Cap. 4 – O Valor do Dinheiro no Tempo

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1 Cap. 4 – O Valor do Dinheiro no Tempo
 2006, Bertolo, IMES/FAFICA

2 O Valor do Dinheiro no Tempo
Compondo e Descontando Quantias Únicas

3 Sabemos que receber $1 hoje vale mais do que $1 no futuro
Sabemos que receber $1 hoje vale mais do que $1 no futuro. Isto é devido ao custo de oportunidade. O custo de oportunidade de receber $1 no futuro é o juro que poderíamos ter ganho se tivéssemos recebido o $1 mais cedo. Hoje Futuro

4 Se pudermos medir esse custo de oportunidade, podemos:

5 Se pudermos medir esse custo de oportunidade, podemos:
Transladar $1 hoje ao seu equivalente no futuro (compor).

6 Se pudermos medir esse custo de oportunidade, podemos:
Transladar $1 hoje ao seu equivalente no futuro (composição). Hoje ? Futuro

7 Se pudermos medir esse custo de oportunidade, podemos:
Transladar $1 hoje ao seu equivalente no futuro (compor). Transladar $1 no futuro ao seu equivalente hoje (descontar). Hoje ? Futuro

8 Se pudermos medir esse custo de oportunidade, podemos:
Transladar $1 hoje ao seu equivalente no futuro (compor). Transladar $1 no futuro ao seu equivalente hoje (descontar). Hoje ? Futuro ? Hoje Futuro

9 Valor Futuro

10 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6%, quanto você terá na conta após 1 ano?

11 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 1 ano? PV = FV= 100

12 Solução na Calculadora: I = 6 N = 1 PV = -100 FV = $106
Valor Futuro – soma Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 1 ano? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 6 N = PV = FV = $106

13 Solução na Calculadora: I = 6 N = 1 PV = -100 FV = $106
Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 1 ano? PV = FV = 106 Solução na Calculadora: I = 6 N = PV = FV = $106

14 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 1 ano? PV = FV = 106 Solução Matemática: FV = PV (1 + i)n FV = 100 (1,06)1 = $106

15 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 1 ano?

16 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6%, quanto você terá na conta após 5 ano? PV = FV =

17 Solução na Calculadora: I = 6 N = 5 PV = -100 FV = $133,82
Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6%, quanto você terá na conta após 5 ano? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 6 N = PV = FV = $133,82

18 Solução na Calculadora: I = 6 N = 5 PV = -100 FV = $133,82
Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 5 ano? PV = FV = 133,82 Solução na Calculadora: I = 6 N = PV = FV = $133,82

19 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., quanto você terá na conta após 5 ano? PV = FV = 133,82 Solução Matemática: FV = PV (1 + i)n FV = 100 (1,06)5 = $133,82

20 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição trimestral, quanto você terá na conta após 5 anos?

21 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% com composição trimestral, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = ?

22 Solução na Calculadora: I = 6/4 N = 20 PV = -100 FV = $134,69
Valor Futuro - soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição trimestral, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 6/4 N = PV = FV = $134,69

23 Solução na Calculadora: I = 6 N = 20 PV = -100 FV = $134,68
Valor Futuro - soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição trimestral, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = 134,68 Solução na Calculadora: I = 6 N = PV = FV = $134,68

24 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição trimestral, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = 134,68 Solução Matemática: FV = PV (1 + i)n FV = PV (1 + i/m) m x n FV = 100 (1,015)20 = $134,68

25 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição mensal, quanto você terá na conta após 5 anos?

26 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% com composição mensal, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = ?

27 Solução na Calculadora: I = 6/12 N = 60 PV = -100 FV = $134,89
Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% com composição mensal, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 6/12 N = PV = FV = $134,89

28 Solução na Calculadora: I = 6 N = 60 PV = -100 FV = $134,89
Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição mensal, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = 134,89 Solução na Calculadora: I = 6 N = PV = FV = $134,89

29 Valor Futuro – soma única Se você deposita $100 numa conta rendendo 6% a.a., com composição mensal, quanto você terá na conta após 5 anos? PV = FV = 134,89 Solução Matemática: FV = PV (1 + i)n FV = PV (1 + i/m) m x n FV = 100 (1,005)60 = $134,89

30 Valor Futuro - composição contínua Qual é o FV de $1.000 rendendo 8% a.a., com composição contínua, após 100 anos?

31 Valor Futuro - composição contínua Qual é o FV de $1.000 rendendo 8% a.a., com composição contínua, após 100 anos? PV = FV = ?

