Teoria dos conjuntos Conjunto – coleção, classe , grupo ou lista de elementos Designados por letras maiúsculas e um conjunto vazio é designado por  Um.

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1 Teoria dos conjuntos Conjunto – coleção, classe , grupo ou lista de elementos Designados por letras maiúsculas e um conjunto vazio é designado por  Um conjunto fica definido se forem indicados todos os seus elementos, uns após os outros, separados por vírgula e entre chaves.

2 Se a é um elemento de S, isto é, se a pertence a S, tem-se:
Se b não é um elemento de S, isto é, se b não pertence a S tem-se: Exemplos

3 Relações entre conjuntos
Conjuntos iguais – se ambos contém exatamente os mesmos elementos A = B Exemplos Tem-se A = C, A D e C D

4 Subconjunto Todo conjunto é subconjunto de si próprio
Se todo elemento de A é também elemento de S, A é um subconjunto de S e pode-se escrever A S Todo conjunto é subconjunto de si próprio Todo conjunto tem como subconjunto o conjunto vazio Tem-se

5 Operações com conjuntos
União A união de dois conjuntos A e B é um conjunto cujos elementos são os elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. Exemplo

6 Interseção A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto dos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B, isto é, dos elementos comuns aos dois conjuntos Exemplo

7 Conjuntos disjuntos Não possuem elementos comuns Exemplo

8 Complemento Se A é um subconjunto de S, o conjunto dos elementos que pertencem a S e não pertencem a A é denominado complemento de A em relação a S e é indicado por

9 Representação Geométrica
União Interseção A A B B Complemento S A

10 Propriedades A união e a interseção de conjuntos são propriedades comutativas a+b = b+a ab = ba A união e a interseção de conjuntos são propriedades associativas (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

11 União Interseção A A C C B B

12 Combinação de operações de união e interseção
Propriedade distributiva a(b+c) = ab+ac Propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma

13 A A C B C B Área quadriculada

14 Probabilidade Experimento: Todo fenômeno ou ação que geralmente pode ser repetido e cujo resultado é casual ou aleatório. Ex: jogar um dado Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Evento: todo subconjunto do espaço amostral. Evento simples ou elementar: todo subconjunto unitário do espaço amostral.

15 O espaço amostral relativo a um experimento pode ser representado de várias formas:
1) Lançamento de um dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) Lançamento de duas moedas E = {KK, KC, CK, CC} 3) Número de caras obtidas no lançamento de duas moedas E = {0, 1, 2} 4) Lançamento de uma moeda uma única vez E = {K, C}

16 Probabilidade 1 - Definição clássica: se um espaço amostral é constituído por n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se nA desses eventos têm o atributo A, então a probabilidade de A é: P(A) = nA/n Ex: Lançamento de um dado – a probabilidade associada a cada um dos eventos é 1/6. Crítica: ao se exigir que os n eventos possíveis sejam igualmente prováveis, utiliza-se o conceito que se pretende definir.

17 2 - Probabilidade como limite de freqüência relativa
Freqüência relativa do evento A é o quociente entre o número de vezes que o evento ocorreu (nA) e o número total de eventos observados (n).

18 Ex.: Sejam K e C os eventos cara e coroa relativos ao lançamento de uma moeda uma única vez. Se a moeda é feita de material homogêneo tem-se P(K) = P(C) = 0,5. Entretanto, se a moeda não for feita de material homogêneo para obter P(K) é necessário lançar uma moeda um número suficientemente grande de vezes e calcular: onde nK é o número de vezes que saiu cara em n lançamentos da moeda.

19 Criticas: 1. Se limita a casos em que o número de eventos observados pode crescer indefinidamente. 2. Não é possível uma interpretação rigorosa sem usar o próprio conceito de probabilidade. É um conceito útil na prática – companhias de seguros usam o conceito.

