GRAVITAÇÃO JOHANNES KEPLER 1571 - 1630 As Leis de Kepler dão uma precisa descrição cinemática do nosso sistema solar. Mas, do ponto de vista dinâmico,

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2 GRAVITAÇÃO JOHANNES KEPLER 1571 - 1630 As Leis de Kepler dão uma precisa descrição cinemática do nosso sistema solar. Mas, do ponto de vista dinâmico, as Leis de Kepler não dizem que tipo de força o sol exerce sobre os planetas, obrigando-os a se moverem de acordo com as órbitas previstas. Ele suspeitava que essa força fosse de origem magnética. Imagem: Lookang / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

3 O SISTEMA SOLAR Planeta anão

4 Sistemas planetários O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio Ptolomeu Ptolomeu (100- 170), que considerava a Terra como o centro do Universo (sistema geocêntrico). Segundo esse sistema, cada planeta descrevia uma órbita circular cujo centro descreveria outra órbita circular em torno da Terra.

5 Nicolau Copérnico (sistema heliocêntrico). Nicolau Copérnico (1473- 1543), astrônomo polonês, criou uma nova concepção de Universo, considerando o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico). Tycho Brahe Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), segundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os planetas em torno do Sol. Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a Terra, descrevia uma órbita circular em torno do Sol.

6 Johannes Kepler Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu discípulo Johannes Kepler (1571-1630), que tentou, em vão, explicar o movimento dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas. Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do Sol e, após anos de estudo, enunciou três leis.

7 LEIS DE KEPLER

8 1.ª LEI DE KEPLER (LEI DAS ÓRBITAS) “As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas quais ele ocupa um dos focos.” Numa elipse existem dois focos e a soma das distâncias aos focos é constante.

9 Foco a b c d a + b = c + d ELIPSE

10 2.ª LEI DE KEPLER (LEI DAS ÁREAS) “A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.” Velocidade Areolar  velocidade com que as áreas são descritas. Afélio

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12 A1A1 A2A2 Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica. Logo: A 1 = A 2  t 1  t 2

13 planeta Sol

14 Afélio  ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol

15 Periélio  ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol

16 A1A1 A2A2 A velocidade linear no periélio é maior que no afélio. Afélio = 29,3 km/s Periélio = 30,2 km/s

17 3.ª LEI DE KEPLER (LEI DOS PERÍODOS) “O quadrado do período da revolução de um planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital.” Raio Médio  média aritmética entre as distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.

18 Planeta T (dias terrestres) R (km) T 2 /R 3 Mercúrio88 5,8 x 10 7 4,0 x 10 -20 Vênus224,7 1,08 x 10 8 Terra365,3 1,5 x 10 8 Marte687 2,3 x 10 8 Júpiter4343,5 7,8 x 10 8 Saturno10767,5 1,44 x 10 9 Urano30660 2,9 x 10 9 Netuno60152 4,5 x 10 9 Plutão90666 6,0 x 10 9

19 EQUINÓCIOS E SOLSTÍCIOS

20 AS FASES DA LUA

21 GRAVITAÇÃO Na obra Philosophiaie Naturalis Principia Mathematica, Newton apresentou em 1687 a Lei da Gravitação Universal. Para estabelecer essa lei, procurou entender o movimento da lua com base nas três leis da dinâmica e fundamentou-se também nas Leis de Kepler. Imagem: Isaac Newton / Domínio Público ISAAC NEWTON 1642 - 1727 Imagem: Sir Godfrey Kneller / Domínio Público

22 GRAVITAÇÃO JOHANNES KEPLER 1571 - 1630 As Leis de Kepler dão uma precisa descrição cinemática do nosso sistema solar. Mas, do ponto de vista dinâmico, as Leis de Kepler não dizem que tipo de força o sol exerce sobre os planetas, obrigando-os a se moverem de acordo com as órbitas previstas. Ele suspeitava que essa força fosse de origem magnética. Imagem: Lookang / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

