Controle de Sistemas Dinâmicos

Name: Controle de Sistemas Dinâmicos
Uploaded: 2017-12-09T11:41:35+00:00
Duration: PTM16S48
Channel: Pedro Henrique Ferrão Soares
Description: Controle de Sistemas Dinâmicos

Controle de Sistemas Dinâmicos
Departamento de Eletrotécnica Controle de Sistemas Dinâmicos Sistemas de Controle - Implementação analógica MA10 - Projeto de compensadores pelo método da resposta em freqüência. Fonte: Prof. Roger Gules Maio – 2012

Sistemas de Controle: Implementação analógica
MA1 - Apresentação do curso e introdução na área de sistemas de controle. MA2 - Revisão sobre função de transferência, transformada de Laplace direta/inversa, plano S e conceitos básicos. MA3 - Caracterização da resposta transitória de sistemas de primeira e segunda ordem. MA4 - Representação por diagrama de blocos e simplificação de sistemas. MA5 - Análise da estabilidade de sistemas dinâmicos. MA6 - Análise do erro em regime permanente. MA7 - Análise de sistemas dinâmicos pelo método do Lugar das Raízes. MA8 - Projeto de controladores pelo método do Lugar das Raízes. MA9 - Análise pelo método da resposta em freqüência. MA10 - Projeto de compensadores pelo método da resposta em freqüência. MA11 – Controladores PID

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência
Serão estudados pelo método da resposta em frequência os mesmos controladores utilizados na análise pelo Lugar das Raízes. Atuam na resposta transitória: Proporcional-derivativo (PD); Avanço de fase. Atuam no regime permanente: Proporcional-integral (PI); Atraso de fase. Atuam no regime permanente e transitório: Proporcional-integral-derivativo (PID); Atraso-Avanço de fase. proporcional integrador diferenciador Filtro PB

Compensação Pela Variação do Ganho k Com a variação do ganho, há um deslocamento do módulo sem alterar a fase. O aumento de ganho que ocorre na região de baixa freqüência ocasiona uma redução no erro em regime permanente, porém com uma diminuição nas margens de ganho e de fase diminuindo a estabilidade do sistema. Portanto, a utilização deste tipo de controle é limitado a sistemas com especificações de desempenho pouco exigentes.

Compensador Atraso de Fase O compensador atraso-de-fase insere no sistema um pólo e um zero, posicionados de modo que a contribuição de ângulo seja negativa. Este compensador atua como um filtro passa baixa, podendo reduzir o erro em regime permanente. A redução do ganho em alta freqüência faz com que as margens de ganho e fase possam ser mantidas dentro das especificações. Porém deve haver o cuidado de manter este compensador na região de baixa freqüência para que a contribuição negativa de fase não diminua a MF. -

Compensador Atraso de Fase Uma metodologia adotada é aumentar o ganho até atender as especificações de regime permanente. Com isto haveria um redução da margem de fase, aumentando o sobresinal. Escolhe-se a frequência na qual deseja-se que ocorra o cruzamento por 0dB na qual se obtém a margem de fase desejada. O compensador irá reduzir o ganho do sistema para haver o cruzamento por 0dB na frequência definida (frequência ω1). O compensador deve estar localizado na região de baixa frequência para que a contribuição negativa de ângulo do compensador não prejudique a MF do sistema.

Procedimento de Projeto - Compensador Atraso de Fase Pelo método da resposta em frequência utiliza-se a função de transferência do controlador atraso de fase no seguinte formato: Procedimento: Ajustar o ganho k para atender as especificações de erro em regime permanente. Para isto utiliza-se o teorema do valor final na expressão do erro; Construção do gráfico da resposta em freqüência com o ganho previamente ajustado; Identificação da freqüência ω1 (equação abaixo), que é a frequência na qual se obtêm a MF especificada. Esta freqüência é onde ocorrerá o cruzamento com 0dB quando o compensador for inserido no sistema. Nesta frequência (ω1) também deve-se medir o valor do módulo do sistema.

Procedimento de Projeto - Compensador Atraso de Fase Define-se a posição do zero do compensador uma década abaixo da freqüência ω1 para que a contribuição negativa do compensador tenha sido finalizada antes da frequência na qual ocorrerá o cruzamento em 0dB, onde será definida a MF do sistema compensado. Define-se a posição do pólo pela redução de ganho necessária na freqüência ω1. É importante observar que o valor do módulo do sistema G(s) utilizado na determinação da frequência do pólo é em valor absoluto e não em dB.

Procedimento de Projeto Compensador Atraso de Fase Exemplo: Projetar um compensador atraso-de-fase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0,05 para uma entrada em rampa, e uma MF mínima de 45°. Primeiro deve ser calculado o ganho para que o sistema possua erro de 0,05 para a entrada em rampa. Este ganho ajustado será o ganho K do compensador.

Compensador Atraso de Fase Definido o valor do ganho, é construída a resposta em freqüência Transformado o ganho para dB:

Ou através do MATLAB obtemos o gráfico: Agora deve ser identificada a freqüência ω1, onde o sistema possui a margem de fase requerida: A fase do sistema é igual a -135º na frequência 2 rad/sec. Portanto: Também deve-se obter o módulo do sistema na frequência ω1: Normalmente adiciona-se mais 5º na MF desejada para compensar imprecisões do método, como será visto mais a frente.

