AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine

Apresentação em tema: "AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine"— Transcrição da apresentação:

1 AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine
AED-11 AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine

2 Objetivos Definir soluções elementares no plano complexo
Encontrar a relação entre circulação e sustentação para um corpo bidimensional qualquer

3 Roteiro Função de variável complexa Condições de Cauchy-Riemann
Revisão de potencial de velocidade e função de corrente Potencial complexo e velocidade complexa Soluções elementares Circulação e Fluxo Escoamento em volta de cilindro arbitrário Velocidade Forças e momentos Teorema de Kutta-Joukowski

4 Função de Variável Complexa

5 Função de Variável Complexa
Em um plano 2D: Uma função complexa pode ser escrita como um par de funções reais: Estamos interessados em funções diferenciáveis Estas funções são chamadas de funções analíticas (ou holomorfa)

6 Função de Variável Complexa
Exemplos de funções analíticas: - Para n>0: todo o plano - Para n<0: exceto z=0 Em uma região que não inclua z=0; e desde que argumento esteja restrito a um intervalo

7 Função de Variável Complexa
Derivando Então: Condições de Cauchy-Riemann

8 Condições de Cauchy-Riemann
Algumas consequências das condições de Cauchy-Riemann:

9 Condições de Cauchy-Riemann
1 – Se as partes real e imaginária de uma função complexa possuem derivadas parciais contínuas e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, então a função complexa é analítica

10 Condições de Cauchy-Riemann
2 – as partes real e imaginária de uma função analítica satisfazem a Eq. de Laplace

11 Condições de Cauchy-Riemann
Derivando: Então:

12 Condições de Cauchy-Riemann
Equação de Laplace: Analogamente: 2 – as partes real e imaginária de uma função analítica satisfazem a Eq. de Laplace Funções harmônicas

13 Condições de Cauchy-Riemann
3 – A parte real e a parte imaginária não são independentes Sabendo a parte real é possível determinar a parte imaginária (exceto apenas por uma constante aditiva) São chamadas funções harmônicas conjugadas

14 Condições de Cauchy-Riemann
4 – A família de curvas definida por e a família de curvas definida por são ortogonais entre si

15 Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente

16 Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente
Para um escoamento 2D irrotacional e incompressível, é possível definir um potencial de velocidade e uma função de corrente de modo que:

17 Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente
Equação de Laplace: O potencial de velocidade e a função de corrente satisfazem a Eq. de Laplace Funções harmônicas

18 Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente
O potencial de velocidade e a função de corrente não são independentes Sabendo uma é possível determinar a outra (exceto apenas por uma constante aditiva) São chamadas funções harmônicas conjugadas

19 Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente
4 – A família de curvas definida por e a família de curvas definida por são ortogonais entre si

20 Potencial complexo e velocidade complexa

21 Potencial complexo e velocidade complexa
Combinando o potencial de velocidade e a função de corrente: Potencial complexo

22 Potencial complexo e velocidade complexa
O potencial complexo é uma função analítica Pode-se derivar F: Velocidade complexa

23 Potencial complexo e velocidade complexa
A velocidade complexa é o conjugado do vetor velocidade

24 Potencial complexo e velocidade complexa
Velocidade complexa é uma função analítica (F’ é analítica) Equações de Cauchy-Riemann: Continuidade Irrotacionalidade

25 Potencial complexo e velocidade complexa
Toda função analítica satisfaz as condições de Cauchy-Riemann Potencial de velocidade e função de corrente definidos a partir de uma função analítica satisfazem as condições de movimento irrotacional bidimensional de um fluido perfeito (continuidade e irrotacionalidade são satisfeitos automaticamente) O problema fica reduzido a achar uma função analítica que satisfaz as condições de contorno

26 Soluções elementares

27 Soluções elementares

28 Soluções elementares

29 Circulação e Fluxo

30 Circulação e Fluxo Em uma curva fechada C
Circulação (definição do Karamcheti, sinal oposto ao do Anderson): Fluxo volumétrico por unidade de comprimento: Então: Onde z2 e z1 são pontos coincidentes em C

