Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Distribuições de Probabilidade Camilo Daleles Rennó

Apresentação em tema: "Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Distribuições de Probabilidade Camilo Daleles Rennó"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Distribuições de Probabilidade Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

2 Distribuições de Probabilidade 2 Retiram-se 3 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Considere os seguintes experimentos: A partir de um mapa, 10 pontos são sorteados aleatoriamente (com reposição). Define-se uma v.a. Y cujos valores representam o número total de pontos pertencentes à classe floresta dentre os 10 escolhidos. O que esse dois experimentos têm em comum? Um número fixo de elementos são escolhidos A escolha de um elemento não influencia a escolha do próximo (eventos independentes) Cada elemento escolhido pertence ou não ao atributo (cor/classe) de interesse Dessa forma, pode-se dizer que X e Y têm propriedades semelhantes, ou seja, seguem a mesma distribuição de probabilidade

3 Função de Distribuição de Probabilidade e seus parâmetros A média (medida de tendência central) A variância (medida de dispersão) Fonte: Leemis e McQueston (2008) Distribuições de Probabilidade 3 V.A. Discreta V.A. Contínua Quantas funções que descrevem variáveis aleatórias existem? Uniforme Discreta Bernoulli Binomial Geométrica Binomial Negativa ou Pascal Hipergeométrica Uniforme Normal ou Gaussiana O que é importante saber: Tipo de v.a. (discreta ou contínua) Escopo da v.a. (mínimo e máximo)

4 Distribuição Uniforme Discreta Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado. X: {1, 2,..., N} X: {1, 2,..., 6} Considere uma v.a. X cujos valores são inteiros de 1 a N, equiprováveis, ou seja, todos os valores têm igual probabilidade de ocorrência. 4

5 Distribuição Uniforme Discreta Y: {12, 16,..., 208} Se uma v.a. Y é representada por valores múltiplos de 4, maiores que 10 e menores que 210, equiprováveis, qual a sua média e variância? 5 X: {1, 2,..., N}  ? Y/4: {3, 4,..., 52} Y/4 - 2: {1, 2,..., 50} X = Y/4 - 2 Y = 4X + 8 E(Y) = 4E(X) + 8 Var(Y) = 16Var(X) = 4*25,5 + 8 = 110 = 16*208,25 = 3332

6 Distribuição Bernoulli 6 Considere uma v.a. X que apresenta apenas 2 valores possíveis, 0 e 1, sendo que P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1 – p = q. Geralmente, associa-se o valor 1 ao sucesso e 0 ao fracasso, sendo assim, p é a probabilidade de sucesso e q de fracasso. X: {0, 1} Exemplo: uma bola da urna é escolhida. Define-se uma v.a. X cujos valores representam 1 se a bola escolhida for vermelha e 0 caso contrário. p = 5/7 q = 2/7 X: {0, 1}

7 X: {?,..., ?} Distribuição Binomial 7 X: {0, 1,..., n} Considere uma v.a. X cujos valores representam o número de eventos favoráveis (sucessos) obtidos em n tentativas independentes, sendo a probabilidade de sucesso igual a p para todas as tentativas. onde q = 1 - p Exemplo: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. p = 5/7 q = 2/7 n = 3 X: {0, 1, 2, 3}

8 Distribuição Binomial 8 A v.a. Binomial pode ser entendida como uma somatória de n v.a. Bernoulli, já que, para cada evento (tirar uma bola), há uma probabilidade p de sucesso (tirar bola vermelha) e q de fracasso (tirar bola azul). onde cada Y i tem distribuição Bernoulli ( 0 ou 1 ) Por exemplo, na sequência: Y 1 = 0Y 2 = 1Y 3 = 1  X = 2 (sucessos) q p p

9 Distribuição Binomial Exemplo: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. p = 5/7 q = 2/7 n = 3 9 Qual a probabilidade de se obter 2 ou mais bolas vermelhas? X: {0, 1, 2, 3} P(X  2) = P(X = 2) + P(X = 3)

10 Distribuição Geométrica 10 Considere uma sequência de tentativas independentes onde, para cada tentativa, ocorram somente 2 possibilidades (sucesso ou fracasso). A probabilidade de sucesso é igual a p para todas as tentativas. Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de fracassos até que ocorra o sucesso. Exemplo: retiram-se bolas da urna (com reposição), até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas azuis (fracassos) retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso). p = 5/7 q = 2/7 X: {0, 1,...,  } X: {?,..., ?} X: {0, 1,...,  }

11 Distribuição Geométrica Exemplo: retiram-se bolas da urna (com reposição), até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas azuis (fracassos) retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso). p = 5/7 q = 2/7 11 Qual a probabilidade de se obter a bola vermelha somente na 3 a tentativa? X: {0, 1,...,  }

