Potências da unidade imaginária. Para as potências do tipo i n da unidade imaginária i, n natural, valem as definições. i 0 = 1i 1 = ii 2 = –1 Para n.

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1 Potências da unidade imaginária

2 Para as potências do tipo i n da unidade imaginária i, n natural, valem as definições. i 0 = 1i 1 = ii 2 = –1 Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciação em ℝ.

3 Potências da unidade imaginária Acompanhe a seqüência. i 0 = 1 i 1 = i i 2 = –1 i 3 = i 2. i= (–1). i= –i i 4 = i 2. i 2 = (–1).(–1)= 1 i 5 = i 4. i= (1). i= i i 6 = i 4. i 2 = 1.(–1)= –1 i 7 = i 4. i 3 = 1.(–i)= –i......................................

4 Potências da unidade imaginária Qualquer potência de i n, n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras. i 0 = 1i 1 = ii 2 = –1 i 3 = –i O valor de i n é o mesmo de i R, sendo R o resto da divisão de n por 4.

5 Exemplos Calcular i 42 + i 37. 1 37 9102 4442 i 42 = i 2 = –1 i 37 = i 1 = i i 42 + i 37 = –1 + i

6 Exemplos Calcular i 4n – 2. i 4n – 2 = i 4n i2i2 = (i 4 ) n –1 = 1n1n = –1 i 4n – 2 = –1

7 Potenciação de complexos (expoente natural)

8 Potenciação de complexos Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência z n é, por definição, o produto de n fatores iguais a z. z 0 = 1 (z ≠ 0) z 1 = z z n = z. z.z....z n fatores

9 Exemplos (3+i) 0 = 1 (–5 + 2i) 1 = –5 + 2i (2 – 3i) 2 = 4 – 12i + 9i 2 = 4 – 12i – 9= –5 – 12i (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i – 3 – i= –2 + 2i

10 Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i) 2 seja imaginário puro. z = (k + 2i) 2 = k 2 + 4ki + 4i 2 = k 2 – 4 + 4ki z imaginário puro, devemos ter Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0 ⇒ k 2 – 4 = 0 4k ≠ 0 ⇒ k = ± 2

11 Potenciação de complexos (expoente inteiro negativo)

12 Potenciação de complexos A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se: 1 z z –n = n

13 Exemplos Sendo z = 1 – i, calcular z –2. z –1 = 1 z = 1 1 – i = Primeiro vamos calcular z –1 ; depois z –2. 1 + i 1 2 – i 2 = 1 + i 2 z –2 = (z –1 ) 2 = 1 + i 2 2 = 1 + 2i + i 2 4 = 1 + 2i – 1 4 z –2 = (z –1 ) 2 = 2i 4 = i 2 1 + i (1 – i).(1 + i) =