20 3 - O conceito moderno de probabilidade
Seja E um espaço amostral e seja A qualquer evento de E, isto é, A é um subconjunto de E. Então, por definição, a probabilidade de ocorrer A é dada pela medida de A, nas seguintes condições: 1) A medida do universo é 1: P(E) = 1 2) A medida é não negativa: P(A) > 0 3) Se A e B são dois eventos disjuntos, P(AB) = P(A) + P(B) Desses postulados segue-se que: 0  P(A)  1

21 O caso mais simples para se determinar a probabilidade é aquele em que o universo é constituído por n eventos elementares e, por razão de simetria, os eventos são igualmente prováveis; nesse caso, a probabilidade de cada evento elementar é 1/n. Assim, a probabilidade de sair 5 em um lançamento de um dado não chumbado é 1/6.

22 A probabilidade do complemento e o teorema da soma
Teorema: Seja E o espaço amostral. Então, a probabilidade de que A não ocorra é: Teorema da soma: Se A e B são dois eventos do espaço amostral E, então a probabilidade de que ocorra A ou B é: Se A e B são disjuntos

23 Exemplos: lançamento de um dado
A: sair resultado par, isto é, A = {2, 4, 6} B: sair resultado inferior a 3, isto é, B = {1, 2} A é a união de três elementos, cada um com probabilidade 1/6. B é a união de dois elementos, cada um com probabilidade 1/6 Probabilidade de ocorrer A ou B? Tem-se, de acordo com o teorema da soma que: P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3 P( A ) = 1 - 1/2 = 1/2 ={1,2,4,6} O problema também poderia ser resolvido assim:

24 Probabilidade condicional e o teorema do produto
A: sair resultado par, isto é, A={2,4,6} B: sair resultado inferior a 3, isto é, B={1,2} Segue-se que Foi visto que

25 Considere a seguinte situação:
Um dado foi lançado fora do alcance de nossas vistas e fomos informados que saiu valor par, ou seja, que ocorreu A. Nessas condições, qual é probabilidade de que tenha ocorrido o evento B? A: sair resultado par, isto é, A ={2,4,6} B: sair resultado inferior a 3, isto é, B ={1,2}

26 Probabilidade condicional B ={1,2}
Se fomos informados que ocorreu A, o espaço amostral passou a ser A. Então: Se dividirmos o numerador e o denominador por 6, que é o número total de eventos do universo original tem-se: Teorema do produto Se A e B são dois eventos do espaço amostral E, a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B é dada por: A ={2,4,6}

27 Considere agora a seguinte situação:
Um dado foi lançado fora do alcance de nossas vistas e fomos informados que saiu valor inferior a 3, ou seja, que ocorreu B. Nessas condições, qual é probabilidade de que tenha ocorrido o evento A? A: sair resultado par, isto é, A ={2,4,6} B: sair resultado inferior a 3, isto é, B ={1,2}

28 Probabilidade condicional
Se fomos informados que ocorreu B, o espaço amostral passou a ser B. Então: Se dividirmos o numerador e o denominador por 6, que é o número total de eventos do universo original tem-se: Teorema do produto Se A e B são dois eventos do espaço amostral E, a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B é dada por:

29 Eventos Independentes
Um evento A é estatisticamente independente do evento B se O fato de A ser independente de B implica em B ser independente de A O teorema do produto para eventos independentes

30 Combinações e permutações
Dado m diferentes elementos, o número de combinações de n elementos que se pode fazer é: Dado m diferentes elementos, o número de permutações que se pode fazer é igual a m!

