AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine

Apresentação em tema: "AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine"— Transcrição da apresentação:

1 AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine
AED-11 AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine

2 Objetivo

3 Roteiro

4 Trajetórias e linhas de corrente
Trajetória é uma curva no espaço desenhada por uma particula movendo-se no tempo. Linha de corrente (streamline) é uma curva no espaço localmente tangente ao vetor velocidade de uma partícula. Em escoamentos estacionários, trajetórias e linha de corrente coincidem, O que não é verdade no caso de escoamentos não estacionários

5 Trajetórias e linhas de corrente
Trajetória é uma curva no espaço desenhada por uma particula movendo-se no tempo. Linha de corrente (streamline) é uma curva no espaço localmente tangente ao vetor velocidade de uma partícula. Em escoamentos estacionários, trajetórias e linha de corrente coincidem, O que não é verdade no caso de escoamentos não estacionários

6 Tubos de corrente Formados por linhas de corrente
Nenhuma partícula cruza as fronteiras de um tubo de corrente (“paredes impermeáveis”) Para escoamento estacionário, fluxo de massa ao longo de um tubo de corrente é constante para qualquer seção transversal

7 Uma vez que a curva é tangente ao vetor velocidade tem-se
Direção de linha de corrente Uma vez que a curva é tangente ao vetor velocidade tem-se Escrevendo E as equações para a linha de corrente são:

8 Linha de corrente – escoamento 2D estacionário
Linha de corrente – 3D Ao longo de uma linha de corrente no plano bidimensional: Esse tipo de equação (ED de Pfaffian) possui solução do tipo:

9 Função de corrente Para escoamento 2D estacionário incomp.
Podemos definir a função de corrente y a partir do fluxo volumétrico:

10 Função de corrente Fluxo volumétrico através das linhas B e C (por unidade de comprimento): A existência de uma função de corrente é consequência da continuidade

11 Função de corrente Integrando ao longo de uma linha de corrente:
Outra maneira de ver: O fluxo é nulo

12 Função de corrente Integrando na direção normal à linha de corrente:
Fluxo de massa ao longo do tubo de corrente (por unidade de comprimento): Fluxo volumétrico ao longo do tubo de corrente (por unid. de comp.):

13 Função de corrente Fluxo volumétrico ao longo do tubo de corrente (por unidade de comprimento):

14 Função de corrente Propriedades da função de corrente:
A função de corrente é constante ao longo de uma linha de corrente (de maneira inversa: y=cte fornece a equação de uma linha de corrente) O fluxo volumétrico por unidade de comprimento entre duas linhas de corrente pode ser obtido pela diferença entre os valores da função de corrente

15 Função de corrente A partir da definição de função de corrente:
Pela regra da cadeia:

16 Função de corrente Propriedades da função de corrente:
A função de corrente é constante ao longo de uma linha de corrente (de maneira inversa: y=cte fornece a equação de uma linha de corrente) O fluxo volumétrico por unidade de comprimento entre duas linhas de corrente pode ser obtido pela diferença entre os valores da função de corrente A velocidade do escoamento pode ser encontrada diferenciando a função de corrente

17 Função de corrente – compressível
Para escoamentos compressíveis, outra definição: Propriedades são equivalentes, mas requerem pequenas adaptações (sugestão de estudo em casa) Nós iremos focar na função de corrente para escoamento incompressível

18 Função de corrente O valor da constante em um ponto precisa ser arbitrado Pode ser qualquer valor (estamos interessados nas derivadas e diferenças) Normalmente: y=0 na parede Apenas lembrando: Escoamento 2D Em coordenadas polares:

19 Função de corrente Se determinarmos o valor da função de corrente em todo o campo, encontramos a velocidade! A partir da velocidade encontramos a pressão! Mas ainda temos a questão: Como determinar o valor da função de corrente para o escoamento ao redor de um determinado corpo?

