Ferramentas básicas: Gráficos e Vetores

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1 Ferramentas básicas: Gráficos e Vetores

2 Sistemas de coordenadas
Para determinar posições no espaço, é necessário um sistema de coordenadas. Em um plano, são necessárias duas coordenadas para determinar a posição de um ponto. Nesse caso, podemos usar um sistema de coordenadas cartesianas, que é definido com uma origem O e dois eixos ortogonais (perpendiculares), onde é possível determinar a posição de um ponto P através das coordenadas x (abscissa) e y (ordenada). Ou seja, P é dado por P(x,y) ou, simplesmente, (x,y). Esse sistema de coordenadas é útil em uma grande variedade de problemas.

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4 Também podemos determinar a posição de um ponto P em um plano através de coordenadas polares, onde se tem essa posição através da distância do ponto até a origem (r) e o ângulo (θ) formado entre OP e Ox, sendo x a direção tomada como referência. Ou seja, P é dado por P(r,θ) ou, simplesmente, (r,θ). Em alguns casos, problemas difíceis de serem descritos em coordenadas cartesianas podem ser mais facilmente descritos em coordenadas polares.

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6 É possível fazer a transferência entre os dois sistemas de coordenadas apresentados. De coordenadas polares para cartesianas, são usadas relações de um triângulo retângulo para se chegar a: De coordenadas cartesianas para polares, usa-se o teorema de Pitágoras:

7 Propriedades gráficas
Muitas vezes, informações podem estar contidas em gráficos, que são curvas que relacionam duas ou mais variáveis. A relação entre essas variáveis pode ser expressa em forma de função, mas, às vezes, a informação desejada pode ser conseguida usando-se as propriedades geométricas do gráfico. a) Função de primeiro grau Algumas relações na Física podem ser expressas através de uma função de primeiro grau. O gráfico de uma função desse tipo é dado por uma reta com inclinação em relação aos eixos ordenados e, para um intervalo ∆x e um intervalo ∆y, correspondente, é sempre válido que:

8 Onde m é uma constante chamada de declividade da reta
Onde m é uma constante chamada de declividade da reta. Esta, muitas vezes, é a quantidade procurada. Veja que essa quantidade pode ser conseguida diretamente do gráfico.

9 Sabendo-se que é a função de primeiro grau:

10 Neste caso, de forma geral, a pode ser chamado de coeficiente angular (por estar relacionado com a inclinação da reta em relação aos eixos ordenados), e b, de coeficiente linear (por estar relacionado com o ponto em que o gráfico corta o eixo das ordenadas). b) Área de um gráfico Se uma grandeza é dada na forma de c = a.b, o valor de c é, numericamente, igual à área do gráfico a contra b.

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12 Vetores Na Física, as grandezas podem ser vetoriais ou escalares (dependendo das propriedades). As grandezas vetoriais necessitam de direção (horizontal, vertical...) e sentido (esquerda, direita, cima...), além de um valor numérico e unidade da grandeza, para serem completamente definidas, enquanto as escalares não dependem de direção nem de sentido. Ou seja, as grandezas escalares ficam definidas apenas com um valor numérico e a unidade que o acompanha (kg.m²/s², por exemplo).

13 Como um vetor depende de direção e sentido, são necessários esses dados para determiná-lo. Por exemplo, não basta dizer que se está a 5 m/s: é preciso dizer a direção (horizontal, por exemplo) e a direção (direita, por exemplo). Ou seja, a velocidade é um vetor. Veja também que a direção e o sentido diferenciam um vetor de outro. Assim, para um vetor ser igual a outro, não basta terem magnitudes iguais. É preciso que tenham, também, a mesma direção e o mesmo sentido. Da mesma forma, um vetor é oposto a outro se, e somente se, possuir mesma magnitude, direção, mas sentido contrário.

14 a) Representação A representação geométrica de um vetor é uma seta (indicando a direção e sentido), cujo “comprimento” nos dá a magnitude da grandeza.

15 A ponta com a "flecha" é chamada de extremidade e A de origem
A ponta com a "flecha" é chamada de extremidade e A de origem. O vetor pode ser notado por r (é conveniente a utilização do negrito para diferenciar de um escalar). Pode-se representar um vetor também em um plano cartesiano. Neste caso, o vetor pode possuir como notação V(x,y) ou, simplesmente, (x,y).

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17 b) Produto de um vetor por um número real Um vetor pode ser dado pela multiplicação de um outro vetor por um número real (ou escalar). Ao se fazer a multiplicação, a magnitude do vetor fica multiplicada pelo número. Ou seja, R = a.r, onde a é um número real. Existe diferença entre multiplicar um vetor por um número real positivo, negativo ou nulo (0). Ao se multiplicar por um número real positivo, a direção e o sentido ficam inalterados, mas, ao se multiplicar por um escalar negativo, o sentido do vetor inverte. O produto por um escalar nulo (zero) faz do vetor um vetor nulo.

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19 c) Soma vetorial Dentre as operações possíveis de se fazer com vetores, está a soma entre os mesmos. Esta consiste em encontrar um vetor resultante (vetor resultado da soma) que equivalha aos vetores somados. A soma vetorial pode ser feita por meios geométricos “puros” ou através de ferramentas fornecidas pela trigonometria (veremos que a segunda maneira é mais conveniente). Geometricamente, tendo os vetores r e r’, a soma desses vetores (r+r’) pode ser feita, colocando-se a extremidade do vetor r na origem de r’ e traçando um vetor com extremidade coincidente com a de r’ e origem coincidente com a de r.

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21 Outra maneira de se somar é através da “regra do paralelogramo”, onde se coloca a origem de um vetor junto a do outro e se cria um paralelogramo, sendo os dois vetores dois lados da figura. O vetor resultante é a diagonal do paralelogramo, sendo que a origem coincide com a dos vetores que o geraram.

