9 Matemática financeira Capítulo ANOTAÇÕES EM AULA

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1 9 Matemática financeira Capítulo ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 9 – Matemática financeira CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

2 Razão Chama-se razão entre dois números reais a e b, com b ≠ 0, nessa ordem, a divisão ou o quociente entre a e b. Indica-se a razão entre a e b por: ou a:b numerador ou antecedente da razão denominador ou quociente da razão 9.1

3 Razão Exemplos a) Coleção. Juliana coleciona CDs de cantoras nacionais e de cantoras internacionais. Na coleção, há 3 CDs de cantoras brasileiras e 2 CDs de cantoras internacionais. A razão entre o número de CDs de cantoras brasileiras e o número de CDs de cantoras internacionais é . Como, para cada 5 CDs do total, 3 são de cantoras brasileiras e 2 são de cantoras internacionais, a razão entre o número de CDs de cantoras brasileiras e o total de CDs é , e a razão entre o número de CDs de cantoras internacionais e o total é . 9.2

4 Razão Exemplos b) Concurso. Para participar de uma olimpíada de Matemática, do total de 500 alunos de uma escola, inscreveram-se 100. Sendo que dos 40 alunos do 1o ano A do Ensino Médio, inscreveram-se 8. A razão entre o número de participantes e o número total de alunos da escola é: A razão entre o número de participantes do 1o ano A e o número total de alunos dessa classe é: 9.2

5 Proporção Dizemos que quatro números reais não nulos, a, b, c e d, formam, nessa ordem, uma proporção quando a razão é igual à razão . Indicamos: = ou a:b = c:d meios ou termos do meio extremos = extremos ou termos extremos meios Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: = = 9.3

6 Proporção Exemplos a) Vamos determinar o valor de x sabendo que as razões e formam uma proporção. = Portanto, o valor de x é 1. 9.4

7 Proporção Exemplos b) Seleção. O setor de recursos humanos de uma empresa constatou que, dos entrevistados para uma vaga, a razão entre o número de aprovados e o de reprovados é . Sabendo que 4 candidatos foram aprovados, para descobrir o total de pessoas entrevistadas, calculamos inicialmente a quantidade de reprovados (x): = Portanto, 4 candidatos foram aprovados e 14 foram reprovados, totalizando 18 pessoas entrevistadas. 9.4

8 Números diretamente proporcionais e números inversamente proporcionais
Os números reais não nulos a, b, c, ... são diretamente proporcionais aos números reais não nulos A, B, C, ..., nessa ordem, quando: = constante de proporcionalidade 9.5

9 Números diretamente proporcionais e números inversamente proporcionais
Os números reais não nulos a, b, c, ... são inversamente proporcionais aos números reais não nulos A, B, C, ..., nessa ordem, quando: = ou 9.5

10 Números diretamente proporcionais e números inversamente proporcionais
Exemplos a) Os números 60, 120 e 180 são diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3, pois: = = = 60 b) Os números 40, 60 e 80 são inversamente proporcionais aos números 6, 4 e 3, pois: = ou 40 ∙ 6 = 60 ∙ 4 = 80 ∙ 3 = 240 9.6

11 Exercício resolvido R1. Na tabela abaixo, as grandezas x e y são diretamente proporcionais. Determinar os valores de a e de b. Resolução x 4 a 7 Como x e y são diretamente proporcionais, a razão entre os números da primeira linha (x, 4, a, 7) e o seu correspondente na segunda (y, 2, 7, b) é constante, ou seja: y 2 7 b = Então: e 9.7

12 Exercício resolvido R2. Dividir o número 33 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 4. Resolução Sendo x, y e z as partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 4, respectivamente, podemos montar um sistema: De (II), temos: x = 2k, y = 5k e z = 4k  De (I), temos: 2k + 5k + 4k = k = 3  Portanto: x = 6, y = 15 e z = 12 9.8

13 Exercício resolvido R3. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 11. Resolução Sendo x, y e z as partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 11, respectivamente, temos: De (II), temos: x = k, y = e z =   De (I), temos: k = k = 44 Portanto: x = 44, y = 22 e z = 4 9.9