32 Valor Futuro - composição contínua Qual é o FV de $1,000 rendendo 8% a
Valor Futuro - composição contínua Qual é o FV de $1,000 rendendo 8% a.a., com composição contínua, após 100 anos? PV = FV = Solução Matemática: FV = PV (e in) FV = (e .08x100) = (e 8) FV = $ ,99

33 Valor Futuro - composição contínua Qual é o FV de $1.000 rendendo 8% a.a., com composição contínua, após 100 anos? PV = FV = $2,98m Solução Matemática: FV = PV (e in) FV = (e .08x100) = (e 8) FV = $ ,99

34 Valor Presente

35 Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a um ano de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.?

36 Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a um ano de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6%? PV = FV = ?

37 Solução na Calculadora: I = 6 N = 1 FV = 100 PV = -94,34
Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a um ano a partir de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 6 N = FV = 100 PV = -94,34

38 Solução na Calculadora: I = 6 N = 1 FV = 100 PV = -94,34
Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a um ano de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.? PV = -94, FV = Solução na Calculadora: I = 6 N = FV = 100 PV = -94,34

39 Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a um ano de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.? PV = -94, FV = Solução Matemática: PV = FV / (1 + i)n PV = 100 / (1,06)1 = $94,34

40 Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a cinco anos de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.?

41 Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a cinco anos de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6%? PV = FV = ?

42 Solução na Calculadora: I = 6 N = 5 FV = 100 PV = -74,73
Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a cinco anos de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 6 N = FV = 100 PV = -74,73

43 Solução na Calculadora: I = 6 N = 5 FV = 100 PV = -74,73
Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a cinco anos de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6% a.a.? PV = -74, FV = Solução na Calculadora: I = 6 N = FV = 100 PV = -74,73

44 Valor Presente – soma única Se você receber $100 daqui a cinco anos de hoje, qual é o PV daquele $100 se seu custo de oportunidade é 6%? PV = -74, FV = Solução Matemática: PV = FV / (1 + i)n PV = 100 / (1,06)5 = $74,73

45 Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1
Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1.000 a ser recebido daqui a 15 anos de hoje se seu custo de oportunidade é 7%?

46 Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1
Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1.000 a ser recebido daqui a 15 anos de hoje se seu custo de oportunidade é 7% a.a.? PV = FV =

47 Solução na Calculadora: I = 7 N = 15 FV = 1.000 PV = -362,45
Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1.000 a ser recebido daqui a 15 anos de hoje se seu custo de oportunidade é 7% a.a.? PV = FV = Solução na Calculadora: I = 7 N = FV = PV = -362,45

48 Solução na Calculadora: I = 7 N = 15 FV = 1.000 PV = -362,45
Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1.000 a ser recebido daqui a 15 anos de hoje se seu custo de oportunidade é 7% a.a.? PV = -362, FV = Solução na Calculadora: I = 7 N = FV = PV = -362,45

49 Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1
Valor Presente – soma única Qual é o PV de $1.000 a ser recebido daqui a 15 anos de hoje se seu custo de oportunidade é 7% a.a.? PV = -362, FV = Solução Matemática: PV = FV / (1 + i)n PV = 100 / (1,07)15 = $362,45

50 Valor Presente - soma única Se você vendesse por $11
Valor Presente - soma única Se você vendesse por $ a terra que você comprou a 5 anos atrás por $5.000, qual seria a sua taxa de retorno anual?