20 Função de corrente Se determinarmos o valor da função de corrente em todo o campo, encontramos a velocidade! A partir da velocidade encontramos a pressão! Mas ainda temos a questão: Como determinar o valor da função de corrente para o escoamento ao redor de um determinado corpo? Não percam as próximas aulas... :)

21 Vorticidade Entre dois instantes de tempo, pode ocorrer: Translação
Rotação Deformação

22 Vorticidade Rotação A rotação de AC é dada por
A rotação de AB é dada por

23 Vorticidade Logo: A velocidade angular do elemento fluido ABCD é dado pela média das velocidades angulares de AB e AC: A rotação de AC é dada por A rotação de AB é dada por A velocidade angular de AC é dada por A velocidade angular de AB é dada por

24 Vorticidade Generalizando: Definimos vorticidade como: Então:

25 Vorticidade Se em todos os pontos do escoamento, o escoamento é chamado de irrotacional

26 Vorticidade Se em todos os pontos do escoamento, o escoamento é chamado de irrotacional Particularmente, no caso 2D:

27 Vorticidade Escoamento com viscosidade:
Escoamento de Couette é rotacional ou irrotacional?

28 Circulação Intimamente ligado à sustentação
Frederick Lanchester ( ) Wilhelm Kutta ( ) Nikolai Joukowski ( )

29 Circulação Intimamente ligado à sustentação
Depende do contorno escolhido Usualmente é positivo no sentido horário Depende do livro/autor (verificar antes de calcular)

30 Circulação e Vorticidade
Do teorema de Stokes: A circulação também pode ser obtida através da integração da vorticidade

31 Circulação e Vorticidade
Do teorema de Stokes: Consequência: Se o escoamento é irrotacional na superfície interna ao contorno de integração, então a circulação é nula Se a circulação é nula para qualquer contorno C, então a vorticidade é nula e o escoamento é irrotacional

32 Circulação e Vorticidade
Do teorema de Stokes: Consequência:

33 Circulação e Vorticidade
Do teorema de Stokes: Consequência: A componente da vorticidade normal à superfície é igual ao oposto da circulação por unidade de área

34 Potencial de velocidade
Considerando um escoamento irrotacional: Se f é uma função escalar: Então: O rotacional do gradiente de uma função escalar é identicamente nulo

35 Potencial de velocidade
No escoamento irrotacional, podemos definir uma função escalar f tal que: Chamamos esta função de potencial de velocidade Logo:

36 Potencial de velocidade
Em coordenadas cartesianas: Em coordenadas cilíndricas: Em coordenas esféricas:

37 Potencial de velocidade
Se determinarmos o valor do potencial de velocidade em todo o campo, encontramos a velocidade! A partir da velocidade encontramos a pressão! Mas ainda temos a questão: Como determinar o valor do potencial de velocidade para o escoamento ao redor de um determinado corpo?

38 Potencial de velocidade
Se determinarmos o valor do potencial de velocidade em todo o campo, encontramos a velocidade! A partir da velocidade encontramos a pressão! Mas ainda temos a questão: Como determinar o valor do potencial de velocidade para o escoamento ao redor de um determinado corpo? Não percam as próximas aulas... :)

39 Potencial de velocidade e função de corrente
Velocidades encontradas por diferenciação na mesma direção Escoamento irrotacional Pode ser definido para escoamento compressível Função de corrente 2D Velocidades encontradas por diferenciação na direção transversal (pode ter sinal oposto) Escoamento pode ser rotacional Pode ser definido para escoamento compressível

40 Potencial de velocidade e função de corrente
Linha de corrente (y=cte): Linha equipotencial(f=cte):

41 Potencial de velocidade e função de corrente
Linha de corrente (y=cte): Linha equipotencial(f=cte): Perpendiculares

42 Potencial de velocidade e função de corrente
Perpendiculares

43 A equação de Laplace Finalmente!!
Aplicação ao escoamento incompressível não-viscoso Da continuidade:

44 A equação de Laplace Se o escoamento é não-viscoso incompressível, considera-se irrotacional, então: Da continuidade: Equação de Laplace

45 A equação de Laplace Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas cilíndricas: Em coordenas esféricas:

46 A equação de Laplace O potencial de velocidade satisfaz a equação de Laplace para um escoamento 3D, incompressível e irrotacional. E a função de corrente?

47 A equação de Laplace E a função de corrente? Caso 2D

48 A equação de Laplace E a função de corrente? Caso 2D Continuidade?
Satisfeita automaticamente!

49 A equação de Laplace E a função de corrente? Caso 2D
E se o escoamento for irrotacional?

50 Potencial de Velocidade
A equação de Laplace Potencial de Velocidade Função de corrente Continuidade Satisfeita se Satisfeita automaticamente Irrotacionalidade

51 Referências Anderson, J. D., Fundamentals of Aerodynamics
Seções 2.11 a 2.16, 3.6 a 3.8 (3ª Edição) Milne-Thomson, L. M.,Theoretical Aerodynamics Seções 3.0 a 3.3 (3.32) Karamcheti, K., Principles of Ideal Fluid Aerodynamics Seções 4.6 a 4.10, 9.1 a 9.3, 9.7 a 9.8