Controle de Sistemas Dinâmicos Sistemas de Controle - Implementação analógica Fevereiro - 2010 Departamento de Eletrotécnica MA9 - Análise pelo método.

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1 Controle de Sistemas Dinâmicos Sistemas de Controle - Implementação analógica Fevereiro - 2010 Departamento de Eletrotécnica MA9 - Análise pelo método da resposta em freqüência.

2 2 Sistemas de Controle: Implementação analógica MA1 - Apresentação do curso e introdução na área de sistemas de controle. MA2 - Revisão sobre função de transferência, transformada de Laplace direta/inversa, plano S e conceitos básicos. MA3 - Caracterização da resposta transitória de sistemas de primeira e segunda ordem. MA4 - Representação por diagrama de blocos e simplificação de sistemas. MA5 - Análise da estabilidade de sistemas dinâmicos. MA6 - Análise do erro em regime permanente. MA7 - Análise de sistemas dinâmicos pelo método do Lugar das Raízes. MA8 - Projeto de controladores pelo método do Lugar das Raízes. MA9 - Análise pelo método da resposta em freqüência. MA10 - Projeto de compensadores pelo método da resposta em freqüência. MA11 – Controladores PID

3 3 Resposta em Frequência  Quando um sinal senoidal é aplicado na entrada de um sistema linear, será obtido na saída também um sinal com mesma forma e freqüência do sinal de entrada, porém haverá uma alteração na amplitude e na fase do sinal.  A resposta em frequência apresenta um gráfico da variação do módulo e da fase do sistema a medida que a frequência do sinal é variada.

4 4 Resposta em Frequência  É um método de análise e projeto do sistema de controle muito utilizado.  Pode-se obter a resposta em frequência experimentalmente aplicando um sinal com frequência variável na entrada do sistema e medindo a variação do módulo e fase do sinal de saída. Desta forma, mesmo sem dispor da função de transferência do sistema pode-se fazer a análise e projeto a partir do ensaio experimental.  Se a função de transferência do sistema é conhecida, pode-se obter a resposta em frequência de forma analítica, através de softwares ou manualmente por aproximações assintóticas. A seguir é apresentado um procedimento simplificado para a obtenção da resposta em frequência através de assíntotas e posteriormente serão abordadas as informações pertinentes ao projeto de controladores utilizando a resposta em frequência.

5 5 Resposta em Frequência Para determinar uma expressão analítica para a resposta em freqüência, considere a função de transferência composta por um pólo: Resposta em Frequência – Expressão analítica Sendo: A parte real da variável S não é considerada pois avalia-se a resposta do sistema para uma entrada senoidal apenas em regime permanente. Assim temos: Multiplicando Pelo conjugado

6 6 Resposta em Frequência O módulo do sistema é dado por: Resposta em Frequência – Expressão analítica A fase do sistema é: o Para obter a resposta em frequência deve-se atribuir valores de frequência ω nas expressões acima, obtendo-se uma tabela de módulo e fase em função da variação de frequencia. Com estes dados pode-se construir os gráficos. o Este processo pode ser bastante trabalhoso, principalmente para funções de transferência com maior complexidade. o Uma alternativa mais rápida é a obtenção da resposta em frequência através de assíntotas ou através de softwares específicos.

7 7 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Para construir a resposta em frequência será definido qual é a contribuição de cada elemento que compõem a função de transferência, sendo a contribuição final o somatória das contribuições individuais. o Este processo também auxilia no entendimento da influência de cada elemento na resposta em frequência do sistema. o Como o gráfico do módulo é representado em dB (20.log x) a contribuição final que é dada pelo produto dos elementos que compõem a FT, graficamente transforma-se em somatório pois o módulo é representado em dB. Portanto basta representar graficamente a contribuição individual de cada elemento (pólo, zeros, etc) e posteriormente realizar o somatório das contribuições para obter o resultado final. o A fase é obtida da mesma forma. Representa-se graficamente as contribuições individuais em graus e posteriormente faz-se o somatório para obter a resultante.

8 8 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Ganho k O ganho k desloca o módulo do sistema em 20.log K. Nota-se que se k>1 o modulo será positivo e se k<1 o modulo será negativo. Se o ganho for unitário o módulo será 0dB. O ganho não causa alteração na fase do sistema.

9 9 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Integrador A alteração do módulo devido ao integrador resulta em uma reta com inclinação negativa, a qual decai 20 dB por década, e tem módulo igual a 0 dB quando a freqüência é 1 rad/s. A fase é deslocada em -90°. Se houver dois integradores considera-se uma redução de 40dB por década e uma contribuição de -180 º e assim sucessivamente.

10 10 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Pólo Real A contribuição de módulo ser(á de 0 dB até a freqüência do pólo (A) e decai 20 dB por década a partir desse ponto. A fase segue em 0 º até uma década antes da freqüência do pólo (A), onde decai 45° por década até uma década após a freqüência A, onde se mantêm constante em -90°.

11 11 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Pólo Real Exemplo: Pólo Ganho Resposta Final ou:

12 12 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real A contribuição de módulo ser(á de 0 dB até a freqüência do pólo (A) e aumenta 20 dB por década a partir desse ponto. A fase segue em 0 º até uma década antes da freqüência do pólo (A), onde aumenta 45° por década até uma década após a freqüência A, onde se mantêm constante em -90°.