51 Valor Presente - soma única Se você vendesse por $11
Valor Presente - soma única Se você vendesse por $ a terra que você comprou a 5 anos atrás por $5.000, qual seria a sua taxa de retorno anual? PV = FV =

52 Solução na Calculadora: N = 5 PV = -5.000 FV = 11.933 I = 19%
Valor Presente - soma única Se você vendesse por $ a terra que você comprou a 5 anos atrás por $5.000, qual seria a sua taxa de retorno anual? PV = FV = Solução na Calculadora: N = 5 PV = FV = I = 19%

53 Valor Presente - soma única Se você vendesse por $11
Valor Presente - soma única Se você vendesse por $ a terra que você comprou a 5 anos atrás por $5.000, qual seria a sua taxa de retorno anual? Solução Matemática: PV = FV / (1 + i)n 5.000 = / (1+ i)5 0,419 = ((1/ (1+i)5) 2, = (1+i)5 (2,3866)1/5 = (1+i) i = 0,19

54 Valor Presente – soma única Suponha que você colocou $100 numa conta que paga 9,6% a.a. de juro, composto mensalmente. Quanto tempo levará para a sua conta aumentar para $500? PV = FV =

55 Solução na Calculadora: FV = 500 I = 9,6/12 PV = -100 N = 202 meses
Valor Presente – soma única Suponha que você colocou $100 numa conta que paga 9,6% de juro, composto mensalmente. Quanto tempo levará para a sua conta aumentar para $500? ? PV = FV = Solução na Calculadora: FV = 500 I = 9,6/12 PV = -100 N = meses

56 Valor Presente – soma única Suponha que você colocou $100 numa conta que paga 9,6% de juro, composto mensalmente. Quanto tempo levará para a sua conta aumentar para $500? Solução Matemática: PV = FV / (1 + i)n 100 = 500 / (1+ 0,008)N 5 = (1,008)N ln 5 = ln (1,008)N ln 5 = N ln (1,008) 1, = 0, N N = 202 meses

57 Sugestões para problemas soma única :
Em cada problema de valor futuro e valor presente de soma única, existem 4 variáveis: FV, PV, i, e n Quando estiveres resolvendo problemas, serão dadas 3 destas variáveis e pedido a você para encontrar a 4ª variável. Mantendo isto em mente os problemas de “valor no tempo” tornam-se muito mais fáceis!

58 O Valor no Tempo do Dinheiro
Compondo e Descontando Seqüências (ou séries) de Fluxos de Caixa 1 2 3 4

59 Anuidades Anuidade: uma seqüência de fluxos de caixa iguais, ocorrendo no final de cada período.

60 Anuidades Anuidade: uma seqüência de fluxos de caixa iguais, ocorrendo no final de cada período. 1 2 3 4

61 Exemplos de Anuidades:
Se você comprar um bônus (bond), você receberá um cupom de pagamentos semestrais iguais de juros durante a vida do bônus. Se você tomar dinheiro emprestado para comprar uma casa ou um carro, você pagará uma seqüência de pagamentos iguais.

62 Exemplos de Anuidades:
Se você comprar um bônus (bond), você receberá um cupom de pagamentos semestrais iguais de juros durante a vida do bônus. Se você tomar dinheiro emprestado para comprar uma casa ou um carro, você pagará uma seqüência de pagamentos iguais.

63 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1. 000 cada ano a 8%a. a
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%a.a., quanto você terá após 3 anos?

64 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1. 000 cada ano a 8%a. a
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%a.a., quanto você terá após 3 anos?

65 Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = -1.000 FV = $3.246,40
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8% a.a., quanto você terá após 3 anos? Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = FV = $3.246,40

66 Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = -1.000 FV = $3.246,40
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8% a.a., quanto você terá após 3 anos? Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = FV = $3.246,40

67 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1. 000 cada ano a 8% a. a
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8% a.a., quanto você terá após 3 anos?

68 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%, quanto você terá após 3 anos? Solução Matemática:

69 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%, quanto você terá após 3 anos? Solução Matemática: FV = PMT (sn i )

70 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%, quanto você terá após 3 anos? Solução Matemática: FV = PMT (sn i ) FV = (s3 .08)

71 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%, quanto você terá após 3 anos? Solução Matemática: FV = PMT (sn i ) FV = (s3 .08) FV = PMT (1 + i)n - 1 i

72 Valor Futuro - anuidade Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade Se você investir $1.000 cada ano a 8%, quanto você terá após 3 anos? Solução Matemática: FV = PMT (sn i ) FV = (s3 .08 ) FV = PMT (1 + i)n - 1 i FV = (1,08) = $3.246,40 0,08

73 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%?

74 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%?

