Representação do R3 Octantes Z (+) III 1º → (+,+,+) 2º → ( -,+,+)

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1 Representação do R3 Octantes Z (+) III 1º → (+,+,+) 2º → ( -,+,+)
( X , Y, Z) III 1º → (+,+,+) 2º → ( -,+,+) 3º → ( -, -,+) II 4º → (+, -,+) (-) 5º → (+,+, -) IV 6º → ( -,+, -) 7º → ( -, -, -) 8º → (+, -, -) O Y (-) (+) VII I VI X (+) VIII V (-) ESPAÇO

2 Representação de um ponto no R3
Z P(x,y,z) z P(x,y,z) y Y O x X

3 Representação de um ponto no 2º Octante
X Y Z O P 2 -3 3

4 Representação de um vetor no R3
Z Podemos identificar o vetor com o ponto P, ou seja, P(x,y,z) v z P(x,y,z) v ≡ P(x,y,z) v Y y O x X

5 Expressão Cartesiana de um vetor no R3
Sejam i , j e k vetores unitários do R3 , ou seja, | i | = | j | = | k | = 1 X Y Z x y z v P(x,y,z) v = xi + yj + zk zk k yj i j zk Módulo xi + yj xi

6 Operações com vetores na forma cartesiana
Sejam v = (x1,y1,z1) e u = (x2,y2,z2) 1. Adição: v + u = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) 2. Subtração: v - u = (x1-x2, y1-y2, z1-z2) 3. Produto por escalar: Sejam v = (x,y,z) e  mR m·v = (mx,my,mz)

7 Condição de paralelismo entre 2 vetores
Sejam v = (x1,y1,z1) e u = (x2,y2,z2), vetores paralelos. Então eles são múltiplos, ou seja, existe um escalar mR, tal que v = m·u. Assim, teremos: (x1,y1,z1) = m·(x2,y2,z2) = (mx2,my2,mz2) 

8 Condição de coplanaridade entre 3 vetores
Sejam u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) e w = (x3,y3,z3) coplanares. Então existe uma combinação linear entre eles, ou seja, existem escalares m e n tais que: u = mv +nw. v w u u = mv +nw nw mv (x1,y1,z1) = m(x2,y2,z2) +n(x3,y3,z3) 

9    = 0

10 Exemplos: 1) Os vetores u = (2,-1,2) e v = (0,1,0) estão aplicados no mesmo ponto A. Determine um vetor AB, de módulo , cuja direção é a bissetriz do ângulo entre os vetores dados. 2) Sejam a = (1,0,0) e b = (1,1,0). Calcule o ângulo entre os vetores a + b e a – b . 3) Demonstrar a equação do ponto médio de um segmento.