Progressão Geométrica

Apresentação em tema: "Progressão Geométrica"— Transcrição da apresentação:

1 Progressão Geométrica
MATEMÁTICA Progressão Geométrica Prof. MANUEL

2 PG  Progressão Geométrica
xq xq xq (a1, a2, a3, a4...) Razão : q = a2 = a3 = ... = K a1 a1 Ex: (2, 4, 8, 16, ... ) Razão: q = 4 = 8 = 16 = 2

3 2) Fórmula Geral: an= a1 . qn-1 an= ab . qn-b 
a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 an= a1 . qn-1 an= ab . qn-b  x2 Ex: (2, 4, 8, 16, ... ) an=ab.qn-b a1 a2 a3 a4 Calcule a6=? a6=a3.q6-1 a3=8 a6=8.25 = 8.32 = 256 R=2

4 3) (2, 4, 8, 16, 32, ... ) Ex: PG q = 2 S5= a1+a2+a3+a4+a5
Sn= a1.(qn-1) q-1  Soma Limitada Ex: S5= a1.(q5-1) = 2.(25-1) = 2.(32-1) q S5= = 62

5 4) Ex: (2, 4, 8) 5) (1, ½, ¼, 1/8, ... ) (a1, a2, a3) (a2/q, a2, a2.q)
xq=2 4) Ex: (2, 4, 8) (a1, a2, a3) (4/2, 4, 4.2) (a2/q, a2, a2.q) X1/2 5) (1, ½, ¼, 1/8, ... ) X1/2 X1/2 1+1/2+1/4+1/8+ ... S = a1 1- q 8 S = = = 2 1-1/ /2 8 Soma ilimitada

6 +R xq P.A. (a1, a2, a3, ... ) P.G. (a1, a2, a3, ... ) 1)R=a2-a1=a3-a2= ... = K(razão) 1) q=a2=a3= ... = K (razão) a1 a2 2) Fórmula: an=ab+(n-b).R 2) Fórmula: an=ab.qn-b 3) Soma dos termos: Sn=(a1+an).n 2 3) Soma dos termos: Sn=a1(qn-1) q-1 (a1, a2, a3) (x-R, x, x+R) (a1, a2, a3) (x/q, x, x.q) 5) S = a1 1-q 8

7 NOTA!!! (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) P.A. (R=2)  Crescente (R>0)
+2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) P.A. (R=2)  Crescente (R>0) (4, 2, 0, -2, -4, ... ) P.A. (R=-2)  Decrescente (R<0) +(-2) x2 (2, 4, 8, 16, 32, ... ) P.G. (q=2)  Crescente. (2, 1, ½, ¼, 1/8, ... ) P.G. (q=1/2)  Decrescente (2, -4, 8, -16, 32, ... ) P.G. (q=-2)  Alternante x1/2 x(-2)

8 DEMONSTRAÇÃO: Sn=a1(qn-1) q-1

9 an=a1.qn-1 Sn=(a1.qn-1).q1-a1 q-1 Sn=a1.qn- a1 q-1 Sn=a1(qn- 1) q-1

10 DIZIMA PERIÓDICA 1, 333... = P = 1 3 = 1 1 = 4 9...9 9 3 3 D. P.
+ 1, = P = = = 4 x D. P. Simples + 1, = P = = = 47 x

11 D. P. Composta x 1, = 1, x10 = 12, + 3 = = = 37 x = = 37

12 Nota: 1, ~ = 2 1, ~ = 1,6

13 S = a1 1-q 8 Demonstração x0,1 1, = 1 + 0,3 + 0,03 + 0, , S3= a1(0,13-1) = a1(0,001-1) q q-1 S20= a1(0,120-1) = a1(0, ) q q-1 q q-1 S = a1(0,1 –1) = a1(0-1) 8 8 S = a1 8 1-q S = -a1 x(-1) = a1 q-1 x(-1) q 8

14 EXERCÍCIOS: 01. (UCS-98/1) Numa P.G. decrescente, se o primeiro termo é 24 e o sétimo é 3, a razão é: a)V2 / 2 b)V2 c)V3 d)5/2 e)7/2 P.G. - decrescente a1=24 a7=3 q=? +-V(1/2)3 = q 6 an=ab.qn-b +-V1/2 = q 2 a7=a1.q7-1 3=24.q6 +-V1 . V2 = q V2 V2 1=8.q6 6 +-V1/8 = q +- V2 / 2 = q

15 02. (UNEB-98) O número de termos da P.G (1/4, ½, 1, ... , 256) é:
Obs: A ordem do último termo representa o nº de termos da sequência. x2 x2 (1/4, ½, 1, ... ,256) a)8 b)9 c)10 d)11 e)12 a1 a2 a an 2 1 an=ab.qn-b an=a3.qn-3 256=1.2n-3 28=2n-3 n-3=8 n=  11 termos

16 03. (UEFS-98) Um homem de 100 Kg começou uma dieta no dia 01/03
03. (UEFS-98) Um homem de 100 Kg começou uma dieta no dia 01/03. Pesando-se a cada 30 dias e registrando o seu peso em uma tabela, conforme ilustração abaixo, observou-se que, ao final de cada 30 dias, perdia 5% do peso registrado anteriormente. X0,95 P6=? a)100(0,05)4 b)100(0,05)5 c)100(0,50)4 d)100(0,95)4 e)100(0,95)5 (100, 95, ...) 01/03 100 Kg 01/04 95 Kg 01/05 P3 Kg 01/06 P4 Kg 01/07 P5 Kg 01/08 P6 Kg ... Nota 5%= 5/100= 0,05 1-0,05  0,95 a6=a1.q6-1 a6=100.0,955