75 Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = -1,000 PV = $2.577,10
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%? Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = -1,000 PV = $2.577,10

76 Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = -1.000 PV = $2.577,10
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%? Solução na Calculadora: I = 8 N = 3 PMT = PV = $2.577,10

77 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8% a.a.?

78 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8% a.a.? Solução Matemática:

79 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%? Solução Matemática: PV = PMT (an i )

80 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%? Solução Matemática: PV = PMT (an i ) PV = (a3 .08 )

81 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%? Solução Matemática: PV = PMT (an i ) PV = (a3 .08 ) 1 PV = PMT (1 + i)n i

82 Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade Qual é o PV de $1.000 ao término de cada um dos próximos 3 anos, se o custo de oportunidade é 8%? Solução Matemática: PV = PMT (an i ) PV = (a3 .08 ) 1 PV = PMT (1 + i)n i PV = (1,08 )3 = $2.577,10 0,08

83 Outros Modelos de Fluxo de Caixa
O Valor do Dinheiro no Tempo 1 2 3 Outros Modelos de Fluxo de Caixa

84 Perpetuidades Suponha que você receba um pagamento fixo cada período (mês, ano, etc.) para sempre. Isto é um exemplo de uma perpetuidade. Você pode pensar numa perpetuidade como uma anuidade que continua para sempre.

85 Valor Presente of a Perpetuidade
Quando encontramos o PV de uma anuidade, pensamos na seguinte relação:

86 Valor Presente de uma Perpetuidade
Quando encontramos o PV de uma anuidade, pensamos na seguinte relação: PV = PMT (an i )

87 Matematicamente,

88 Matematicamente, (an i ) =

89 Matematicamente, (an i ) = 1 - 1 (1 + i) n i

90 1 - i Matematicamente, 1 (an i ) = (1 + i)
Dizemos que uma perpetuidade é uma anuidade onde n = infinito. O que acontece com esta fórmula quando n tornar-se muito, muito grande? 1 - 1 (1 + i) n i

91 Quando n torna-se muito grande,

92 Quando n torna-se muito grande,
1 - 1 (1 + i) n i

93 Quando n torna-se muito grande,
isto torna-se zero. 1 - 1 (1 + i) n i

94 1 - 1 i i Quando n torna-se muito grande, isto torna-se zero. 1
Assim ficamos com an i = 1 - 1 (1 + i) n i 1 i

95 Valor Presente de uma Perpetuidade
Então, o PV de uma perpetuidade é muito simples de se achar:

96 Valor Presente de uma Perpetuidade
Então, o PV de uma perpetuidade é muito simples de se achar: PMT i PV =

97 Quanto você desejaria pagar para receber $10
Quanto você desejaria pagar para receber $ anualmente para sempre, se você exigir 8% ao ano sobre o investimento?

98 Quanto você desejaria pagar para receber $10
Quanto você desejaria pagar para receber $ anualmente para sempre, se você exigir 8% ao ano sobre o investimento? PMT $10.000 i PV = =

99 Quanto você desejaria pagar para receber $10
Quanto você desejaria pagar para receber $ anualmente para sempre, se você exigir 8% ao ano sobre o investimento? PMT $10.000 i = $ PV = =

100 Anuidade Ordinária vs. Anuidade Vencida
$ $ $1000

101 Mode Begin vs. Mode End

102 Begin Mode vs. End Mode 4 5 6 7 8 anuidade ordinária 1000 1000 1000
ano ano ano anuidade ordinária

103 PV Begin Mode vs. End Mode 4 5 6 7 8 anuidade ordinária em Mode END
ano ano ano PV em Mode END anuidade ordinária

104 PV FV Begin Mode vs. End Mode 4 5 6 7 8 em END Mode em END Mode
ano ano ano PV em END Mode FV em END Mode anuidade ordinária

105 Begin Mode vs. End Mode 4 5 6 7 8 anuidade vencida 1000 1000 1000
ano ano ano anuidade vencida

106 PV Begin Mode vs. End Mode 4 5 6 7 8 anuidade vencida em BEGIN Mode
ano ano ano PV em BEGIN Mode anuidade vencida

107 PV FV Begin Mode vs. End Mode 4 5 6 7 8 em BEGIN Mode em BEGIN Mode
ano ano ano PV em BEGIN Mode FV em BEGIN Mode anuidade vencida

108 Anteriormente, examinamos esta anuidade “ordinária” :

109 Anteriormente, examinamos esta anuidade “ordinária” :

110 Anteriormente, examinamos esta anuidade “ordinária” :
Usando uma taxa de juro de 8%a.a., encontramos que :

111 Anteriormente, examinamos esta anuidade “ordinária” :
Usando uma taxa de juro de 8% a.a., encontramos que : O Valor Futuro (em 3) é $3.246,40.

