Equações do 2º Grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Apresentação em tema: "Equações do 2º Grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0."— Transcrição da apresentação:

1 Equações do 2º Grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2 Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na forma
com a, b e c  IR e

3 Dizemos que uma equação do 2º grau está na forma canónica se está escrita na forma
com a, b e c  IR e

4 Exemplos de equações do 2º grau:
Equação do 2º grau completa a=2, b=4 e c=3 a=4, b= -5 e c=0 a=1, b=0 e c= -36 Equações do 2º grau incompletas

5 Definição: Observe que: Exemplos:
  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Observe que: a representa o coeficiente de  x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. x = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

6 Equações Completas do 2º Grau
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20. -x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.

7 Equações Incompletas do 2º Grau
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4. Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) 3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

8 Raízes de uma Equação do 2º Grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes. Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

9 Resolução de Equações Incompletas
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais: 1ª Propriedade: Se x є IR, y є IR e x.y = x = 0 ou y = 0 2ª Propriedade: Se x є IR, y є IR e x² = y x = √ y ou x = -√y 1º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) 2º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

10 Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções: x = 0 e x = - b a Equações da forma: ax² +c = 0, (b = 0) De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0: possui duas raízes reais se: - c for um nº positivo a não possui raiz real se: - c for um nº negativo

11 Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara. A partir da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula de Bhaskara. 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. (4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a) 4a²x² + 4abx + 4ac = 0 2º passo: passar 4ac para o 2º membro. 4a²x² + 4abx = - 4ac

12 Fórmula de Bhaskara 3º passo: adicionar b² aos dois membros.
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac 4º passo: fatorar o 1º elemento. (2ax + b) ² = b² - 4ac 5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros. √ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac 2ax + b = ± √ b² - 4ac 6º passo: passar b para o 2º membro. 2ax = - b ± √ b² - 4ac Trinômio Quadrado Perfeito

13 Fórmula de Bhaskara 7º passo: dividir os dois membros por 2a.
2ax = - b ± √ b² - 4ac 2a a Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau: x = - b ± √ b² - 4ac 2a Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac 2a a

14 Discriminante Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta). Δ = b2 - 4ac Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara: x = - b ± √ Δ 2a De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O) 2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O) 3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)

15 Discriminante Δ > O Δ = O Δ < O
O valor de √Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de √Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de √Δ não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. x’ = - b + √Δ 2a x” = - b - √Δ x’ = x” = -b As raízes da equação são número complexos.

16 Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau
Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule. Vejamos, através do exemplo a seguir, como se resolvem as equações fracionárias. x = (x ≠ 3) x - 3 - O m.m.c. é x – 3: x. (x – 3) = 5. (x – 3) x – x – x – 3 - Eliminando os denominadores: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3) x² – 3x + 1 = 5x – 15

17 Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau
- Transpondo e reduzindo: x² – 8x + 16 = 0 - Temos: Δ = b2 - 4ac a = Δ = (-8)² b = Δ = c = Δ = 0 - Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ 2a   x = - (-8) ± 0 = 8 ± x’ = x” = Logo, V = {4}

18 Relações entre os Coeficientes e as Raízes
1ª Relação: Soma das Raízes (S) x’+x” = - b + √Δ b - √Δ = - b + √Δ - b - √Δ = -2b = -b 2a a a a a 2ª Relação: Produto das Raízes (P) x’.x” = -b+√Δ . -b-√Δ = (-b+√Δ) . (-b-√Δ) = (-b)²-(√Δ)² = b²-Δ 2a a a² a² a² Como ∆ = b² - 4ac, temos: x’.x” = b²- (b² - 4.a.c) = b² - b² + 4.a.c = 4.a.c = c 4a² a² a.a a

19 Relações entre os Coeficientes e as Raízes
Soma das Raízes: É representada pela letra S. S = x’+ x” = -b a Produto das Raízes: É representado pela letra P. P = x’. x” = c a

20 Composição de uma Equação do 2º Grau, Conhecidas as Raízes
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos: ax2 + bx + c = x2 + bx + c = 0 a a a a a Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c a a Podemos escrever a equação desta maneira: x2 - Sx + P = 0

21 Exercício sobre Composição
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. Solução: A soma das raízes corresponde a: S = x1 + x2 = = 5 O produto das raízes corresponde a: P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14. Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.