31 Obs: circulação no sentido anti-horário
Circulação e Fluxo Em uma curva fechada Em volta de um corpo bidimensional fechado: Q=0? G=0? Sim Não (mas pode ser) Obs: circulação no sentido anti-horário

32 Escoamento em volta de cilindro arbitrário

33 Escoamento em volta de cilindro arbitrário
Corpo bidimensional fechado (Pode não ser circular) Cilindro

34 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Série de Laurent (Karamcheti 14.22): Permite expansão em torno de um ponto na região fora do domínio

35 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0 Os termos com expoentes positivos podem ser eliminados Condição de contorno no infinito

36 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0:

37 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0: O termo A0 é dado pela velocidade no infinito Condição de contorno no infinito

38 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0: Teorema dos resíduos (Karamcheti 14.23) Relação com circulação: Para um circuito envolvendo a origem

39 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Ou: Obs: circulação no sentido anti-horário Circulação no sentido horário (sustentação positiva)

40 Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade
Aplicação: Cilindro circular É possível provar que (Karamcheti 15.5): Circulação no sentido horário (sustentação positiva)

41 Forças e momentos - cilindro arbitrário

42 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Força resultante no cilindro

43 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Aplicando eq. de Bernoulli: Força resultante no cilindro Momento resultante no cilindro

44 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Caso 2D: integrais de superfície se tornam integrais de linha

45 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Utilizando Chegamos a: Força na direção x Força na direção y

46 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Escrevendo agora na forma complexa X-iY Força complexa Chegamos a: Força complexa

47 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Com relação ao momento Chegamos a:

48 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Relações de Blasius:

49 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Força em cilindro arbitrário por meio da Eq. QDM em volume de controle integral (Lab AED-01) Bernoulli (para eliminar p) Integral de superfície se torna integral de linha (2D) Álgebra Forças e momentos no plano real Definição de força complexa Utilização do conceito de velocidade complexa Álgebra Obs: Onde se lê “Álgebra”, entenda-se: Algumas folhas de papel e noites mal dormidas depois... Relações de Blasius

50 Teorema de Kutta-Joukowski
Forças e momentos - cilindro arbitrário Teorema de Kutta-Joukowski

51 Teorema de Kutta-Joukowski
Relações de Blasius: E se utilizarmos a expansão em série de Laurent?

52 Teorema de Kutta-Joukowski
Então:

53 Teorema de Kutta-Joukowski
Juntando: Chegamos a:

54 Teorema de Kutta-Joukowski
Lembrando que: Obtemos: Obs: circulação no sentido anti-horário

55 Teorema de Kutta-Joukowski
Logo: Utilizando a notação mais usual: Obs: circulação no sentido anti-horário Arrasto Circulação no sentido horário (sustentação positiva) Sustentação

56 Teorema de Kutta-Joukowski
Arrasto Consequências: Força resultante em um corpo bidimensional fechado Sempre perpendicular ao escoamento não-perturbado Arrasto Sempre nulo (segundo a teoria potencial) Sustentação Proporcional à circulação Circulação no sentido horário (sustentação positiva) Sustentação

57 Teorema de Kutta-Joukowski
Outra forma: Consequências: Se você souber a circulação, a sustentação é independente do formato do perfil! Mas: A circulação depende do formato do perfil! Como saber a circulação? É o que veremos a seguir... :) Circulação vetorial, seguindo a regra da mão direita

58 Forças e momentos - cilindro arbitrário
Só pra terminar:

59 Referências Karamcheti, K., Principles of Ideal Fluid Aerodynamics
Capítulos 14, 15.1 a 15.7, Apêndice A Durand, W. F., Aerodynamic Theory Volume 1, Capítulo A.1 (variáveis complexas) Milne-Thomson, L. M.,Theoretical Aerodynamics Seções 3.4, 3.5, 3.7, 5.4, 5.7