A freqüência do zero do compensador deve estar uma década antes de ω1, assim: A freqüência do pólo do compensador é definida pela quantidade de ganho que deve ser reduzido no sistema na frequência ω1. Portanto o compensador projetado é: ou:

Verificação com MATLAB-SISOTOOL Para evitar este erro na MF, deve-se acrescentar sempre previamente 5º na equação utilizada na determinação da frequência ω1. Command Window M10_exemp_1.m n=[1]; d=[1 2 0]; sys=tf(n,d) sisotool(sys)

Comparação do sistema com e sem compensador (MATLAB) Command Window M10_exemp_2.m n1=[40]; d1=[1 2 0]; bode(n1,d1) grid hold n2=[ *0.2]; d2=conv([1 2 0],[ ]); sys=tf(n2,d2) bode(n2,d2)

Comparação do sistema com e sem compensador (MATLAB) – Resposta ao degrau Command Window M10_exemp_3.m n1=[40]; d1=[1 2 0]; sys1=tf(n1,d1); n2=[ *0.2]; d2=conv([1 2 0],[ ]); sys2=tf(n2,d2); sys_cl1=feedback(sys1,1); sys_cl2=feedback(sys2,1); step(sys_cl1) hold step(sys_cl2)

Comparação do sistema com e sem compensador (SIMULINK) Resposta à rampa Entrada Sem compesnsador Com compesnsador M10_exemp_1.mdl

Compensador Avanço de Fase O compensador avanço de fase visa melhorar a resposta transitória aumentando a margem de fase do sistema. Este compensador atua como um filtro passa alta, aumentando a frequência de cruzamento com 0dB. Apresenta uma contribuição de ângulo positiva na fase, a qual pode ser utilizada para aumentar a Margem de Fase do sistema. Do mesmo modo que no lugar das raízes, o compensador irá inserir no sistema um pólo e um zero. +

Compensador Avanço de Fase O procedimento de projeto do compensador avanço de fase é desenvolvido com base em dois parâmetros: constante de tempo “T” e o parâmetro “α” que é o ganho do compensador na região de alta frequência (s=∞) Portanto, o compensador será apresentado no formato chamado de constante de tempo, podendo ser transformado no formato em função das frequências, como no compensador atraso de fase ou no formato pólos e zeros, como o utilizado no lugar das raízes. Formato constante de tempo Formato frequências Formato pólos e zeros Definindo-se os parâmetros “T” e “α”, tem-se definido o pólo e zero do compensador

Compensador Avanço de Fase A contribuição positiva de fase deve ser dimensionada de modo que o seu pico ocorra exatamente sobre o ponto onde a margem de fase é definida, e o valor do pico da fase (θmax) seja grande o suficiente para que o aumento na MF atenda aos requisitos de resposta transitória. Assim a figura ao lado mostra um exemplo a resposta em freqüência de um sistema após o uso do compensador avanço de fase.

Procedimento de projeto Compensador Avanço de Fase Realizar o ajuste do ganho k em malha aberta que satisfaz as condições de erro em regime permanente. Caso não seja necessário alterar o ganho, ou seja, o sistema já atende os critérios de regime permanente, o compensador terá ganho unitário. Obter a resposta em frequência do sistema com o ganho ajustado e determinar a margem de fase do sistema sem o compensador. Determinar a contribuição de ângulo de avanço de fase (θmax) necessário a ser adicionado ao sistema através da equação abaixo: Normalmente acrescenta-se 10% ao valor calculado para compensar imprecisões do método.

Procedimento de projeto Compensador Avanço de Fase Determinar o parâmetro “α” a partir da relação: Determinar a frequência ωMax . Para que o aumento da fase do compensador seja melhor aproveitado, a freqüência ωMax deve coincidir com a freqüência da margem de fase do sistema com o compensador, ou seja, deve estar na freqüência onde o sistema compensado possui ganho de 0 dB. Como o ganho do compensador em ωMax é igual a : Portanto, a freqüência ωMax será determinada na resposta em frequência do sistema no ponto onde o sistema sem compensador possui ganho em dB de: Assim, quando o compensador for inserido, ocorrerá o cruzamento em 0dB na frequência ωmax, onde o compensador apresenta a sua máxima contribuição de ângulo θmax.

Procedimento de projeto Compensador Avanço de Fase Com a determinação dos parâmetros “α” e “ωmax” nas etapas anteriores, calcula-se o parâmetro “T” a partir da relação: Com a definição dos parâmetros “α” e “T” tem-se determinado o pólo e zero do compensador:

Procedimento de Projeto Compensador Avanço de Fase Exemplo: Será considerado o mesmo exemplo utilizado no projeto do compensador atraso-de-fase. Projete um compensador avanço de fase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0,05 para uma entrada em rampa, e uma MF mínima de 45°. Primeiramente ajusta-se o ganho para atender a especificação de erro.

Através do MATLAB obtemos a resposta em frequência e verificamos a margem de fase do sistema : MF(sistema)=18º Calcula-se

Calcula-se o parâmetro “α” através da equação: -4,77dB Agora deve ser encontrada no gráfico a freqüência ωMax, onde o sistema possui ganho em dB igual a: Portanto: ωmax=8,3 rad/seg ωmax=8,3

Calcula-se o parâmetro “T” através da equação: Observar que: Assim, a função de transferência do controlador é: Ou:

Verificação com MATLAB-SISOTOOL Command Window M10_exemp_1.m n=[1]; d=[1 2 0]; sys=tf(n,d) sisotool(sys)

Comparação com e sem compensador Command Window com compensador M10_exemp_4.m n1=[40]; d1=[1 2 0]; bode(n1,d1) grid hold n2=[ *4.792]; d2=conv([1 2 0],[ ]); bode(n2,d2) Sem compensador com compensador Sem compensador

Verificação com MATLAB-SIMULINK M10_exemp_2.mdl

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