Círculo e circunferência

Apresentação em tema: "Círculo e circunferência"— Transcrição da apresentação:

1 Círculo e circunferência

2 Círculo e circunferência são figuras geométricas planas que se diferenciam apenas pelo fato de o círculo ser limitado pela circunferência.

3 Definição de circunferência: Uma circunferência é um conjunto de pontos pertencentes ao plano que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto C. Em outras palavras, dada a distância “r” e o ponto fixo C, qualquer ponto A que possui a distância de A até C igual a r é um ponto pertencente à circunferência. Matematicamente, podemos representar essa última relação da seguinte maneira: dAC = r

4 Tendo em vista a distância entre dois pontos obtida na Geometria Analítica e considerando as coordenadas de A (x,y) e de C (a,b), a relação acima pode ser reescrita da seguinte maneira: dAC = r √[(a – x)2 + (b – y)2] = r (a – x)2 + (b – y)2 = r2

5 Na Geometria Analítica, essa equação é chamada de equação da circunferência com centro C (a,b) e raio r. O ponto C é conhecido como centro da circunferência e a distância r é chamada de raio. A figura geométrica formada por um conjunto de pontos desse tipo é a seguinte:

6 Circunferência de centro C e raio r
O ponto C não pertence à circunferência, pois a circunferência é apenas o círculo verde. O ponto A, por sua vez, pertence à circunferência.

7 Definição de círculo: O círculo, por sua vez, é uma figura geométrica plana que é definida da seguinte maneira: Círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circunferência e seus pontos internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência.

8 dAC ≤ r √[(a – x)2 + (b – y)2] ≤ r (a – x)2 + (b – y)2 ≤ r2
Círculo: área colorida Tomando novamente os conhecimentos vindos da Geometria Analítica, a equação do círculo é praticamente igual à equação da circunferência. A diferença encontra-se no fato de o círculo ser um conjunto de pontos menor ou igual ao raio. A partir disso, temos a seguinte equação: dAC ≤ r √[(a – x)2 + (b – y)2] ≤ r (a – x)2 + (b – y)2 ≤ r2

9 Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circunferência é que o círculo é toda a área interna de uma circunferência. Já essa última é apenas o contorno de um círculo.

10 Quando falamos em circunferência ou círculo, logo lembramos de uma roda, uma das maiores invenções do ser humano. Provavelmente inventada a 3500 a.C., na região da Suméria ou Mesopotâmia (apesar de controvérsias entre alguns pesquisadores), a roda tornou o transporte mais fácil e rápido, além de contribuir para transformar as primeiras aglomerações humanas em cidades maiores. Em toda a história da humanidade, até os dias atuais, a roda vem sendo aperfeiçoada e utilizada nos diversos meios de transporte. 

11 Com o seu movimento giratório, a roda tornou-se parte integrante das máquinas que auxiliam o homem a levantar pesos. Foi inventado o guindaste, onde a roda mudou de aspecto, transformando-se em uma roldana, uma roda estriada de como que uma corda pudesse correr dentro dela, dando origem à polia. 

12 Os primeiros guindastes foram usados por gregos e romanos para suspender blocos de pedras, e eram formados por traves fortes, chamadas mastros, quase sempre inclinadas. No ponto de encontro fixava-se uma polia. O grande matemático Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) utilizou polias para fazer catapultas móveis, arremessando pesos sobre os navios dos inimigos romanos que tentavam invadir sua cidade. 

13 Também foi inventada a roda de água ou hidráulica, conhecida entre gregos e romanos, ainda utilizada até hoje no campo. Era provida de caixinhas ou de pequenas pás e servia para transportar a água até os canais de irrigação. No século I d.C. a roda hidráulica deu origem ao moinho hidráulico.

14 Desde a antiguidade, o ser humano estuda astronomia para entender o mundo a nossa volta, e a muito tempo foi descoberto o formato arredondado do planeta Terra, de outros planetas e também da lua. Eratóstenes (276 a.C. – 194 a.C.) calculou, pela primeira vez o cálculo exato da circunferência da Terra, através de seu raio (usando a geometria euclidiana).

15 Ptolomeu (90 d.C. – 168 d.C.), com sua conhecida ilustração do sistema geocêntrico (a Terra é o centro do universo) no livro “Almagesto”, apesar de não estar correto em sua afirmação, já ilustrou o planeta Terra em forma arredondada. 

16 Em todo progresso da humanidade, a circunferência e o círculo estão sempre presentes. Hoje, a todo momento, vemos diversos objetos em nossa volta que tenham o formato circular por exemplo: moedas; tampas de panelas e quaisquer tipos de tampas; botões de TVs, de aparelhos de som, de telefones celulares, de aparelhos de DVDs, entre outros; os próprios DVDs e CDs; rodas de carros, motos e bicicletas; pulseiras, entre muitos outros objetos cilíndricos. 

17 Cerca de 330 a 275 anos a. C. Euclides de Alexandria abordou pela primeira vez o conceito de limite ao procurar definir as grandezas circulares, ou seja, a circunferência e a área de um círculo em relação à figura geométrica do quadrado inscrito nesse círculo.

18 A capacidade intelectual de Euclides foi extraordinária por discernir que a passagem da figura geométrica do quadrado inscrito, para a figura geométrica do círculo que o circunscreve, só se podia fazer mediante uma profunda alteração nas grandezas envolvidas.