Distribuições de Probabilidade

Apresentação em tema: "Distribuições de Probabilidade"— Transcrição da apresentação:

1 Distribuições de Probabilidade
Distribuições usuais discretas

2 Distribuições usuais discretas
Bernoulli Binomial Poisson

3 Distribuição de Bernoulli
Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis pode ser descrita por uma variável aleatória de Bernoulli. Por convenção utilizam-se os valores 0 e 1 (0 → insucesso, 1 → sucesso) e designa-se por p a probabilidade da variável assumir o valor 1. X  {0,1}, p  [0,1], P(X=1)=f(1)=p P(X=0)=f(0)=1-p

4 Distribuição de Bernoulli
Exemplos: O sexo de um indivíduo; Pretende-se estudar a incidência de uma certa doença numa certa população. X pode indicar se a doença está presente (X=1) ou ausente (X=0) num indivíduo da população (seleccionado ao acaso). O factor Rh do sangue das pessoa (ou é positivo ou é negativo).

5 Distribuição Binomial, X ~ B(n,p)
X= número de sucessos em n experiências de Bernoulli (todas independentes), com n fixo à partida e p a probabilidade de sucesso em cada experiência. f(x)= P(X=x)= nCx px (1-p)n-x, x=0,1,2,…,n. Exemplo: n = 6, x = 0 n = 6, x = 1 n = 6, x = 3 x n

6 Distribuição Binomial
Exemplos: O nº de pessoas com Rh positivo num conjunto de 10 indivíduos. O nº de meninas (filhas) numa família com 5 filhos. μ =E[X]=np σ2 = np(1-p) σ = np(1-p)

7 Gráfico de f(x) para a distribuição Binomial

8 Distribuição Binomial no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Binom(x,n,p) Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Pdf.Binom na lista de funções Preencher os campos da função: Pdf.Binom(x,n,p) Carregar em OK Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela variable view.

9 Distribuição Binomial no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de F(x)=P(X ≤ x)=Σi ≤ x f(i) no menu Transform / Compute: F(x)= Cdf.Binom(x,n,p) Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Cdf.Binom na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Binom(x,n,p)

10 Propriedades da distribuição Binomial
A soma de duas variáveis Binomiais independentes e com o mesmo parâmetro p, é ainda uma variável Binomial com parâmetros n igual à soma dos respectivos parâmetros n1 e n2 e p. Exemplo: X representa o número de machos de uma ninhada de 6 ratos e Y o número de machos de uma ninhada de 5 ratos. Nas duas ninhadas o número de machos tem distribuição Binomial de parâmetros n=11 e p=probabilidade de um rato recém-nascido ser macho.

11 Distribuição Geométrica, X ~ G(p)
X= número de experiências de Bernoulli até ao primeiro sucesso (p é a probabilidade de sucesso em cada experiência). f(x)= P(X=x)= p (1-p) x-1, x=1,2,…. Y= número de insucessos até ao primeiro sucesso (p é a probabilidade de sucesso em cada experiência). Y= X-1 f(x)= P(Y=x)= p (1-p) x, x=0,1,2,….

12 Distribuição Geométrica
Exemplos: Nº de vezes que uma pessoa estaciona num certo local proibido até apanhar uma multa. Nº de tentativas até acertar no alvo (jogo de tiro ao alvo). μX =E[X]=1/p μY =E[Y]=(1-p)/p σX2 = σY2 = (1-p)/p2

13 Gráfico de f(x) para a distribuição Geométrica

14 Distribuição Geométrica no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Geom(x,p) Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Pdf.Geom na lista de funções Preencher os campos da função: Pdf.Geom(x,p) Carregar em OK Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela variable view.

15 Distribuição Geométrica no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de F(x)=P(X ≤ x)=Σi ≤ x f(i) no menu Transform / Compute: F(x)= Cdf.Geom(x,p) Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Cdf.Geom na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Geom(x,p)

16 Distribuição de Poisson, X ~ P(λ)
A distribuição de Poisson é utilizada para modelar contagens em intervalos de tempo ou regiões do espaço. X {0,1,2,…} (pode ir até infinito); λ representa o valor médio da contagem (λ>0). f(x)= P(X=x)= e-λ λx / x! , x=0,1,2,… μ =E[X]= λ σ2 = λ σ = λ

17 Distribuição de Poisson, X ~ P(λ)
Exemplos: Nº de tigres existentes em determinada área (da Índia), num dado momento. Nº de carros que vão abastecer o depósito numa bomba de gasolina, num dia. Nº de chamadas telefónicas efectuadas por um aluno, num dia.

18 Gráfico de f(x) para a distribuição de Poisson

19 Distribuição de Poisson no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Poisson(x,λ) Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Pdf.Poisson na lista de funções Preencher os campos da função: Pdf.Poisson(x,λ) Carregar em OK Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela variable view.

20 Distribuição de Poisson no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de F(x)=P(X ≤ x)=Σi ≤ x f(i) no menu Transform / Compute: F(x)= Cdf.Poisson(x,λ) Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Cdf.Poisson na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Poisson(x,λ)

21 Propriedades da distribuição de Poisson
A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Exemplo: X representa o número de viaturas que abastecem o depósito de combustível numa estação de serviço de uma pacata vila alentejana na manhã de um certo dia (variável de Poisson com média 5.1) e Y representa o número de número de viaturas que abastecem o depósito na mesma estação de serviço durante a tarde do mesmo dia (variável de Poisson com média 8.4). Ao todo, no dia inteiro, o número de viaturas que abastecem o depósito tem distribuição de Poisson com média 13.5.