23 GRAVITAÇÃO Existem duas ideias que são muito difundidas na literatura sobre o percurso geral que conduziu Newton à Gravitação Universal: Newton teria desenvolvido a lei da Gravitação quase que por completo durante os anni mirabili (1665, 1666), embora viesse a publicá-la somente em 1687, no Principia; a outra sustenta que a lei da Gravitação foi deduzida por Newton diretamente das Leis de Kepler. Muitas controvérsias ainda se fazem presentes nos tempos atuais sobre quais foram os caminhos que Newton trilhou desde as suas primeiras investidas nos assuntos da Mecânica, em particular referente à dinâmica planetária, até a escrita do Principia, quando praticamente completou tais assuntos. Esses caminhos foram construídos com uso de instrumentos tanto típicos do fazer científico, quanto de natureza externa a este. Fazer, portanto, uma reconstrução de tais caminhos não é tarefa simples nem fácil, sobretudo, porque o próprio Newton, ao que parece, com a preocupação excessiva de firmar indelevelmente algumas das suas pegadas, resultou por apagá-las ou, ao menos, deformá-las. Teixeira, E. S. et al. Os caminhos de Newton para a Gravitação Universal: uma revisão do debate historiográfico entre Cohen e Westfall. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 215-254, ago. 2010.

24 GRAVITAÇÃO Existem duas ideias que são muito difundidas na literatura sobre o percurso geral que conduziu Newton à Gravitação Universal: Newton teria desenvolvido a lei da Gravitação quase que por completo durante os anni mirabili (1665, 1666), embora viesse a publicá-la somente em 1687, no Principia; a outra sustenta que a lei da Gravitação foi deduzida por Newton diretamente das Leis de Kepler. Muitas controvérsias ainda se fazem presentes nos tempos atuais sobre quais foram os caminhos que Newton trilhou desde as suas primeiras investidas nos assuntos da Mecânica, em particular referente à dinâmica planetária, até a escrita do Principia, quando praticamente completou tais assuntos. Esses caminhos foram construídos com uso de instrumentos tanto típicos do fazer científico, quanto de natureza externa a este. Fazer, portanto, uma reconstrução de tais caminhos não é tarefa simples nem fácil, sobretudo, porque o próprio Newton, ao que parece, com a preocupação excessiva de firmar indelevelmente algumas das suas pegadas, resultou por apagá-las ou, ao menos, deformá-las. Teixeira, E. S. et al. Os caminhos de Newton para a Gravitação Universal: uma revisão do debate historiográfico entre Cohen e Westfall. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 215-254, ago. 2010.

25 GRAVITAÇÃO UM POUCO DE HISTÓRIA A Lei da Gravitação Universal foi desenvolvida por Isaac Newton, durante o fechamento da Universidade de Cambridge, na Inglaterra, devido à peste que assolou Londres em 1665. Essa Lei deu início aos pensamentos que mudariam os fundamentos da ciência. Em 1672 foi publicado o primeiro trabalho científico de Newton que tratava de suas descobertas sobre a natureza da luz. Devido a críticas de alguns, dentre eles Robert Hooke, Newton relutou, a partir de então, a apresentar novos trabalhos. Mas em 1679, devido às correspondências que trocavam, na qual Hooke sugeriu que os planetas eram atraídos por uma força central que diminuía como quadrado da distância, as ideias de Newton sobre essas questões reviveram. Edmond Halley se interessou pelo tema e ao visitar Newton em Cambridge em 1684 perguntou especificamente qual seria a forma da órbita de um planeta que fosse atraído por uma força da forma descrita por Hooke. Newton imediatamente disse que era uma elipse, dizendo que havia provado esse fato há tempo. Mais tarde Halley recebeu duas provas sobre a questão, e percebendo a importância deste trabalho decidiu, com o apoio da Royal Society, persuadir Newton a publicar suas descobertas, o que levou a publicação, em 1687, de um dos mais importantes livros da ciência, o Principia. Fonte: http://pt.scribd.com/doc/60543906/Surpresas-Sobre-a-Lei-da-Gravitacao-Universal “Durante esse ano (1665), comecei a estender a ideia de gravidade à órbita da Lua e fiz uma comparação entre a força que era necessária para manter esse astro na órbita e as forças de gravidade que agiam na superfície da Terra. [...]Deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas estão na razão recíproca dos quadrados das distâncias aos centros do qual orbitam; e assim, comparei a força necessária para manter a Lua na sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra; e verifiquei que as duas respostas são quase iguais”. Isaac Newton http://www.cpenelopefournier.com/index2_ficheiros/Page370.htm