17 04. (UCS-98/2) Em uma P.G. decrescente, o décimo-primeiro termo é 1 e o centésimo-primeiro termo é 1/512. O milésimo-primeiro termo dessa progressão é: a1001=a11.q an=ab.qn-b 100 a)1/ V2 b)1/ V2 c)1/ 2999 d)1/ 2100 e)1/ 299 10 a101=a11.q101-11 a1001=1.q990 1/ 512=1.q90 a1001=1.( V1/2)990 10 V 1/ 512 = q 90 a1001= (1/2)99 10 V(1/2)9 = q 90 a1001= 1/ 299

18 05. (UCS-99) O produto de três termos de uma Progressão Geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à soma 10 com os outros dois termos, então a razão desta progressão é: a1.a2.a3=216 a3=10+a1+a2 q=? (a1, a2, a3) a3=10+a1+a2 =64-4.3(-3) a)6 b)5 c)4 d)3 e)2 a2/q a2 a2.q 6q=10+6/q+6 =100 a2/q .a2. a2.q=216 6q/1=16/1+6/q -b+-V 2a a2=V216 3 a23=216 6q2=16q+6 q q=8+-10 6 a2=V = 6 3 6q2-16q-6=0 /2 (a1, a2, a3) q=-1/3 ou 3q2-8q-3=0 6/q q q=3

19 06. (BAIANA-99) A soma dos três termos de um PG crescente é 31 e o produto deles é 125. A razão desta progressão é: a1+a2+a3=31 a1.a2.a3=125 5/q+5/1+5q/1=31/1 5+5q+5q2=31q q a)5 b)7/2 c)5/2 d)2 e)5/4 (a1, a2, a3) 5q2+5q-31q+5=0 a2/q a2 a2.q 5q2-26q+5=0 =(-26)-4(5).(5) =576 a2/q.a2.a2.q=125 x= 10 a23=125 a2=5 x=0,2 ou x=5

20 07. (UFBA-adaptada) Cetro tipo de bactéria se reproduz, dividindo-se em duas, de meia em meia hora. Se isto se sucede simultaneamente a três bactérias, em 6 horas haverá x bactérias. Calcule x/128. h h h h h h a13 x2 27 128 x = = 3, 6, 12, 24 a13=a1.q13-1 128 x = = = 96 a13=3.212=x

21 08. (FABAC-98) Os números positivos x, (x-1)/2, 4/x formam, nesta ordem, uma P.G. Se x é o primeiro termo de uma P.A. de razão igual a 4, então o 5º termo da P.A. é igual a: (x, (x-1)/2, 4/x, ... ) PG Se os nº são positivos x=5 a)5 b)10 c)16 d)21 e)25 PG (5, (5-1)/2, 4/5, ... ) a2/a1=a3/a2 X2/5 (5, 2, 4/5, ... ) (x-1)/2 = 4/x x (x-1)/2 +4 PA (5, a, 13, ... ) ((x-1)/2).((x-1)/2)=x.4/x a5=a1+(5-1)R (x-1)2/4=4 (x-1)2=16 a5=5+4.4 x=5 x-1=+-4 a5=5+16 = 21 x=-3

22 09. (UESB-98) O sétimo termo de uma PG, de razão 2, é igual a 1
09. (UESB-98) O sétimo termo de uma PG, de razão 2, é igual a 1. A soma dos sete primeiros termos dessa progressão é igual a: Sn=a1(qn-1) an=ab.qn-b a7=1 q=2 a)1/63 b)6/17 c)116/17 d)136/13 e)127/64 S7=a1(q7-1) q-1 a7=a1.q7-1 S7=1/64 (27-1) 2-1 1=a1.26 S7=1/64 (128-1) 1 1/64=a1 S7=127/64

23 10. (FEBA-98) A solução da equação x+x/2+x/4+...=18 é:
(x, x/2, x/4, ... ) PG a)múltiplo de 2 b)divisor de 3 c)um nº primo d)múltiplo de 3 e)divisor de 6 1-q S = a1 8 1-1/2 18= x 1/2 18= x 18.1/2=x x=9

24 11. (UCS-85) Quantos são os nº naturais que satisfazem a inequação: x-2 + x-2 + x-2 + ... < 3?
X1/2 x-2 + x-2 + x < 3 a)infinitos b)1 c)2 d)3 e)5 S = a1 = (x-2)/2 < 3 1-q /2 8 1/2 (x-2)/2 < 3 x < 3 x-2 < 3 x < 5 05 nºs

25 12. Seja P = 9 . 3V3 . V3 ... Quando o número de fatores tende ao infinito, o valor limite desse produto é: X1/2 P = 9 . 3V3 . V3 ... 4 1-q 2+1+1/2+1/ = S = a1 8 P = /2 . 31/4 ... 1-1/2 S = 2 8 P = /2+1/4... = 34 1/2 S = 2 8 P = = 81 1 S = 2.2 = 4 8