MATEMÁTICA DISCRETA E LÓGICA MATEMÁTICA

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA DISCRETA E LÓGICA MATEMÁTICA"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA DISCRETA E LÓGICA MATEMÁTICA
PROF. APARECIDO EDILSON MORCELLI

2 ÁLGEBRA DE BOOLE OU ÁLGEBRA LÓGICA
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3 INTERRUPTOR Interruptor
Dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir um dos dois estados: Fechado (1) Aberto (0) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

4 INTERRUPTORES Quando fechado o interruptor permite que a corrente passe através do ponto. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

5 INTERRUPTORES Quando o interruptor está aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

6 Representação do interruptor fechado
INTERRUPTORES Representação do interruptor fechado a Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

7 Representação do interruptor aberto
INTERRUPTORES Representação do interruptor aberto a Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

8 Podemos também representar o interruptor da seguinte maneira
INTERRUPTORES Podemos também representar o interruptor da seguinte maneira a Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

9 INTERRUPTORES Neste tipo de representação, somente conheceremos o estado do interruptor se tivermos a indicação de que a =1 (fechado) Ou a=0 (aberto) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

10 Vamos agora analisar algumas associações de interruptores
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11 Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo
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12 INTERRUPTORES Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado Estado 1 (passando corrente) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

13 Vamos denotar a ligação de dois interruptores a e b em paralelo por
a  b Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

14 interruptores ligados
em paralelo a  b (ou) a b Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

15 Sejam a e b dois interruptores ligados em série
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16 INTERRUPTORES Numa ligação em série só passará corrente se ambos os interruptores estiverem fechados a b Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

17 Denotamos a ligação de dois interruptores a e b em série por
ab (e) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

18 Vamos analisar os estados possíveis de serem assumidos pelos interruptores nas ligações em
paralelo e em série Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

19 INTERRUPTORES b a Ligação em paralelo
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20 Vamos analisar os possíveis
INTERRUPTORES Vamos analisar os possíveis estados 00=0 01=1 10=1 11=1 Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

21 INTERRUPTORES Observamos que neste caso não passará corrente somente quando ambos os interruptores estiverem aberto ou na posição 0. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

22 a b INTERRUPTORES Ligação em série
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23 Vamos analisar os possíveis
INTERRUPTORES Vamos analisar os possíveis estados 00=0 01=0 10=0 11=1 Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

24 INTERRUPTORES Observamos que na ligação em série passará corrente somente quando ambos os interruptores estiverem fechados ou na posição 1. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

25 Determinar a ligação do circuito Usando operador lógico (e) série
(ou) paralelo Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

26 A B A ou B Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

27 (A  B) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

28 B A A e B Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

29 (A ^ B) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

30 P P Q Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

31 P^(P(Q^P)) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

32 P^(P(Q^P)) P e (não P ou (Q e P))
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33 O cálculo proposicional é o estudo da linguagem proposicional
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34 Estudamos basicamente cinco símbolos:
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35 Negação :  ou ~ Conjunção:  Disjunção:  Implicação: 
Bi-implicação:  Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

36 OS PARADOXOS Os paradoxos ou antinomias foram objetos de estudo e inquietações por parte dos filósofos e lógicos, desde os tempos da Antiga Grécia. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

37 paradoxos podem ser classificados em paradoxos semânticos e paradoxos lógicos.
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38 PARADOXOS SEMÂNTICOS Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

39 Paradoxo do Mentiroso Dentre os paradoxos desta categoria, destaca-se aquele descoberto pelo filósofo grego Eubúlides de Mileto ( a.C.) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

40 Pelo senso comum toda sentença declarativa da língua portuguesa ou é verdadeira ou é falsa, mas nunca ambas simultaneamente Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

41 PARADOXOS LÓGICOS Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

42 Os paradoxos lógicos, diferentemente dos semânticos, envolvem certas noções lógicas, principalmente relacionadas com a teoria intuitiva das coleções. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