12 Distribuição Binomial Negativa (Pascal) 12 Considere uma sequência de tentativas independentes, onde cada tentativa somente ocorram 2 possibilidades (sucesso ou fracasso). A probabilidade de sucesso é igual a p para todas as tentativas. Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de fracassos até que ocorram r sucessos. Exemplo: retiram-se bolas da urna (com reposição), até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas azuis (fracassos) retiradas da urna até obter 3 bolas vermelhas (sucesso). p = 5/7 q = 2/7 r = 3 X: {0, 1,...,  } X: {?,..., ?} X: {0, 1,...,  }

13 Distribuição Binomial Negativa (Pascal) 13 A v.a. Binomial Negativa pode ser entendida como uma somatória de r v.a. Geométricas. onde cada Y i tem distribuição Geométrica Por exemplo, na sequência: Y 1 = 2Y 2 = 4Y 3 = 3  X = 9 (fracassos) q q p q q q q p q q q p Importante: Algumas vezes, esta v.a. refere-se ao número total de tentativas até se conseguir r sucessos. Nesse caso Y: {r, r+1,...,  }

14 X: {?,..., ?} Distribuição Hipergeométrica 14 X: {máx(0,n-M+K),..., mín(n,K)} Considere uma v.a. X cujos valores representam o número de eventos favoráveis (sucessos) obtidos em n tentativas (sem reposição) realizadas sobre uma população finita de M elementos, sendo K deles favoráveis e M-K não favoráveis. Exemplo: retiram-se 3 bolas da urna (sem reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. M = 7 K = 5 n = 3 X: {1, 2, 3} (mesmo que Binomial)(variância da Binomial * fator de correção)

15 Resumo Distribuições Discretas n = 1r = 1 15 Na Binomial, o número de sorteios é pré-definido (n) e o número de sucessos é aleatório; na Binomial Negativa, o número de sucessos é pré-definido (r) e o número de sorteios é aleatório. Os sorteios são feitos com reposição na Binomial e, sem reposição na Hipergeométrica.

16 Distribuição Uniforme (Contínua) 16 Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a, b] se sua função densidade de probabilidade for dada por: se a ≤ x ≤ b caso contrário Exemplo: f(x)f(x) X 5 10 f(x)f(x) X a b

17 Distribuição Normal ou Gaussiana 17 Uma variável aleatória X tem distribuição Normal se sua função densidade de probabilidade for dada por: -  ≤ x ≤ +  Exemplo: -- ++   -- ++ 10

18 Distribuição Normal ou Gaussiana  Distribuição Normal Padrão Propriedade: seeentão 18 (valores de probabilidade podem ser tabelados!)

19 Distribuição Normal Padrão -- ++ 0z 19

20 -- ++ 0 1,5 Distribuição Normal Padrão (Exemplos) = 0,0668 20 -- ++ 0 -1,5

21 -- ++ 0 1,5 -- ++ 0 -- ++ 0 Distribuição Normal Padrão (Exemplos) = 0,5 _ 0,0668 21

22 Distribuição Normal Padrão (Exemplos) = -- ++ 0 2 1 22 -- ++ 0 1 0,1587 -- ++ 0 2 0,0228 _

23 Distribuição Normal (Exemplos) Z -- ++ 0 0,5 Z -- ++ 10 11 8 X 0,5328 23 0,5328

24 Distribuição da Soma de Variáveis Aleatórias Qual a distribuição de Y ? 3 v.a. independentes com distribuições normal 24

25 Distribuição da Soma de Variáveis Aleatórias Qual a distribuição de Y ? n v.a. independentes com distribuições desconhecidas Teorema do Limite Central se n for grande: (ver TLC.xls) 25 Esta convergência acontece mais rapidamente quanto maior for n e quanto mais parecida for a forma da distribuição original (desconhecida) da normal

26 Aproximação da Binomial à Normal onde cada X i tem distribuição Bernoulli ( X i : {0, 1} ) com  = p e  2 = pq Se Y tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p : Então, se n for grande, pelo TLC, Y tende a uma Normal, ou seja, 26 OBS: Se p = 0,5, a distribuição Binomial é simétrica e, portanto, rapidamente converge para Normal.

27 Aproximação da Binomial à Normal Exemplo Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 100 escolhidas. Calcule: P(30  X  51) Aproximando-se à Normal... 27 (valor exato)

28 Aproximação da Binomial à Normal 30 (correção de continuidade) 0,9745 (valor exato para Binomial  0,9752 ) 28 Pelo TLC: Exemplo Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 100 escolhidas. Calcule: P(30  X  51)