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32 Teorema de BAYES Dado um experimento em dois estágios e conhecidas as probabilidades a priori e as probabilidades condicionais, o teorema de BAYES permite calcular as probabilidades a posteriori, isto é, as probabilidades associadas aos resultados do primeiro estágio dado o resultado do segundo estágio. Exemplo Plantas doentes (e1) Plantas não doentes (e2) Folhas murchas (f1) Folhas não murchas (f2) Probabilidade das plantas adoecerem P(e1) = 0,5 Probabilidade das plantas não adoecerem P(e2) = 0,5

33 Probabilidades a priori
Probabilidade das folhas murcharem dado que a planta está doente P(f1/e1) = 0,80 Probabilidade das folhas não murcharem dado que a planta está doente P(f2/e1) = 0,20 Probabilidade das folhas murcharem dado que a planta não está doente P(f1/e2) = 0,30 Probabilidade das folhas não murcharem dado que a planta não está doente P(f2/e2) = 0,70

34 Cálculo das probabilidades a posteriori
Probabilidade da planta estar doente dado que a folha está murcha P(e1/f1) = ? Probabilidade da planta estar doente dado que a folha não está murcha P(e1/ f2) = ? Probabilidade da planta não estar doente dado que a folha está murcha P(e2/ f1) = ? Probabilidade da não planta não estar doente dado que a folha não está murcha P(e2/f2) = ?

35 Lembrando Generalizando

36 Probabilidade da planta estar doente dado que as folhas estão murchas

37 Exercícios Sendo defeituosos 10% dos rádios produzidos por uma indústria, se forem examinados, ao acaso, três rádios por ela produzidos, qual é a probabilidade de nenhum ter defeito? 2. Uma urna contém quatro bolas brancas e duas pretas. Outra urna contém três bolas brancas e cinco pretas. Se for retirada uma bola de cada urna, qual é a probabilide de: a) uma das bolas ser branca e a outra ser preta b) ambas as bolas serem pretas c) ambas as bolas serem brancas

38 9/10 x 9/10 x 9/10 = 0,729 2) a) 4/6 x 5/8 + 2/6 x 3/8 = 13/24 b) 2/6 x 5/8 = 5/24 c) 4/6 x 3/8 = 1/4

39 3. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Três
bolas são retiradas da urna, uma após a outra. Determine a probabilidade de as bolas retiradas serem da mesma cor, admitindo-se que: as bolas foram repostas após cada retirada não houve reposição 4. Jogando-se um dado duas vezes, qual é a probabilidade de a soma dos pontos ser igual a 3? 5. Sabe-se que um casal tem dois filhos. Sabe-se que um deles é do Sexo masculino. Qual é a probabilidade de o outro filho ser do sexo feminino?

40 3. a) 5/10 x 5/10 x 5/10 + 3/10 x 3/10 x 3/10 + 2/10 x 2/10 x 2/10 = 0,16
b) 5/10 x 4/9 x 3/8 + 3/10 x 2/9 x 1/8 = 11/120 2/36 5. 2/3 masc fem masc masc fem masc

41 6. Dois dados são lançados simultaneamente. Defini-se os eventos:
A: sair valor par em ambos B: sair valor ímpar em ambos C: sair soma igual a seis A e B são mutuamente exclusivos? A e C são mutuamente exclusivos? C e B são mutuamente exclusivos? A e B são independentes? A e C são independentes? B e C são independentes? Quanto valem P(A/C), P(C/A), P(A/B), P(B/C) e P(C/B)

42 P(A) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = ¼ P(B) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = ¼ P (C) = 5/36 P(A/C) = 2/5 P(C/A) = 2/9 P(A/B) = 0 P(B/C) = 3/5 P(A/C) = 3/9 São mutuamente exclusivos Não

43 São independentes? P(A/B) = 0, diferente de P(A) = 1/4 P(A/C) = 2/5, diferente de P(A) = 1/4 P(B/C) = 3/5, diferente de P(B) = 1/4 Portanto, não são independentes.

44 Resolver: Em uma fábrica quatro máquinas produzem o mesmo produto.
A máquina A produz 10% do total produzido. A máquina B produz 20%, a C produz 30% e a D produz 40%. A proporção de produtos defeituosos de cada máquina é a seguinte: máquina A = 0,001; máquina B = 0,0005;máquina C = 0,005 e máquina D = 0,002. Um item é selecionado ao acaso e verifica-se que ele tem defeito. Qual é a probabilidade de que esse item tenha sido produzido pela máquina A.