14 Taxa percentual Taxa percentual ou porcentagem é a razão entre um número real p e o número 100. Indicamos assim: ou p%.  Observe que porcentagem é um conceito relativo, ou seja, só podemos falar em porcentagem de alguma quantidade.  9.10

15 Taxa percentual Exemplos a) 25% de 200 = b) 80% de 42 =
c) 120% de 60 = d) 30% de 40% de 75 = 9.11

16 Exercício resolvido R4. No primeiro dia de aula, numa determinada classe, o professor de Matemática constatou que naquela turma a razão entre o número de moças e o número de rapazes é . Qual é a porcentagem de rapazes nessa turma? Resolução Como a razão entre o número de moças e o número de rapazes é , para cada 13 moças há 12 rapazes nessa turma, ou seja, de cada 25 pessoas, 13 são moças e 12 são rapazes. Assim, a quantidade de rapazes em relação ao total de alunos é dada por: Portanto, a porcentagem de rapazes é 48% 9.12

17 Aplicações de taxa percentual
De maneira geral, quando um valor inicial V0 recebe acréscimo ou desconto pela aplicação de uma taxa percentual i, o valor final Vf é dado por:  Vf = V0 ∙ (1 ± i) Nessa expressão, o sinal é positivo se há acréscimo e negativo se há desconto. Nesse caso, a taxa percentual i deve ser utilizada na forma de número decimal. Por exemplo, uma taxa percentual de 25% implica i = 0,25. 9.13

18 Vf = V0 ∙ (1 ± i1) ∙ (1 ± i2) ∙ (1 ± i3) ∙ ... ∙ (1 ± in)
Acréscimos e descontos sucessivos De modo geral, quando um valor inicial V0 sofre variações sucessivas de taxas i1, i2, i3, ..., in, o valor final Vf pode ser determinado por: Vf = V0 ∙ (1 ± i1) ∙ (1 ± i2) ∙ (1 ± i3) ∙ ... ∙ (1 ± in) Nessa expressão, o sinal é positivo se a taxa indica acréscimo e negativo se indica decréscimo. A taxa de variação total, quando comparamos os valores inicial e final, é chamada de taxa acumulada e indicada por: iacumulada. Assim: 9.14

19 Exercício resolvido R5. Mercado automobilístico. Especialistas do mercado de veículos afirmam que um automóvel zero quilômetro sofre uma depreciação de 15% ao ano nos 3 anos seguintes ao da fabricação, estabilizando-se num patamar inferior nos anos posteriores. Se hoje um veículo zero quilômetro custa R$ ,00, qual será seu valor daqui a 3 anos, considerando as previsões dos especialistas? 9.15

20 Exercício resolvido R5. Resolução
Como a taxa de depreciação é constante nos 3 anos, temos: Portanto, o valor do veículo será R$ ,00. 9.15

21 Exercício resolvido R6. Comércio. Um lojista aumentou o preço de um produto em 61% ao aplicar acréscimos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, qual foi a taxa percentual do segundo? Resolução 61% representa a taxa acumulada que corrigiu o preço do produto; então:  Portanto: i2 = 0,4 = 40% 9.16

22 Lucro e prejuízo De maneira geral, podemos entender lucro como o ganho obtido em uma operação comercial. O lucro é gerado pela diferença entre o preço de venda de uma mercadoria e o preço de custo (fabricação ou compra).  Sendo Pv o preço de venda, Pc o preço de custo e L o lucro, podemos escrever: L = Pv – Pc Quando o lucro é negativo, ou seja, quando o preço de custo é maior que o preço de venda, dizemos que houve prejuízo. 9.17

23 Lucro e prejuízo Exemplo
Comércio. Um produto tem preço de custo de R$ 160,00 e é vendido por R$ 200,00.  Vamos calcular a porcentagem do lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda. Como L = PV – PC, temos: L = 200 – 160  L = 40 Portanto, o lucro é R$ 40,00.  A porcentagem do lucro sobre o preço de custo é: A porcentagem do lucro sobre o preço de venda é: 9.18