26 GRAVITAÇÃO Imagem: Roland Geider / GNU Free Documentation License. LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL A partir das Leis de Kepler, Newton deduziu que tipos de forças devem ser necessárias para manter os planetas em suas órbitas. Ele calculou como a força deveria ser na superfície da Terra. Essa força provou ser a mesma que dá à massa sua aceleração. Com isso Newton unifica a física terrestre e a celeste, sepultando assim a teoria aristotélica do mundo sublunar e supralunar.

27 GRAVITAÇÃO sol CONSEQUÊNCIAS DA LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

28 GRAVITAÇÃO COMO COLOCAR UM OBJETO EM ÓRBITA DA TERRA Em seu livro de 1728, A Treatise of the System of the World (Um Tratado do Sistema do Mundo), Isaac Newton descreveu o que deveria acontecer se alguém atirasse uma pedra horizontalmente do pico de uma montanha que se projetasse acima da atmosfera. Quão maior fosse a força com se lançasse a pedra, ele argumentou, mais longe em torno da Terra ela viajaria. Se atirada com força suficiente, contudo, a pedra retornaria ao pico e “mantendo a mesma velocidade, ela descreveria a mesma curva várias vezes, pela mesma lei”. Assim, Newton ilustrou o princípio de uma órbita, não somente responsável pela senda de objetos em um sistema solar, mas que também explica a trajetória de milhares de satélites e espaçonaves que foram lançadas desde que o Sputnik 1 decolou há meio século. Na base desse princípio está, naturalmente, a Lei do Quadrado Inverso da Gravitação de Newton. Robert P. Crease Tradução: Leonardo Soares Quirino da Silva http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/fisica/0017.html V A B G F Imagem: Esta figura é apresentada no Livro III da obra de Isaac Newton denominada "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural". Pedras são lançadas do alto de uma montanha com velocidades cada vez maiores, até que uma delas entra em órbita da Terra e, portanto, não atinge mais o solo. Fonte: http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/UAI/lua-cai.htm Licença: Domínio Público

29 GRAVITAÇÃO “- Que por intermédio das forças centrípetas os planetas são mantidos em certas órbitas, podemos facilmente entender, se considerarmos os movimentos dos projéteis; pois uma pedra arremessada [do alto de uma montanha] é forçada pela ação de seu próprio peso para fora de uma trajetória retilínea -- a qual ela descreveria devido apenas ao arremesso inicial --, e impelida a descrever uma linha curva no ar; e através dessa forma arqueada é finalmente trazida para baixo, ao chão; e quanto maior é a velocidade com que ela é arremessada, tanto maior é a distância que ela percorre antes de cair na Terra. Podemos portanto supor a velocidade de tal maneira aumentada que ela descreveria arcos de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 milhas antes de atingir a Terra, até que, finalmente, excedendo os limites da Terra, ela passaria ao espaço, sem tocá-la.” Isaac Newton Fonte: http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/UAI/lua-cai.htm Vemos então que ao mesmo tempo que a Lua cai em direção ao centro da Terra, ela simultaneamente move-se na direção transversal. E faz isso na medida certa de tal forma a manter-se sempre acima da superfície. Ou seja, de forma a manter-se em órbita na Terra. Terra L1 tangente H L2 C Imagem: A Lua se movimenta de L1 para L2. Simultaneamente ao movimento tangencial L1-H ela realiza o movimento centrípeto H-L2 e assim progressivamente descreve uma órbita ao redor da Terra, sem atingir a sua superfície. Em outras palavras, ela não "cai" na Terra. Fonte:http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/UAI/lua-cai.htm Crédito: Domingos Soares

