Pesquisa Operacional Planejamento Programação Matemática Economia

Apresentação em tema: "Pesquisa Operacional Planejamento Programação Matemática Economia"— Transcrição da apresentação:

1 Pesquisa Operacional Planejamento Programação Matemática Economia Aplicações: Otimização Minimização Sujeitos à Maximização Restrições Finalidades: Melhores opções Identificações de Gargalos Diretrizes para expansão Potenciais de aplicabilidade

2 1936 -Wassily Leontieff Conjunto de Equações Lineares 1939 – Kantorovick Planejamento da Produção Frank Hitchcock Transportes 1945 – George Stigler Dieta do NY Times: Farinha de trigo , Repolho, Fígado Bovino US$ 59,88 1947 – George Dantzig Método Simplex Força Aérea dos Estados Unidos

3 Atualmente: - Rações - Adubos - Ligas Metálicas -Petróleo - Minérios - Transporte - Investimentos Financeiros -Localizações Industriais Compras Redes Designações

4 Operacionalização: Determinação dos Objetivos e Restrições: 1) Função Objetivo (o que se pretende obter) 2) Conjunto de Restrições (limitações técnicas, operacionais) Modelagem 2.1) Modelo: Representação de um sistema Matemática Programação Linear Determinação das variáveis das Função Objetivo Restrições

5 Modelagem Problema do Mundo Real Problema Matemático ST+2LX ≤ 40

6 Modelagem Problema do Mundo Real Emoções Interdependências Dúvidas
Impossibilidades Soluções Não otimizadas Excesso de Informações Conseqüências Excesso de Escolhas Desorganização

7 Modelagem Problema do Mundo Real Problema Matemático Objetividade
Coerência Otimização Emoções Excessos Desorganização

8 Modelagem Etapas: Problema do Mundo Real Problema Matemático
Reconhecimento e Familiarização com o Problema Definição das Variáveis Definição do Objetivo Definição do Conjunto de Restrições Matematização Modelo Matemático Interpretação dos Resultados

9 Exemplo: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Dados: Rádio Standard: A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dia Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00 Dados: Rádio Luxo: A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dia Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00 Restrições Fábrica só dispõe de 40 empregados

10 Modelagem: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Restrições (linha Standard) A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas ST ≤ 24n Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dia n = 1 ST ≤ 24 Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00 Lucro = 30ST Lucro Máximo: 30x24 = 720

11 Modelagem: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Restrições (linha Luxo) A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas LX ≤ 32n Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dia n = 1/2 LX ≤ 32/2 LX ≤ 16 Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00 Lucro = 40LX Lucro Máximo: 40x16 = 640,00

12 Modelagem: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Lucro = 30ST + 40LX Lucro = Lucro = 1360 Restrições A Fábrica só conta com 40 Funcionários e no exemplo acima são necessários 24(modelo ST) 32 (Luxo ) o que totaliza 56 funcionários! ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 LX ≤ 32

13 Modelo: Lucro = 30ST + 40LX Função Objetivo Sujeito a: ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 Restrições LX ≤ 32 Solução ótima : O modelo Standard gera um lucro maior por Trabalhador (30) do que o modelo luxo (40/2). Então Produzir o máximo de Standard e o que sobrar luxo ST +2LX ≤ LX ≤ LX ≤ 2LX ≤ 16 LX = 16/2 LX = 8 Lucro = 30 * * 8 Lucro = Lucro = 1.040

14 Método Gráfico: ST+2LX ≤ ST+2LX = 40 LX 20 ST + 2LX = 40 ST LX 20 ST + 2LX ST

15 ST ≤ 24 LX 20 ST 24 LX ≤ 16 16

16 Todas as Restrições Juntas
Região SIMPLEX ST LX 20 40 ST LX 20 16 16 24 24

17 Função Objetivo: Lucro = 30ST + 40LX -40LX = 30ST –Lucro 40LX = -30ST + Lucro LX = -30ST + Lucro 40 LX = -30ST + Lucro LX = -3ST + Lucro Y = ax+b (equação da reta) -3ST Coeficiente Angular Lucro = Coeficiente Linear 4 (Inclinação da reta) (onde encontra (Relação entre os Lucros) o eixo Y)

18 Isolucros LX 20 Lucro = 800 26 ST LX 30 26 20 Lucro = 800 Lucro = 1040 Lucro =1200 ST

19 Melhor opção LX 30 26 20 Lucro =1200 Região Simplex Lucro = 1040 Lucro = 800 ST Reta mais longe da origem dentro da região Simplex ST = 24, LX = 8 e Lucro = 1040

20 Exemplo 2 (Minimização):
O canil AWAU, dispõe de dois ingredientes para a formulação da Ração diária de seus cães o Ingrediente “A” custa R$0,03 o kg. o ingrediente “B “ custa 0,04. A composição de vitaminas dos ingredientes são apresentadas Na tabela abaixo: Composição dos Ingredientes

21 Necessidade Nutricional
Problema: A Necessidade Nutricional por Semana dos Cachorros é Apresentada na tabela abaixo: Necessidade Nutricional

22 Necessidade Nutricional
Informações: Custo dos Ingredientes Necessidade Nutricional Composição dos Ingredientes Objetivo: Minimizar o Custo da Ração

23 Definir as Variáveis do Problema
Definir a Função Objetivo 1) Variável a ser Otimizada: Custo (minimização) Variáveis Básicas : A (Qtde A) , B (QtdeB). 2 Função Objetivo: Custo = 0,03A ,04B

24 Necessidade Nutricional
3 Definir o Conjunto de Restrições Necessidade Nutricional Composição dos Ingredientes Restrições: 5A + 25B ≥ 50 25A +10B ≥ 100 10A+ 10B ≥ 60 35A +20B ≥ 180

25 Modelo: OBJETIVO: Minimizar o custo = 0,03A ,04B Sujeito as seguintes restrições: 5A + 25B ≥ 50 25A +10B ≥ 100 10A+ 10B ≥ 60 35A +20B ≥ 180

26 3 Restrições 5A + 25B ≥ 50 B A 10 2

27 3 Restrições B A 10 4 25A + 10B ≥

28 3 Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 2 A 10 A 4

29 3 Restrições B A 6 10A + 10B ≥ 60

30 3 Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 100 2 10 A A 4 B 10A + 10B ≥ 60 6 6 A

31 3 Restrições B A 9 5 35A + 20B ≥ 180

32 3 Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 100 2 10 A A 4 B B 9 35A + 20B ≥ 180 10A + 10B ≥ 60 6 6 A 5 A

33 3 Restrições B A 10 Região De Escolha

34 3 Restrições A B 10

35 Função Objetivo: Custo = 0,03A + 0,04B
Suponha um custo qualquer por exemplo 0, (múltiplo de 0,03 e 0,04) 0,36 = 0,03A + 0,04B 36 = 3A +4B -4B = 3A B = -3A B = -3A + 36 4 B = -3A + 9 B A B 10 9 A 12 10

36 Otimização B 9 Custo = 0,36 A 10 12

37 Otimização B 9 Custo = 0,36 A 10 12

38 Otimização B 9 Custo = 0,36 1 A 5 10 12 Custo = 0,03A + 0,04B Custo = 0,03x5 +0,04 Custo = 0,19

39 Otimização B 9 Custo = 0,19 1 A 5 10