13 13 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real

14 14 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real Exemplo: ou Resposta Final Zero Ganho

15 15 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real Exemplo: M9_exemp_1.m n=[10 10]; d=[1]; bode(n,d) MATLAB Command Window

16 16 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Pólos complexos A resposta em frequência de pólos e zeros complexos sofrem muita influência do coeficiente de amortecimento, conforme mostra a figura ao lado. Portanto recomenda-se não utilizar a representação por assíntotas em sistemas com pólos complexos. Nestes casos pode-se partir para a utilização de softwares para a obtenção da resposta em frequência.

17 17 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Gráficos normalizados para: a. G(s) = s; b. G(s) = 1/s; c. G(s) = (s + a); d. G(s) = 1/(s + a)

18 18 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Exercício- Obter a resposta em frequência da função G(s) através de assíntotas Ganho Pólo Zero Resposta Final Zero Pólo Resposta Final

19 19 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Verificação com MATLAB M9_exemp_2.m n=[100 100]; d=[1 10]; bode(n,d) MATLAB Command Window

20 20 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Exercício- Obter a resposta em frequência da função G(s) através de assíntotas Zer o 2 x Pólo Zer o 2 x Pólo Resposta Final ganho

21 21 Resposta em Frequência Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Verificação com MATLAB n=[200 200]; d=conv([1 10],[1 10]); bode(n,d) M9_exemp_3.m MATLAB Command Window

22 22 Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência A função de transferência desse sistema é: Na resposta em frequência da FTMA, o sistema será considerado estável se na freqüência onde a fase é igual a -180°, o módulo for menor que 1, ou seja, 0dB. O limite de estabilidade ocorre quando na freqüência onde a fase é igual a -180°, o módulo for igual a 0dB. O sistema será instável se na freqüência onde a fase é igual a -180°, o módulo for maior que a 0dB. Fase igual a -180° na FTMA significa a inversão de polaridade na realimentação, caracterizando uma realimentação positiva, o que torna o sistema instável com o surgimento de pólos no semi-plano direito. A partir disso são definidos os parâmetros, margem de ganho (MG) e margem de fase (MF) as quais devem ser ambas positivas para que o sistema seja estável. + -

23 23 Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência Margem de Ganho (MG) – Para que o sistema seja estável, o ganho em dB deve ser menor que 0 dB na freqüência cuja fase é -180°. Assim a margem de ganho é o valor de ganho nesta freqüência, sendo positivo quando o módulo é negativo. Ela indica o quanto de ganho em dB que pode ser acrescido ao sistema, sem que ele perca a estabilidade. Margem de Fase (MF) – Para que o sistema seja estável, a fase não pode ultrapassar -180° na freqüência onde o módulo é igual a 0 dB. Assim a margem de fase é o valor que falta para que a fase esteja em -180°, sendo positiva se a fase ainda não tiver ultrapassado -180°.

24 24 Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência Exemplo: Determinar o valor do ganho para que o sistema se torne instável. Considerando inicialmente k =1.

25 25 Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência A margem de ganho pode ser obtida a partir do gráfico, verificando o valor do modulo na freqüência onde a fase é -180°, que é igual a -100 dB. Assim a margem de ganho é de 100 dB. A margem de ganho indica o quanto de ganho pode ser acrescentado ao sistema, mantendo a estabilidade, assim o sistema será estável se receber um aumento maior que MG. Assim:

26 26 Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência Verificação com o MATLAB-SISOTOOL n=[1]; d=conv([1 100],conv([1 1],[1 10])); sys=tf(n,d) sisotool(sys) M9_exemp_4.m MATLAB Command Window

27 27 Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência  Velocidade de Resposta: A velocidade de resposta está relacionada com a banda passante da resposta em freqüência de malha fechada. ω B é a faixa de freqüência para que o módulo tenha uma redução de 3 dB. Portanto a freqüência de cruzamento ω C (0dB) da FTMA determina indiferentemente a velocidade de resposta. Quanto maior for a frequência de cruzamento ω C da FTMA, mais rápida será a resposta transitória. Portanto, ao utilizar um compensador P.D. ou avanço de fase, a frequência de cruzamento e a velocidade de resposta irão aumentar.

28 28 Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência  Sobresinal: O sobresinal está relacionado com a elevação do módulo na freqüência de ressonância de um sistema equivalente de segunda ordem, este valor de pico da F.T. de malha fechada está relacionado principalmente com a margem de fase do sistema. Quanto maior for a margem de fase, menor será o sobresinal.  Amortecimento: O amortecimento também está relacionado com a margem de fase do sistema, e pode ser calculado de maneira aproximada pela equação:

29 29 Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência  Erro em Regime Permanente: Para reduzir o erro em regime permanente, deve-se aumentar o ganho da FT na região de em baixa freqüência (regime permanente S=0). F Módulo

30 30 Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência Portanto, para melhorar a resposta de um sistema de controle através da análise pela resposta em frequência deve-se utilizar controladores para regime transitório que aumentem a margem de fase, aumentando a estabilidade e reduzindo as oscilações, além de aumentar a frequência de cruzamento para aumentar a velocidade de resposta. Pode-se também utilizar controladores para melhorar o regime permanente, aumentando o ganho em baixa frequência, reduzindo o erro em regime, sem prejudicar a margem de fase do sistema. Será apresentado no módulo seguinte as metodologias de projeto dos controladores utilizando a resposta em frequência, de forma a atender as especificações de desempenho de um sistema de controle.