domínio do tempo. Significado da transformada através de projeções de funções para cada valor de s, onde , projeta-se f(t) sobre a exponencial complexa e-st.

Condição suficiente para a existência da transformada de Laplace para algum A transformada de Laplace não existe por exemplo para super exponenciais. por exemplo, Transformada inversa de Laplace onde

Dada a Equação Diferencial Ordinária (EDO) abaixo: existe uma função, h(t), t  0, tal que: é uma solução particular da equação para t  0. Demonstração

Demonstração Definindo:

Demonstração da convolução no tempo ser a o produto na frequência

Deslocamento temporal Dado que , então Usando a definição da transformada de Laplace:

Deslocamento temporal

Operador convolução discreta no caso de sinal banda estreita

Operador convolução discreta no caso de sinal banda estreita : resposta em frequência Para cada frequência, é função de

Transformada z (1) Transformada z
forma discreta da transformada de Laplace A transformada de Laplace é definida como h(t) é contínua. Em dipositivos de processamento digital, valores discretos são usados. As amostras podem ser representadas por: onde Ts é o período de amostragem. Substituindo h[n] na transformada de Laplace:

Transformada z (2) Transformada z Definindo: Consequentemente:

Transformada z (3) Plano s e plano z

Transformada z (4) Transformada z: Mapeamento entre frequência e fase

Transformada z (5) Transformada z: função de transferência
Sistema linear em tempo discreto: Cálculo da transformada z: Função de transferência:

Transformada z (6) Função de transferência: representação em pólos e zeros

Transformada z (7) Transformada z: Exemplo 1 – função senoidal
Aplicando a transformada z

Transformada z (8) Transformada z: Exemplo 1 – função senoidal: MATLAB
1. omega = 0.2; 2. a = [1 -cos(omega*pi) 0]; 3. b = [1 -2*cos(omega*pi) 1]; 4. rz = roots(a); 5. rp = roots(b); 6. zplane(rz,rp); rz = [ 0 ; ] rp = [ i; i]

Transformada z (9) Transformada z: Exemplo 1 – função senoidal

Transformada z (10) Transformada z: Exemplo 2 – Encontrar a transformada z e o diagrama de pólos e zeros

Transformada z (11) Transformada z: Exemplo 3 – Filtro de primeira ordem com um único zero

Transformada z (12) Transformada z: Exemplo 3 – Filtro de primeira ordem com um único zero Zero no meio: Passa-tudo Zero à direita: Passa-alta Zero à esquerda: Passa-baixa

Transformada z (17) Transformada z: Exemplo 3

Transformada z (18) Transformada z: Exemplo 4 – Filtro de primeira ordem com pólo simples

Transformada z (19) Transformada z: Exemplo 4 – Filtro de primeira ordem com pólo simples Pólo no meio: Passa-tudo Pólo à direita: Passa-baixa Pólo à esquerda: Passa-alta

Transformada z (25) Transformada z: Filtro de alimentação direta de segunda ordem

Transformada z (26) Transformada z: Filtro de alimentação direta de segunda ordem Raízes: reais ou complexas conjugadas

Transformada z (33) Relação entre resposta ao impulso e digrama pólos e zeros

Transformada Discreta de Fourier (1)
Transformada Discreta de Fourier (DFT) a partir da Transformada z Transformada z é contínua na frequência. Difícil aplicação em processamento digital de sinais. DFT é discreta na frequência. Substituindo , índice da frequência A DFT inversa é dada por: índice temporal A DFT é a transformada z somente no círculo unitário.

Transformada Discreta de Fourier (DFT) Concatenando as N equações na frequência

Matriz DFT Matriz inversa DFT

Exemplo de matriz DFT 4 x 4

Transformada Rápida de Fourier (FFT) Implementação de baixa complexidade da DFT Exemplo de cálculo da FFT 2 x 2

Convolução

Convolução: M = N, potência de 2

Convolução: M = 10, N de acordo com o eixo

Sistema Orthogonal Frequency Division Modulation (OFDM) A convolução no tempo é transformada em um produto ponto a ponto.

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