112 Anteriormente, examinamos esta anuidade “ordinária” :
Usando uma taxa de juro de 8%a.a., encontramos que: O Valor Futuro (em 3) é $3.246,40. O Valor Presente (em 0) é $2.577,10.

113 O que há com esta anuidade?
Mesma linha de tempo de 3-anos, Mesmos 3 fluxos de caixa de $1000, mas Os fluxos de caixa ocorrem no início de cada ano, ao invés de no final de cada ano. Isto é uma “anuidade vencida.”

114 Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8% a.a., quanto você terá ao término do ano 3?

115 Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = 3 PMT = -1.000
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8% a.a., quanto você terá ao término do ano 3? Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = PMT = FV = $3.506,11

116 Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = 3 PMT = -1.000
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8% a.a., quanto você terá ao término do ano 3? Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = PMT = FV = $3.506,11

117 Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8%, quanto você terá ao término do ano 3? Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período :

118 Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8%, quanto você terá ao término do ano 3? Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : FV = PMT (sn i ) (1 + i)

119 Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8%, quanto você terá ao término do ano 3? Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : FV = PMT (sn i ) (1 + i) FV = (s3 .08 ) (1,08)

120 Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8%, quanto você terá ao término do ano 3? Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : FV = PMT (sn i ) (1 + i) FV = 1,000 (s3 .08 ) (1.08) FV = PMT (1 + i)n - 1 i (1 + i)

121 Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1
Valor Futuro - anuidade vencida Se você investir $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos a 8%, quanto você terá ao término do ano 3? Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : FV = PMT (sn i ) (1 + i) FV = 1,000 (s3 .08 ) (1.08) FV = PMT (1 + i)n - 1 i FV = (1,08) = $3.506,11 0,08 (1 + i) (1,08)

122 Valor Presente - anuidade vencida Qual é o PV de $1
Valor Presente - anuidade vencida Qual é o PV de $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos, se seu custo de oportunidade é 8%?

123 Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = 3 PMT = 1.000
Valor Presente - anuidade vencida Qual é o PV de $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos, se seu custo de oportunidade é 8% a.a.? Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = PMT = PV = $2.783,26

124 Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = 3 PMT = 1,000
Valor Presente - anuidade vencida Qual é o PV de $1.000 no início de cada um dos próximos 3 anos, se seu custo de oportunidade é 8% a.a.? Solução na Calculadora: Mode = BEGIN I = 8 N = PMT = 1,000 PV = $2.783,26

125 Valor Presente - anuidade vencida
Solução Matemática:

126 Valor Presente - anuidade vencida
Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período :

127 Valor Presente - anuidade vencida
Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : PV = PMT (an i ) (1 + i)

128 Valor Presente - anuidade vencida
Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : PV = PMT (an i ) (1 + i) PV = (a3 .08 ) (1,08)

129 Valor Presente - anuidade vencida
Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : PV = PMT (an i ) (1 + i) PV = (a3 .08 ) (1.08) 1 PV = PMT (1 + i)n i (1 + i)

130 Valor Presente - anuidade vencida
Solução Matemática: Simplesmente compor a FV da anuidade ordinária mais um período : PV = PMT (an i ) (1 + i) PV = (a3 .08 ) (1.08) 1 PV = PMT (1 + i)n i PV = (1,08 ) = $2.783,26 0,08 (1 + i) (1,08)

131 Fluxos de Caixa Irregulares
Isto é uma anuidade? Como encontramos o PV de uma seqüência de fluxos de caixa quando todos os fluxos de caixa são diferentes? (Use uma taxa de desconto de 10%).

132 Fluxo de Caixa Irregular
Aborrecido! Não tenha pressa para isso aqui. Temos de descontar de volta cada fluxo de caixa separadamente.