24 Exercício resolvido R7. Comércio. Um relógio antigo foi vendido por R$ ,00 com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. Por quanto o relógio havia sido comprado? Resolução Do enunciado, temos: PV = (1 – 0,2) ∙ PC Como PV = , então: = (1 – 0,2) ∙ PC  PC = Portanto, o relógio havia sido comprado por R$ ,00.  9.19

25 Exercício resolvido R8. Comércio. Ao vender uma mercadoria, uma pessoa teve lucro de 40% sobre o preço de venda. Qual é a porcentagem do lucro em relação ao preço de custo?  Resolução Pelo enunciado, temos: Sabemos que L = PV – PC, então vamos escrever PC em função de PV: Como queremos saber , então: Portanto, a porcentagem do lucro sobre o preço de custo é aproximadamente 67%. 9.20

26 Juro simples e juro composto
Quando investimos ou pedimos emprestado um valor em dinheiro, devemos receber ou pagar uma compensação financeira pelo tempo de investimento ou de empréstimo, dependendo da situação. Essa compensação é denominada juro. Para calcular o juro devemos considerar: o capital (C), valor investido ou pedido emprestado;  o tempo (t), do início ao fim da operação;  a taxa de juro (i), taxa percentual recebida ou paga pelo capital em relação ao tempo. O valor em dinheiro ao final da operação (capital + juro) é denominado montante (M).  9.21

27 Regime de juro simples No regime de juro simples, a taxa de juro incide sempre sobre o capital inicial. Vamos considerar, por exemplo, um investimento de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 1,5% ao mês. Observe, na tabela, a seguir, como calculamos o montante ao final de cada um dos três primeiros meses.

28 Regime de juro simples Período Montante (em real) M0 = 1.000 início
após 1 mês M0 juro referente ao 1o mês M2 = ∙ 0,015 = 1.030 após 2 meses M1 juro referente ao 2o mês M3 = ∙ 0,015 = 1.045 após 3 meses M2 juro referente ao 3o mês juro referente aos três meses (1.000 ∙ 0,015 ∙ 3) 9.22

29 Regime de juro simples Em qualquer transação financeira em que o regime é de juro simples, sendo C o capital, i a taxa percentual de juro, t o tempo, J o juro e M o montante, temos:  J = C ∙ i ∙ t M = C + J Como J = C ∙ i ∙ t e M = C + J, então: M = C ∙ (1 + it) 9.23

30 ianual = 12 ∙ imensal  ianual = 24%
Exercício resolvido R9. Finanças. Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juro simples de 2% ao mês. Determinar a taxa equivalente ao ano, o juro recebido após 1 mês, após 5 meses e o montante após 8 meses. Resolução A taxa equivalente ao ano, no regime de juro simples, é: ianual = 12 ∙ imensal  ianual = 24% O juro, em real, recebido após 1 mês de aplicação é: J = C ∙ i ∙ t  J = ∙ 0,02 ∙ 1  J = 20  9.24

31 Exercício resolvido R9. Resolução
O juro, em real, recebido após 5 meses de aplicação é: J = C ∙ i ∙ t  J = ∙ 0,02 ∙ 5  J = 100 Para obter o montante após 8 meses de aplicação, calculamos inicialmente o juro no período: J = ∙ 0,02 ∙ 8  J = 160 Agora, somamos o juro ao capital: M = C + J  M =  M = 1.160   Portanto, a taxa equivalente ao ano é de 24% o juro recebido após 1 mês é R$ 20,00, após 5 meses é R$ 100,00 e o montante após 8 meses é R$ 1.160,00. 9.24

32 Exercício resolvido R10. Finanças. Calcular o juro que rende um capital de R$ 7.500,00 aplicado à taxa de 12% ao ano, durante 5 meses. Resolução Podemos resolver o problema de duas maneiras: Utilizando a taxa equivalente ao mês: i = 12% ao ano = 1% ao mês J = ∙ 0,01 ∙ 5  J = 375  Utilizando a fração do ano correspondente ao número de meses dados: 5 meses do ano  J = ∙ 0,12 ∙  J = 375 Portanto, o capital rende juro de R$ 375,00. 9.25

