POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA

Apresentação em tema: "POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA"— Transcrição da apresentação:

1

2 POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA
Duas semirretas com a mesma reta suporte têm o mesmo sentido se uma contém a outra. Duas semirretas com retas suporte distintas têm o mesmo sentido se forem paralelas e se estiverem contidas num mesmo semiplano determinado pelas respetivas origens. Duas semirretas paralelas dizem-se diretamente paralelas se têm o mesmo sentido e inversamente paralelas se não têm o mesmo sentido. Concorrentes Perpendiculares Oblíquas Retas Paralelas As posições relativas das semirretas e dos segmentos de reta são as mesmas das retas que os contêm.

3 POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA
Exemplo Considera a figura seguinte. Utilizando as letras da figura, indica: duas retas paralelas; dois segmentos de reta perpendiculares; uma semirreta diretamente paralela à 𝐴 𝐵; uma semirreta inversamente paralela à 𝐷 𝐸. Resolução Por exemplo, FH e EI. Por exemplo, [FB] e [AD]. Por exemplo, 𝐷 𝐶. Por exemplo, 𝐶 𝐼.

4 ÂNGULOS Um ângulo é a região do plano delimitada por duas semirretas com a mesma origem. Ângulo convexo Ângulo côncavo O B A A cada uma das semirretas dá-se o nome de lado do ângulo. À origem das semirretas chama-se vértice do ângulo. No ângulo BAC: 𝐴 𝐵 e 𝐴 𝐶 são os lados; A é o vértice. Dois ângulos com a mesma amplitude são geometricamente iguais.

5 ÂNGULOS O ângulo não giro 𝒂 é a soma de dois ângulos 𝑏 e 𝑐 se 𝑎 for igual à união de dois ângulos adjacentes 𝑏’ e 𝑐’, respetivamente iguais a 𝑏 e 𝑐. O ângulo giro é a soma de outros dois se estes forem iguais, respetivamente, a dois ângulos não coincidentes, com os mesmos lados.

6 ÂNGULOS Dois ângulos situados no mesmo plano dizem-se adjacentes quando partilham o mesmo lado e nenhum dos ângulos está contido no outro. A bissetriz de um ângulo é a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma, com cada um dos lados, ângulos iguais. O ângulo 𝐴𝑂𝐵 é adjacente ao ângulo 𝐵𝑂𝐶. 𝑂 𝐶 é a bissetriz de ∢𝐴𝑂𝐵. Assim, ∢𝐴𝑂𝐶 é geometricamente igual a ∢𝐶𝑂𝐵.

7 ÂNGULOS Exemplo Considera a figura seguinte.
Diz, justificando, se os ângulos BAC e BAD são adjacentes. Sabendo que 𝐴 𝐶 é a bissetriz do ângulo BAD, o que podes dizer relativamente aos ângulos BAC e CAD? Resolução Os ângulos BAC e BAD não são adjacentes, pois, apesar de partilharem o lado 𝐴 𝐵, o ângulo BAC está contido no lado BAD. Como 𝐴 𝐶 é a bissetriz do ângulo BAD, os ângulos BAC e CAD são geometricamente iguais.

8 MEDIÇÃO DE UM ÂNGULO Medida de amplitude de um ângulo A amplitude do ângulo 𝐴𝑂𝐵 representa−se por 𝐴 𝑂 𝐵. A unidade de medida de amplitude de um ângulo é o grau (°). Cada grau é dividido em 60 minutos (‘) e cada minuto é dividido em 60 segundos (‘’). A amplitude de um ângulo pode estar escrita na forma complexa (ex. 3° 11’ 24’’) ou incomplexa (ex ’’ = 3,19°). Classificação de ângulos 𝛼 𝛼 𝛼 Agudo Reto Obtuso 0°< 𝛼 <90° 𝛼 =90° 90°< 𝛼 <180° 𝛼 𝛼 𝛼 Nulo Raso Giro 𝛼 =0° 𝛼 =180° 𝛼 =360°

9 MEDIÇÃO DE UM ÂNGULO Medição e construção de um ângulo
Para medires ou construíres um ângulo deves utilizar um transferidor. Exemplo Classifica os ângulos seguintes. 𝑎 =35°; 𝑏 = 5757 ′ ; 𝑐 =85° 270 ′ 1800′′ Resolução 𝑏 = 5757 ′ =95° 57′ 𝑐 =85° 270 ′ ′′ =90° O ângulo a é agudo, b é obtuso e c é reto. 5757 ′ 60 357 95° 57 ′ 1800 ′′ 60 270 ′ + 30 ′ =300′ 300′ 85°+5°=90° 00 30′ 5° 0′′

10 ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES. ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOS Ângulos complementares Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é igual a um ângulo reto, ou seja, quando a soma das suas amplitudes é 90°. Ângulos suplementares Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua soma é igual a um ângulo raso, ou seja, quando a soma das suas amplitudes é 180°. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 + 𝑏 =90° 𝑐 + 𝑑 =180°

11 ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES. ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOS Ângulos verticalmente opostos Dois ângulos verticalmente opostos são iguais. Exemplo Considera a figura. Determina, justificando, os valores desconhecidos. 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 = 𝑐 𝑏 = 𝑑 Resolução 𝑥 =90°−54°=36° , porque são ângulos complementares. 𝑦 =30° , porque são ângulos verticalmente opostos. 𝑧 =180°−30°=150° , porque são ângulos suplementares.

12 ÂNGULOS CORRESPONDENTES
ÂNGULOS CORRESPONDENTES. ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Ângulos correspondentes Dois ângulos correspondentes são iguais quando (e apenas quando) são determinados por retas paralelas. Ângulos alternos internos Dois ângulos alternos internos são iguais quando (e apenas quando) são determinados por retas paralelas. a b Se 𝑡//𝑟 então 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 Se 𝑡//𝑟 então 𝑎 = 𝑏

13 ÂNGULOS CORRESPONDENTES
ÂNGULOS CORRESPONDENTES. ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Ângulos alternos externos Dois ângulos alternos externos são iguais quando (e apenas quando) são determinados por retas paralelas. Exemplo Considera a figura. Sem efetuar cálculos, determina, justificando, os valores desconhecidos. Se 𝑡 //𝑟 então 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑   Resolução 𝑥 =133° , porque são ângulos correspondentes determinados por retas paralelas. 𝑦 =47° , porque são ângulos alternos internos determinados por retas paralelas. 𝑧 =133° , porque são ângulos alternos externos determinados por restas paralelas.

14 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Ângulos convexos de lados paralelos dois a dois: são iguais - se forem ambos agudos ou ambos obtusos, isto é, se forem da mesma espécie; são suplementares - se um for agudo e outro obtuso, isto é, se forem de espécies diferentes. r // s e t // u

15 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Ângulos convexos de lados perpendiculares dois a dois: são iguais - se forem ambos agudos ou ambos obtusos, isto é, se forem da mesma espécie; são suplementares - se um for agudo e outro obtuso, isto é, se forem de espécies diferentes. r ⊥ s e t ⊥ u 𝑎 = 𝑏 r ⊥ s e t ⊥ u 𝑎 + 𝑏 =180°

16 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Exemplo Para cada alínea, determina, justificando, os valores desconhecidos. .   Resolução 𝑥 =180°−32°=148° , porque como são ângulos de lados paralelos de espécies diferentes, são suplementares. 𝑦 =19° , porque como são ângulos de lados perpendiculares da mesma espécie, são iguais.

17