43 LINGUAGENS ARTIFICIAIS
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44 Ao termos uma linguagem artificial em tela, automaticamente, temos uma linguagem que diz respeito a ela. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

45 A essa linguagem damos a denominação de
meta-linguagem Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

46 Para construirmos a linguagem artificial serão empregados os recursos oferecidos pela meta-linguagem na construção da linguagem-objeto. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

47 Para construirmos uma linguagem-objeto
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48 Necessitamos de uma espécie de pano de fundo, sendo tal pano de fundo qualquer modelo
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49 Por exemplo a teoria dos
conjuntos ou Cantoriana. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

50 Frequentemente utiliza-se uma aritmética usual e, portanto, uma
meta-matemática na meta-linguagem Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

51 Uma importante observação, feita a partir disso, é a de que quase sempre estamos trabalhando e realizando meta-matemática. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

52 Nietzsche ilustra magnificamente esta situação dizendo:
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53 ”. a fronteira da ciência possui uma infinidade de pontos
”... a fronteira da ciência possui uma infinidade de pontos. Todo homem nobre e talentoso, antes de atingir a metade de sua carreira, defronta-se com algum ponto de fronteira que desafia sua compreensão, independentemente de saber como a região pode ser inteiramente mapeada. Quando o pesquisador, levado à periferia, compreende como a lógica, neste lugar, curva-se sobre si mesma e morde a própria cauda, fica perplexo com uma nova espécie de percepção: uma percepção trágica que requer, para se tornar tolerável, o remédio da arte.” Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

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55 CONECTIVOS LÓGICOS E TABELAS-VERDADE
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56 No estudo da linguagem proposicional, apesar de ser formal, utilizaremos muitas vezes proposições da língua portuguesa, com o intuito de amenizar a exposição. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

57 CONJUNÇÃO Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

58 Um conectivo comum é a letra e
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59 As palavras mas e também
expressam diferentes significados, mas têm o mesmo efeito sobre os valores-verdade Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

60 Se combinarmos as duas sentenças verdadeiras “Elefantes são grandes” e
“Bolas são redondas” Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

61 a sentença resultante “Elefantes são grandes e bolas são redondas”
(verdadeira) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

62  Na lógica usamos o símbolo para denotar o conectivo lógico e
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63 Vamos utilizar letras maiúsculas para denotar as sentenças
na Lógica Matemática Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

64 são atribuídos aos símbolos proposicionais.
Valores-verdade ou tabelas-verdade são atribuídos aos símbolos proposicionais. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

65 Vamos realizar a seguinte análise:
concordamos que se A e B são verdadeiras Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

66 deve ser considerada verdadeira.
A  B (leia-se A e B) deve ser considerada verdadeira. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

67 é chamada a conjunção de
A expressão A  B é chamada a conjunção de A e B Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

68 são chamados os fatores da expressão
A e B são chamados os fatores da expressão Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

69 Podemos resumir os efeitos das conjunções através do uso da
tabela-verdade Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

70 Em cada linha da tabela-verdade os valores-verdade são atribuídos aos símbolos proposicionais e o valor-verdade resultante da composição da expressão Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

71 Tabela-verdade da conjunção.
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72 Tabela-verdade da conjunção.
F Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

73 Devemos lembrar da ligação em série
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74 A B A  B V Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

75 Tabela-verdade da conjunção.
1 Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

76 Outra forma de representarmos a tabela-verdade é expressar o
valor verdadeiro V=1 e o valor falso F=0 Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

77 Utilizamos também as palavras
True (verdadeira) False (Falso) Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

78 A B A  B T F Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

79 e Convém tomarmos cuidado com algumas diferenças entre os conectivos 
usado na lógica e o conectivo e utilizado na língua portuguesa. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

80 Na linguagem proposicional, se A e B são fórmulas, então (AB) e (BA)
são logicamente equivalentes. Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital

81 Na linguagem natural, porém, nem sempre isso ocorre.
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82 Até a próxima aula! Manual para utilização dos modelos da Unisa Digital