Wellington D. Previero Pontos Extremos.

Apresentação em tema: "Wellington D. Previero Pontos Extremos."— Transcrição da apresentação:

1 Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br www.pessoal.utfpr.edu.br/previero Pontos Extremos

2 Prof. Wellington D. Previero Definição: Uma função f se diz ter um máximo relativo em x 0 se houver um intervalo aberto contendo x 0 tal que f(x 0 ) ≥ f(x) para todo x no intervalo Máximo Relativo

3 Pontos Extremos Prof. Wellington D. Previero Definição: Uma função f se diz ter um mínimo relativo em x 0 se houver um intervalo aberto contendo x 0 tal que f(x 0 ) ≤ f(x) para todo x no intervalo Mínimo Relativo

4 Pontos Extremos Prof. Wellington D. Previero Teorema do Valor Extremo: Se f é contínua no intervalo fechado [a, b], então f tem tanto máximo quanto mínimo neste intervalo.

5 Ponto Crítico Prof. Wellington D. Previero Definição: Seja f uma função definida em x 0. Se f’(x 0 ) = 0 ou se f não é diferenciável em x 0, então x 0 é um ponto crítico

6 Ponto Crítico Prof. Wellington D. Previero Teorema: Se f tem um máximo ou mínimo relativo em x 0 então x 0 é um ponto crítico.

7 Teste da Primeira Derivada Prof. Wellington D. Previero Suponha Suponha que f seja contínua em um ponto crítico x 0.

8 Teste da Primeira Derivada Prof. Wellington D. Previero Se f’(x) muda de positivo para negativo em x 0, então f tem um máximo relativo em ( x 0, f(x 0 ) )

9 Teste da Primeira Derivada Prof. Wellington D. Previero Se f’(x) muda de negativo para positivo em x 0, então f tem um mínimo relativo em ( x 0, f(x 0 ) )

10 Teste da Primeira Derivada Prof. Wellington D. Previero Se f’(x) é positivo dos dois lados de x 0, ou negativo dos dois lados de x 0, então f(x 0 ) não é nem mínimo nem máximo relativo

11 Teste da Segunda Derivada Prof. Wellington D. Previero

12 Teste da Segunda Derivada Prof. Wellington D. Previero Seja f uma função tal que f’(x 0 ) = 0 e tal que a segunda derivada de f exista em um intervalo aberto contendo x 0. Se f ’’(x 0 ) > 0, então f tem um mínimo relativo em ( x 0, f(x 0 )). Se f ’’(x 0 ) < 0, então f tem um máximo relativo em ( x 0, f(x 0 )). Se f ’’(x 0 ) = 0, o teste falha. Neste caso, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.