133 Fluxo de Caixa Irregular
Aborrecido! Não tenha pressa para isso aqui. Temos de descontar de volta cada fluxo de caixa separadamente.

134 Fluxo de Caixa Irregular
Aborrecido! Não tenha pressa para isso aqui. Temos de descontar de volta cada fluxo de caixa separadamente.

135 Fluxo de Caixa Irregular
Aborrecido! Não tenha pressa para isso aqui. Temos de descontar de volta cada fluxo de caixa separadamente.

136 Fluxo de Caixa Irregular
Aborrecido! Não tenha pressa para isso aqui. Temos de descontar de volta cada fluxo de caixa separadamente.

137 PV da Seqüência de Fluxo de Caixa: $ 4.412,95
período FC PV (FC) ,00 ,18 ,79 ,89 ,09 PV da Seqüência de Fluxo de Caixa: $ 4.412,95

138 Annual Percentage Yield (APY)
Qual é o melhor empréstimo: 8% composto anualmente, ou 7,85% composto trimestralmente? Não podemos comparar estas taxas de juros nominais (cotadas), porque elas não incluem o mesmo número de períodos de composição por ano! Precisamos calcular o APY.

139 Annual Percentage Yield (APY)

140 Annual Percentage Yield (APY)
APY = ( ) m - 1 Taxa nominal m

141 Annual Percentage Yield (APY)
APY = ( ) m - 1 Taxa nominal m Encontre a APY para o empréstimo trimestral :

142 Annual Percentage Yield (APY)
APY = ( ) m - 1 Taxa nominal m Encontre a APY para o empréstimo trimestral : APY = ( ) 0,0785 4

143 Annual Percentage Yield (APY)
APY = ( ) m - 1 Taxa nominal m Encontre a APY para o empréstimo trimestral: APY = ( ) APY = 0,0808, or 8,08% 0,0785 4

144 Annual Percentage Yield (APY)
APY = ( ) m - 1 Taxa nominal m Encontre a APY para o empréstimo trimestral: O empréstimo trimestral é mais dispendioso do que o empréstimo de 8% com composição anual! APY = ( ) APY = 0,0808, ou 8,08% 0,0785 4

145 Problemas Práticos

146 Exemplo Espera-se que os fluxos de caixa de um investimento sejam $ por ano ao término dos anos 4, 5, 6, 7, e 8. Se você exigir uma taxa de retorno de 20%, qual é o PV destes fluxos de caixa?

147 Exemplo Espera-se que os fluxos de caixa de um investimento sejam $ por ano ao término dos anos 4, 5, 6, 7, e 8. Se você exigir uma taxa de retorno de 20%, qual é o PV destes fluxos de caixa? $

148 $ Este tipo de seqüência de fluxo de caixa é freqüentemente chamada de “anuidade diferida.”

149 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0.

150 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0.

151 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0.

152 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0.

153 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0.

154 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0.

155 $ Como resolver: 1) Descontar separadamente cada fluxo de caixa de volta para o instante 0. Ou,

156 2) Encontrar o PV da anuidade:
$ 2) Encontrar o PV da anuidade: PV : End mode; I = 20; PMT = ; N = 5 PV = $

157 2) Encontrar o PV da anuidade :
$ 2) Encontrar o PV da anuidade : PV3: End mode; I = 20; PMT = ; N = 5 PV3= $

158 $

159 119.624 Daí descontar de volta esta soma única ao instante 0.
$ Daí descontar de volta esta soma única ao instante 0. PV: End mode; I = 20; N = 3; FV = ; Resolva: PV = $69.226

160 69.226 $

161 O PV da seqüência de fluxo de caixa é $69.226.
$ O PV da seqüência de fluxo de caixa é $

162 Exemplo de Aposentadoria
Após a graduação, você planeja investir $400 por mês no mercado de ações. Se você ganhar 12% por ano sobre suas ações quanto você terá acumulado quando você se aposentar daqui a 30 anos?