33 Regime de juro composto
No regime de juro composto, o juro é calculado sempre sobre o resultado da aplicação anterior, ou seja, calculamos “juro sobre juro”. Acompanhe, na tabela a seguir, a evolução do montante gerado pelo investimento de R$ 1.000,00 à taxa de 2% ao mês sob os regimes de juro simples e de juro composto.  9.26

34 Regime de juro composto
Juro simples Juro composto Período M0 = 1.000 M0 = 1.000 início após 1 mês M1 = ∙ 0,02 ∙ 1 M1 = 1.020 M1 = ∙ 0,02 M1 = 1.020 após 2 meses M2 = ∙ 0,02 ∙ 2 M2 = 1.040 M2 = ∙ 0,02 M2 = 1.040,40 M3 = ∙ 0,02 ∙ 3 M3 = 1.060 M3 = 1.040, ,40 ∙ 0,02 M3 ≃ 1.061,21 após 3 meses 9.26

35 Regime de juro composto
Juro simples Juro composto Período após 4 meses M4 = ∙ 0,02 ∙ 4 M4 = 1.080 M4 = 1.061, ,21 ∙ 0,02 M4 ≃ 1.082,43 após 5 meses M5 = ∙ 0,02 ∙ 5 M5 = 1.100 M5 = 1.082, ,43 ∙ 0,02 M5 ≃ 1.104,10 após t meses Mt = ∙ (1 + 0,02t) Mt = ∙ (1 + 0,02)t 9.26

36 Regime de juro composto
Vamos detalhar os cálculos feitos na coluna do juro composto ao final de cada mês: após 1 mês: M1 = C + Ci  M1 = C(1 + i) após 2 meses: M2 = M1 + M1i = M1(1 + i) M2 = C(1 + i) ∙ (1 + i) = C(1 + i)2 após 3 meses: M3 = M2 + M2i = M2(1 + i) M3 = C(1 + i)2 ∙ (1 + i) = C(1 + i)3 após 4 meses: M4 = M3 + M3i = M3(1 + i) M4 = C(1 + i)3 ∙ (1 + i) = . C(1 + i)4 9.26

37 Regime de juro composto
. após t meses: Mt = Mt–1+ Mt–1i = Mt–1(1 + i) Mt = C(1 + i)t–1 ∙ (1 + i) =  C(1 + i)t Assim, o montante que resulta dessa aplicação é calculado da seguinte forma: M = C(1 + i)t 9.26

38 Regime de juro composto
Exemplo Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de 10% após 4 meses. No regime de juro simples: M1 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 1) = 220 M2 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 2) = 240 M3 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 3) = 260 M4 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 4) = 280 termos de uma PA de razão 20 9.27

39 Regime de juro composto
Exemplo Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de 10% após 4 meses. No regime de juro composto: M1 = 200 ∙ (1 + 0,1)1 = 220 M2 = 200 ∙ (1 + 0,1)2 = 242 M3 = 200 ∙ (1 + 0,1)3 = 266,20 M4 = 200 ∙ (1 + 0,1)4 = 292,82 termos de uma PG de razão 1,1 9.27

40 Exercício resolvido R11. Poupança. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado numa caderneta de poupança, que rende juro composto de 1,2% ao mês. Qual foi o saldo (montante) dessa caderneta após 6 meses de aplicação, se durante esse período não houve nenhuma outra movimentação na conta?  Resolução Aplicando a fórmula do juro composto, temos: M = ∙ (1 + 0,012)6  M = ∙ (1,012)6 ≃ 1.611,29  Portanto, após 6 meses de aplicação o saldo dessa caderneta foi de aproximadamente R$ 1.611,29.  9.28

41 Exercício resolvido R12. Depreciação. O valor de uma máquina sofre depreciação anual de 25%. Se hoje ela custa R$ 2.000,00, daqui a quantos anos ela valerá metade do que vale hoje? (Adotar: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) Resolução Aplicando a fórmula do juro composto, a definição e as propriedades operatórias dos logaritmos, temos: 1.000 = (1 – 0,25)t  (0,75)t = t = t = 9.29