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23 A soma vetorial possui as seguintes propriedades: Propriedade comutativa: Propriedade associativa: Existe um vetor nulo tal que: Existe um vetor –r tal que: A diferença (subtração) de dois vetores é dada por:

24 Essas propriedades são semelhantes às da soma e subtração aritmética, mas não são tão visíveis assim, ao serem representadas graficamente.

25 Como já dito, não é muito viável fazer-se a soma de vetores por “pura” geometria. Assim, se usa a trigonometria para se encontrar o vetor resultante. Uma forma de se somar vetores é usando o teorema dos co-senos. Se for conhecido o ângulo entre dois vetores (r e s, por exemplo), o módulo¹ do resultante (R) será dado por:

26 Perceba que, no caso particular, em que θ=90°, cosθ=0, o teorema dos co-senos se torna igual ao teorema de Pitágoras.

27 O caso particular em que os vetores possuem um mesma direção (paralelos) também é importante. Nesse caso, os vetores podem possuir ângulos de 0° ou de 180° ². Assim, no caso de soma e subtração, respectivamente, temos:

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29 onde foi utilizado o fato de que a²+b²+2ab=(a+b)² e a²+b²-2ab=(a-b)², pois são quadrados perfeitos. Essas propriedades coincidem, na prática, com as da adição e subtração aritméticas. De forma geral, basta acrescentar um sinal negativo ao módulo de um vetor que tenha sentido contrário ao convencionado como sentido positivo, e realizar a operação (soma ou subtração).

30 1- O módulo de um vetor (indicado pelas barras: | |) é o valor numérico (magnitude) do mesmo. Esse valor é sempre positivo e, assim, não dá informação de direção e sentido. 2- Com esse ângulo, os vetores possuem sentidos opostos entre si. Também pode-se dizer que um é antiparalelo ao outro. Outra maneira de se realizar a soma é decompondo os vetores nos eixos ordenados do plano cartesiano - ou seja, no caso de um único vetor, encontrando os dois vetores, cada um com a mesma direção de um eixo ordenado, que, somados, possuam como resultante o vetor inicialmente considerado. O procedimento para somar consiste em encontrar as componentes (também chamadas de projeções) de cada vetor considerado, encontrar uma resultante em cada eixo (afinal, na prática, a soma vetorial coincide com a soma aritmética, quando se tem vetores em uma mesma direção) e realizar a soma vetorial dessas resultantes.

31 Para se decompor o vetor, é preciso conhecer o ângulo formado entre o vetor e um dos eixos. Com isso, se usa as relações de um triangulo retângulo. Sendo o vetor inicialmente considerado a hipotenusa, os catetos (as componentes) serão dados por |r|cosθ e |r|senθ. Se o ângulo θ é formado entre o eixo x e o vetor, |r|cosθ=rx (componente no eixo x) e |r|senθ=ry (componente no eixo y). 1- O módulo de um vetor é o valor numérico (magnitude) do mesmo. Esse valor é sempre positivo e, assim, não dá informação de direção e sentido.

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33 O caminho inverso pode ser feito sem conhecimento do ângulo
O caminho inverso pode ser feito sem conhecimento do ângulo. Isso é possível com o teorema de Pitágoras. Também se pode encontrar o ângulo formado entre o vetor resultante (r) e um dos eixos (tomemos o ângulo entre o eixo x e o vetor).

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35 Dessa forma, pode-se somar dois ou mais vetores através das componentes, usando-se o processo já descrito.

36 Isso justifica o fato de um vetor poder ser notado por V(x,y) (ou somente (x,y)), quando se tem um plano cartesiano. Os valores de x e y são as componentes do vetor. Como a soma é feita somando-se componentes de um mesmo eixo, a soma dos vetores (a,b) e (c,d) pode ser dada por (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

37 d) Vetor unitário Já foi visto que um vetor pode ser multiplicado por um número real. Como um vetor pode ser dado por essa multiplicação, é possível que todo o valor numérico esteja “fora” do vetor e as características vetoriais da grandeza estejam expressas em um vetor de magnitude 1 – chamado de vetor unitário.

38 É interessante, inicialmente, que sejam apresentadas algumas outras propriedades da multiplicação de um vetor por um número real. No caso da decomposição de vetores, se, por exemplo, se multiplica um vetor r por dois, suas componentes também são multiplicadas por dois. Assim, de forma geral, a(x,y)=(ax,ay), onde a é um número real e (x,y) é o vetor. Também é válido que a(r+r’)=ar+ar’ e (a+b)r=ar+br.

39 O vetor unitário possui “comprimento” (magnitude) 1
O vetor unitário possui “comprimento” (magnitude) 1. Assim, sua definição é:

40 Os vetores unitários, que possuem mesma direção e sentido dos eixos ordenados, são representados de forma especial. No caso do plano cartesiano, i e j são, respectivamente, os vetores unitários nos eixos x e y. Como já foi visto, um vetor pode ser representado através da soma vetorial de suas componentes. Assim, com os vetores unitários, pode-se representar um vetor como sendo r=ai+bj, onde a e b são as magnitudes das componentes no eixo x e y, respectivamente, e a soma desse vetor com outro, r’=ci+dj, é dada por r+r’=(a+c)i+(b+d)j.

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42 Referências: Nussenzveig, H. Moyses, Curso de Física Básica, vol I, Ed
Referências: Nussenzveig, H. Moyses, Curso de Física Básica, vol I, Ed. Edgard Blücher (2002). Ferraro, Nicolau Gilberto e Soares, Paulo Antonio de Toledo, Física Básica, vol único, Ed. São Paulo (2004).

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