163 Exemplo de Aposentadoria
Após a graduação, você planeja investir $400 por mês no mercado de ações. Se você ganhar 12% ao ano sobre suas ações quanto você terá acumulado quando você se aposentar daqui a 30 anos? 1 2 3

164 1 2 3

165 Usando a sua calculadora, N = 360 PMT = -400 I% a.a. = 12
1 2 3 Usando a sua calculadora, N = 360 PMT = -400 I% a.a. = 12 FV = $ ,65

166 Exemplo de Aposentadoria Se você investir $400 ao término de cada mês nos próximos 30 anos a 12%a.a., quanto você terá ao término do ano 30?

167 Exemplo de Aposentadoria Se você investir $400 ao término de cada mês nos próximos 30 anos a 12%, quanto você terá ao término do ano 30? Solução Matemática:

168 Exemplo de Aposentadoria Se você investir $400 ao término de cada mês nos próximos 30 anos a 12%, quanto você terá ao término do ano 30? Solução Matemática: FV = PMT (sn i )

169 Exemplo de Aposentadoria Se você investir $400 ao término de cada mês nos próximos 30 anos a 12%, quanto você terá ao término do ano 30? Solução Matemática: FV = PMT (sn i ) FV = 400 (s360 .01 )

170 Exemplo de Aposentadoria Se você investir $400 ao término de cada mês nos próximos 30 anos a 12%, quanto você terá ao término do ano 30? Solução Matemática: FV = PMT (sn i ) FV = 400 (s360 .01 ) FV = PMT (1 + i)n - 1 i

171 Exemplo de Aposentadoria Se você investir $400 ao término de cada mês nos próximos 30 anos a 12%, quanto você terá ao término do ano 30? Solução Matemática: FV = PMT (sn i ) FV = 400 (s360 .01 ) FV = PMT (1 + i)n - 1 i FV = (1,01) = $ ,65 ,01

172 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Se você tomar emprestado $ a 7% a.a.de juros fixos por 30 anos para comprar uma casa, quais serão seus pagamentos mensais da casa?

173 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Se você tomar emprestado $ a 7% a.a. de juro fixos por 30 anos para comprar uma casa, quais serão os pagamentos mensais desta casa?

174 1 2 3 ? ? ? ?

175 Usando a sua calculadora, N = 360 I%a.a. = 7/12 PV = $100.000
1 2 3 ? ? ? ? Usando a sua calculadora, N = 360 I%a.a. = 7/12 PV = $ PMT = -$665,30

176 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Solução Matemática:

177 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Solução Matemática: PV = PMT (an i )

178 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Solução Matemática: PV = PMT (an i ) 100,000 = PMT (a360 .07 )

179 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Solução Matemática: PV = PMT (an i ) = PMT (a360 .07 ) 1 PV = PMT (1 + i)n i

180 Exemplo de Pagamento de uma Residencia
Solução Matemática: PV = PMT sn i = PMT (a360 .07 ) 1 PV = PMT (1 + i)n i 100,000 = PMT ( ) PMT=$665,30

181 Tarefa de Equipe Durante a aposentadoria, sua meta é dispender 5 anos viajando ao redor do mundo. Para viajar com estilo será exigido $ por ano no início de cada ano. Se você planeja se aposentar daqui a 30 anos, quais são os pagamentos mensais iguais necessários para atingir esta meta? Os fundos na sua conta de aposentadoria serão compostos a 10% anualmente.

182 Quanto precisaríamos ter ao final do ano 30 para financiar a viagem?
27 28 29 30 31 32 33 34 35 Quanto precisaríamos ter ao final do ano 30 para financiar a viagem? PV30 = PMT (a5 .10 ) (1,10) = = (3,7908) (1,10) = = $

183 Usando a sua calculadora,
27 28 29 30 31 32 33 34 35 Usando a sua calculadora, Mode = BEGIN PMT = -$ N = 5 I%a.a. = 10 PV = $

184 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Agora, assumindo uma composição anual de 10%, que pagamentos mensais serão exigidos para você ter $ ao término do ano 30?

185 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Usando a sua calculadora, Mode = END N = 360 I%a.a. = 10/12 FV = $ PMT = -$461,17

186 Assim, você terá de colocar $461,17 na sua conta de aposentadoria, que rende 10% anualmente, no final de cada um dos próximos 360 meses para financiar a volta ao mundo em 5-anos.