42 Exercício resolvido R12. Resolução Como = 0,30 e , temos: t =
Portanto, a máquina terá seu valor reduzido à metade em 2 anos e meio, contados a partir de hoje. 9.29

43 Exercício resolvido R13. Dívida. Uma dívida contraída a juro composto, com taxa mensal constante, aumentou 69% em dois meses. Qual era a taxa mensal de juro? Resolução É importante perceber que 69% é a taxa acumulada sobre a dívida no período de dois meses. Assim:  (1 + 0,69) = (1 + imensal)2  1 + imensal = imensal = 0,30  imensal = 30%  9.30

44 Exercício resolvido R14. Condições de pagamento. Uma loja oferece as seguintes alternativas para o pagamento de uma mercadoria: à vista, com 3% de desconto sobre o preço de tabela; com cheque pré-datado para 30 dias, no valor de tabela da mercadoria. Considerando que um indivíduo tenha dinheiro para comprar a mercadoria à vista e que esse dinheiro possa ser aplicado a uma taxa de 0,8% ao mês, qual é a opção mais vantajosa para o consumidor?   9.31

45 Exercício resolvido R14. Resolução
Sendo Pt o preço de tabela da mercadoria e Pv seu preço à vista, temos: Pv = 0,97 ∙ Pt (desconto de 3% sobre o preço de tabela) Se o valor à vista da mercadoria fosse aplicado, produziria um montante, após 1 mês, de: M = 0,97 ∙ Pt ∙ (1 + 0,008)  M = 0,97776 ∙ Pt  9.31

46 Exercício resolvido R14. Resolução
Logo, após 30 dias o valor resgatado na aplicação seria insuficiente para saldar o cheque pré-datado, pois: Portanto, é mais vantajoso para o consumidor pagar a mercadoria à vista.  0,97776 ∙ Pt < Pt 9.31

47 Atualização financeira
Seja i a taxa de juro composto e t o tempo: para obter o valor futuro, multiplica-se o valor presente por (1 + i)t;  para obter o valor presente, divide-se o valor futuro por (1 + i)t. 9.32

48 Exercício resolvido R15. Comércio. Uma compra de R$ 600,00 vai ser paga em 3 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira à vista. Determinar o valor de cada parcela sabendo que a loja cobra juro de 6,5% ao mês. Resolução no ato 30 dias (1 mês) 60 dias (2 meses) x valor (em reais) Inicialmente, vamos calcular o valor presente de cada uma das parcelas. Observe o esquema:  9.33

49 Exercício resolvido R15. Resolução
A soma da entrada (valor pago no ato da compra) com as demais parcelas atualizadas monetariamente (descontado o juro) fornece o valor da compra à vista: x = 600 Resolvendo a equação, obtemos x ≃ 212,72. Portanto, o valor de cada parcela do financiamento é, aproximadamente, R$ 212,72. 9.33

50 Exercício resolvido R16. Financiamento. Um grande magazine anuncia a venda de uma bicicleta por R$ 300,00 à vista, ou R$ 50,00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$ 135,00. Qual é a taxa mensal de juro no plano a prazo? (Utilize: = 78) Resolução 30 dias (1 mês) 60 dias (2 meses) no ato 50 135 valor (em reais) Inicialmente, vamos calcular o valor presente de cada uma das parcelas. Observe o esquema: 9.34

51 Exercício resolvido R16. Resolução
A soma da entrada com as duas prestações mensais atualizadas monetariamente (descontado o juro) fornece o valor à vista da bicicleta (R$ 300,00): = 300 9.34

52 Exercício resolvido R16. Resolução
Para resolver essa equação, fazemos (1 + i) = k: = 300 250k2 – 135k – 135 = 0 50k2 – 27k – 27 = 0 k = k = 1,05 ou k = – 0,51 (não é conveniente)  Logo: (1 + i) = 1,05 ⇒ i = 0,05 Portanto, a taxa de juro no plano a prazo é de 5%. 9.34

53 Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: Vendas e atendimento: Tel. (0__11) Fax (0__11) 2012