30 GRAVITAÇÃO Imagem: Roland Geider / GNU Free Documentation License. COMPROVAÇÃO DAS LEIS DE KEPLER

31 GRAVITAÇÃO A CONSTANTE DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Imagem: Henry Cavendish / Domínio Público

32 GRAVITAÇÃO NOVAS TRAJETÓRIAS POSSÍVEIS Newton descobriu que todas as órbitas de corpos que estão em interação gravitacional com outro são secções cônicas: podem ser elipses, as únicas que são curvas fechadas, parábolas ou hipérboles. Círculo Elipse Parábola Hipérbole Círculo Elipse Parábola Hipérbole Imagem: formas das órbitas. Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo1/modulo5/topico7.php Como as elipses são órbitas fechadas e periódicas, os corpos que têm esse tipo de órbita estão “ligados” ao corpo o qual orbitam. Nas órbitas hiperbólicas (e também nas parabólicas, que são a 'fronteira' entre as órbitas elípticas e as hiperbólicas) o corpo orbita o outro uma única vez: aproxima-se vindo de distâncias ilimitadas, e volta a afastar-se, perdendo-se nas grandes distâncias.

33 GRAVITAÇÃO Imagem: SITCK / Retrato de Edmond Halley / Domínio Público O astrônomo Edmond Halley, em 1705, conseguiu identificar que os cometas observados em 1531, 1607 e 1682 tinham suas posições pertencentes a uma órbita elíptica de grande excentricidade em torno do sol e que de 76 em 76 anos passa perto da Terra. Com base nos cálculos usando a lei da gravitação, previu que o cometa voltaria a passar pela Terra em 1758. Infelizmente morreu em 1742. Naquele ano o cometa apareceu no céu e foi batizado como o COMETA DE HALLEY. Imagem: Fer31416 / GNU Free Documentation License

34 GRAVITAÇÃO VARIAÇÃO DA INTENSIDADE DO CAMPO GRAVITACIONAL DE UM ASTRO – EXEMPLO: TERRA Numa altitude h Terra (M) C R h 0 FGFG (m) A O corpo estando no equador terrestre (h=0) e sem levar em conta a rotação do astro. Corpo nos polos do planeta – não se percebe a rotação.

35 GRAVITAÇÃO Corpo no interior do planeta Terra R r Ramos da Hipérbole g 9,8 m/s² g i = Kr 0 R = 6,4. 10 6 m C

36 GRAVITAÇÃO Na superfície – numa latitude qualquer – influência da rotação Devido ao efeito da rotação da Terra, a força peso(leitura do instrumento) só coincide com a força gravitacional nos polos. A aceleração da gravidade é variável com a latitude, pois a força gravitacional é decomposta em peso P(aparente) e numa força centrípeta Fc. Linha do Equador (φ = O) (φ = 90º) Polo m F cp P F C φ

37 GRAVITAÇÃO Alguns valores de g Latitudeg(m/s²) 0°9,78030 10°9,78186 20°9,78634 30°9,79321 40°9,80166 50°9,81066 60°9,81914 70°9,82606 80°9,83058 90°9,83216 planetaMercúrioVênusTerraMarteJúpiterSaturnoUranoNetunoPlutãoLua g(m/s²)3,68,79,83,725,911,311,511,63,91,6 h(km)g(m/s²) 09,806 1,09,803 4,09,794 8,09,782 16,09,757 32,09,708 100,09,598 Tabela 2: variação de g com a latitude, ao nível do mar, na superfície da Terra. Tabela 3: variação de g com a altitude, à latitude de 45°,nas proximidades da Terra:

38 GRAVITAÇÃO VELOCIDADE ORBITAL – SATÉLITES EM ÓRBITA CIRCULAR Imagem: Lookang / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

39 GRAVITAÇÃO SATÉLITES EM ÓRBITA DA TERRA Lua

40 GRAVITAÇÃO VELOCIDADE DE ESCAPE – VELOC. MÍNIMA Vamos imaginar o astro sem atmosfera, esférico e que no infinito a velocidade seja nula. + V<V esc V>V esc VELOCIDADE DE ESCAPE

