NOÇÕES DE CONJUNTOS E PROPOSIÇÕES LÓGICAS Ledo Vaccaro Machado.

Apresentação em tema: "NOÇÕES DE CONJUNTOS E PROPOSIÇÕES LÓGICAS Ledo Vaccaro Machado."— Transcrição da apresentação:

1 NOÇÕES DE CONJUNTOS E PROPOSIÇÕES LÓGICAS Ledo Vaccaro Machado

2 conjunto-universo conjunto A U conjunto complementar de A

3 Seja A  U e x  U. Temos que x  A ou x  A, não existindo uma terceira possibilidade.
Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição declarativa é verdadeira ou falsa, não ocorrendo um terceiro caso.

4 Seja A  U e x  U. Temos que x  A ou x  A, não sendo possível x  A e x  A simultaneamente.
Princípio da Não-Contradição Uma proposição declarativa não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

5   para todo ou qualquer que seja   existe |  existe um único
QUANTIFICADORES   para todo ou qualquer que seja   existe |  existe um único   não existe A = {5, 6, 7, 8, 9} x  A, x é maior do que 1. x  A x é número primo. | x  A; x é divisor de 10. x  A; x é múltiplo de 10.

6 Observações: O símbolo “” é o conectivo condicional (se ..., então ...), e o símbolo “” indica uma relação de implicação (... implica ...). O primeiro é um operador e o segundo uma relação. Semelhantemente, o símbolo “” é o conectivo bicondicional (... se, e somente se, ...), e o símbolo “” indica uma relação de equivalência (... equivale a ...). O primeiro é um operador e o segundo uma relação. Nesta apresentação, não distinguiremos “” de “”, e tampouco “” de “”.

7 IMPLICAÇÃO P  Q P implica Q se P então Q P: x é retângulo. P  Q: Q: x é paralelogramo. Se x é retângulo então x é paralelogramo. A é o conjunto dos retângulos. A  B B é o conjunto dos paralelogramos. A é subconjunto de B. P  Q A  B

8 EQUIVALÊNCIA P  Q P equivale a Q P se, e somente se, Q P: x é triângulo equilátero. P  Q: Q: x é triângulo equiângulo. x é triângulo equilátero se, e somente se, x é triângulo equiângulo. A é o conjunto dos triângulos equiláteros. A = B B é o conjunto dos triângulos equiângulos. A é igual a B. P  Q A = B

9 Se xP, então xQ; e se xQ, então xP.
Tabelas-verdades p: eu estudo q: eu tiro boas notas P: conjunto das pessoas que estudam. Q: conjunto das pessoas que tiram boas notas. x = eu p V F q p  q P Q p  q P = Q Se xP, então xQ; e se xQ, então xP. xP se, e somente se, xQ Q P  Q Se xQ, então xP. p  q P p V F q p  q

10 É necessário ter 18 anos ou mais para possuir uma carteira de motorista?
É suficiente? É suficiente quebrar a perna para sentir dor? É necessário? É necessário ser paralelogramo para ser retângulo? É suficiente? É suficiente ser retângulo para ser paralelogramo? É necessário? P  Q condição suficiente condição necessária

11 condição necessária e suficiente
É necessário ser triângulo equilátero para ser triângulo equiângulo? É suficiente? P  Q condição necessária e suficiente

12 RECÍPROCA P: x2 – 5x + 6 = 0 Q: x  {1, 2, 3} x2 – 5x + 6 = 0  x  {1, 2, 3} P  Q é verdadeira x  {1, 2, 3}  x2 – 5x + 6 = 0 Q  P é falsa P  Q e Q  P são proposições recíprocas. Se uma proposição é verdadeira, não necessariamente sua recíproca também será. Mas podemos ter as duas verdadeiras. R: x  {2, 3} P  R e R  P são ambas verdadeiras.

13 Q: x é retângulo. P: x é paralelogramo. Se ~Q é verdadeira, nada podemos concluir sobre P. Se P é verdadeira, nada podemos concluir sobre Q. Se ~P é verdadeira, necessariamente devemos ter ~Q verdadeira. Q  P Q  P U P Q Q = conjunto dos retângulos. P = conjunto dos paralelogramos. x  Q  x  P ( Q  P) Se x  Q não podemos dizer que x  P ou que x  P. Se x  P não podemos dizer que x  Q ou que x  Q. Se x  P então, necessariamente, x  Q.

14 ~P  ~Q é a contrapositiva de Q  P
Q  P equivale a ~P  ~Q ~P  ~Q é a contrapositiva de Q  P Q: x é retângulo P: x é paralelogramo Q  P Se x é retângulo, então x é paralelogramo. ~P  ~Q Se x não é paralelogramo, então x não é retângulo.

15 Se duas retas distintas de um plano são perpendiculares a uma terceira, então elas são paralelas.
r  t e s  t  r  s =  r s t Contrapositiva Se duas retas distintas de um plano não são paralelas, então não existe uma reta neste plano que seja perpendicular às duas. r  s    t; r  t e s  t r s t A

16 INTERSEÇÃO A  B = {x; x  A e x  B} U A B A  B UNIÃO A  B = {x; x  A ou x  B} U A B A  B

17 CONECTIVOS  (E) E CONECTIVO  (OU)
p: fui ao teatro q: fui ao cinema A interseção e a união constituem a contrapartida nos conjuntos dos conectivos lógicos “e” e “ou”. P: conjunto das pessoas que foram ao teatro. Q: conjunto das pessoas que foram ao cinema. x = eu p V F q p  q P Q x  P  Q p  q p  q x  P  Q p V F q p  q

18 PROPRIEDADES COMUTATIVA A  B = B  A A  B = B  A ASSOCIATIVA (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) DISTRIBUTIVA A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

19 CONJUNTO DIFERENÇA A – B = {x | x  A e x  B} U A B A – B B – A = {x | x  A e x  B} U A B B – A

20 Se B  A, a diferença B – A é constituída pelos elementos que faltam a B para que ele fique igual a A. Este conjunto é o complementar de B em relação a A. CAB = A – B, sendo B  A. U A B CAB U A CUA = A = Ac p: x pertence ao conjunto A. Se x  A, então p é verdadeira. Se x  Ac, então ~p é verdadeira.

21 (A  B)c e (Ac  Bc) são formados pelos mesmos elementos. Logo,
Leis De Morgan Sejam A e B dois conjuntos no universo U. Consideremos o complementar da união de A com B, (A  B)c. x  (A  B)c  x  (A  B)  x  A e x  B  x  Ac e x  Bc  x  (Ac  Bc) (A  B)c e (Ac  Bc) são formados pelos mesmos elementos. Logo, (A  B)c = Ac  Bc (O complementar da união é a interseção dos complementares.) Consideremos, agora, o complementar da interseção de A e B, (A  B)c. x  (A  B)c  x (A  B)  x A ou x B  x  Ac ou x  Bc  x (Ac  Bc) (A  B)c e (Ac  Bc) são formados pelos mesmos elementos. Logo, (A  B)c = Ac  Bc (O complementar da interseção é a união dos complementares.)

22 Sejam as proposições p: x  A e q: x  B
Leis De Morgan Sejam as proposições p: x  A e q: x  B ~(p  q)  (~p  ~q) (A  B)c = Ac  Bc ~(p  q)  (~p  ~q) (A  B)c = Ac  Bc p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q V F

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