41 GRAVITAÇÃO Existem duas ideias que são muito difundidas na literatura sobre o percurso geral que conduziu Newton à Gravitação Universal: Newton teria desenvolvido a lei da Gravitação quase que por completo durante os anni mirabili (1665, 1666), embora viesse a publicá-la somente em 1687, no Principia; a outra sustenta que a lei da Gravitação foi deduzida por Newton diretamente das Leis de Kepler. Muitas controvérsias ainda se fazem presentes nos tempos atuais sobre quais foram os caminhos que Newton trilhou desde as suas primeiras investidas nos assuntos da Mecânica, em particular referente à dinâmica planetária, até a escrita do Principia, quando praticamente completou tais assuntos. Esses caminhos foram construídos com uso de instrumentos tanto típicos do fazer científico, quanto de natureza externa a este. Fazer, portanto, uma reconstrução de tais caminhos não é tarefa simples nem fácil, sobretudo, porque o próprio Newton, ao que parece, com a preocupação excessiva de firmar indelevelmente algumas das suas pegadas, resultou por apagá-las ou, ao menos, deformá-las. Teixeira, E. S. et al. Os caminhos de Newton para a Gravitação Universal: uma revisão do debate historiográfico entre Cohen e Westfall. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 215-254, ago. 2010.

42 GRAVITAÇÃO Existem duas ideias que são muito difundidas na literatura sobre o percurso geral que conduziu Newton à Gravitação Universal: Newton teria desenvolvido a lei da Gravitação quase que por completo durante os anni mirabili (1665, 1666), embora viesse a publicá-la somente em 1687, no Principia; a outra sustenta que a lei da Gravitação foi deduzida por Newton diretamente das Leis de Kepler. Muitas controvérsias ainda se fazem presentes nos tempos atuais sobre quais foram os caminhos que Newton trilhou desde as suas primeiras investidas nos assuntos da Mecânica, em particular referente à dinâmica planetária, até a escrita do Principia, quando praticamente completou tais assuntos. Esses caminhos foram construídos com uso de instrumentos tanto típicos do fazer científico, quanto de natureza externa a este. Fazer, portanto, uma reconstrução de tais caminhos não é tarefa simples nem fácil, sobretudo, porque o próprio Newton, ao que parece, com a preocupação excessiva de firmar indelevelmente algumas das suas pegadas, resultou por apagá-las ou, ao menos, deformá-las. Teixeira, E. S. et al. Os caminhos de Newton para a Gravitação Universal: uma revisão do debate historiográfico entre Cohen e Westfall. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 215-254, ago. 2010.

43 GRAVITAÇÃO Existem duas ideias que são muito difundidas na literatura sobre o percurso geral que conduziu Newton à Gravitação Universal: Newton teria desenvolvido a lei da Gravitação quase que por completo durante os anni mirabili (1665, 1666), embora viesse a publicá-la somente em 1687, no Principia; a outra sustenta que a lei da Gravitação foi deduzida por Newton diretamente das Leis de Kepler. Muitas controvérsias ainda se fazem presentes nos tempos atuais sobre quais foram os caminhos que Newton trilhou desde as suas primeiras investidas nos assuntos da Mecânica, em particular referente à dinâmica planetária, até a escrita do Principia, quando praticamente completou tais assuntos. Esses caminhos foram construídos com uso de instrumentos tanto típicos do fazer científico, quanto de natureza externa a este. Fazer, portanto, uma reconstrução de tais caminhos não é tarefa simples nem fácil, sobretudo, porque o próprio Newton, ao que parece, com a preocupação excessiva de firmar indelevelmente algumas das suas pegadas, resultou por apagá-las ou, ao menos, deformá-las. Teixeira, E. S. et al. Os caminhos de Newton para a Gravitação Universal: uma revisão do debate historiográfico entre Cohen e Westfall. Cad. Bras. Ens. Fís., v. 27, n. 2: p. 215-254, ago. 2010.