Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

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1 Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Sistemas Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Sistemas Definição Entidade que manipula um ou vários sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída) Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída Sistema Sinais de entrada saída

3 Sistemas Definição Terminologias adicionais Matematicamente
Entradas  Excitação  x(t) Saídas  Resposta  y(t) Matematicamente h{} é uma operação realizada sobre uma função x(t) para produzir uma função y(t) h{} x(t) y(t)

4 Sistemas + Σ Diagrama de Blocos Somador w(t) = x(t) – y(t) + z(t) + -

5 Sistemas Diagrama de Blocos Amplificador y(t) = K x(t) K y(t) x(t)

6 Sistemas Diagramas de Blocos Integrador/diferenciador y(t) = ∫ x(τ) dτ
(de – ∞ até t) y(t) = dx(t)/dt ∫ y(t) x(t) d/dt y(t) x(t)

7 Sistemas Exemplos Navegação de barcos Entradas Saída Sistema
Empuxo da hélice Posição do leme Direção e velocidade da correnteza Saída Direção do barco Velocidade do barco Sistema Dinâmica dos fluidos Equações do movimento de corpos

8 Sistemas Exemplos Suspensão automotiva Entradas Saídas Sistema
Distância entre roda e solo Saídas Distância entre chassi e chão Sistema Equações dinâmicas de movimento fator de amortecimento energia elástica.

9 Sistemas Exemplos Ponte Entrada Saída Sistema Direção do vento
Velocidade do vento Saída Deslocamento da ponte Sistema Dinâmica dos fluidos Interação entre fluido e estrutura exemplo: Ponte Tacoma

10 Sistemas Exemplos Corpo humano Entradas Saídas Sistema
Dose de medicamento Saídas Concentração da dose no corpo Sistema Equação farmacocinética do medicamento Equação de infusão e eliminação do medicamento

11 Sistemas Modelagem de sistemas
Definir equações que “ligam” as entradas às saídas Geralmente equações integro-diferenciais Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) Há sistemas complexos demais para modelagem detalhada Uso de aproximações e simplificações Tratamento estocástico Exemplos

12 Sistemas Propriedades Resposta com entrada nula
Saída do sistema para entrada x(t) = zero Condições de contorno não-nulas Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída Resposta com condições iniciais nulas Saída do sistema para entrada x(t) ≠ zero Condições de contorno nulas Geralmente energia inicial do sistema é nula

13 Sistemas Propriedades
Resposta total ≠ Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas Existe situações de igualdade EDOs lineares a coeficientes constantes Solução homogênea Solução particular

14 Sistemas Propriedades Homogeneidade
Um sistema é homogêneo quando sua saída é sempre proporcional à sua entrada Condições iniciais nulas

15 Sistemas Propriedades Aditividade
Duas entradas (x1(t) e x2(t)) produzem respostas y1(t) e y2(t), respectivamente, para um sistema H. Condições iniciais nulas O sistema é aditivo se x3(t) [= x1(t) + x2(t)] produzir resposta y3(t) [= y1(t) + y2(t)]

16 Sistemas Propriedades Linearidade
Combinação de homogeneidade e aditividade. Princípio da superposição. “Dividir para conquistar” Método comum a classe de sistemas (lineares)

17 Sistemas Propriedades Linearidade
Como aplicar o método a sistemas não-lineares? Processo de linearização Linearização Equações diferenciais não-lineares exatas transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas Adição de restrições para aproximação Exemplo clássico: Pêndulo para pequenos ângulos

18 Sistemas Propriedades Invariância no tempo
Um sistema é invariante no tempo se uma entrada x(t) atrasada/adiantada t0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t0 instantes de tempo Condições iniciais nulas

19 Sistemas Propriedades Linearidade e Invariância no tempo LTI
“Linear and time-invariant system” Combinação de linearidade e invariância no tempo Classe específica de sistemas Análise será baseada em relações em excitações específicas Uso de convolução

20 Sistemas Propriedades Estabilidade O sistema não “explode”
Critério BIBO Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas Condições iniciais nulas

21 Sistemas Propriedades Estabilidade
Para um sistema descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação) Descrita por combinação linear de exponenciais complexas Exponenciais complexas = autofunções Se Re{autovalores} ≥ zero  sistema instável Se Re{autovalores} < zero  sistema estável Caso particular importante

22 Sistemas Propriedades Causalidade
Um sistema é causal se ele apresenta resposta somente durante ou após a aplicação de alguma excitação. Sistema não-antecipatório Condições iniciais nulas

23 Sistemas Propriedades Causalidade Causal  Processamento tempo-real
Não-causal  processamento off-line Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do “futuro”.

24 Sistemas Propriedades Causalidade
Exemplo: Mercado de ações e filtro média-móvel.

25 Sistemas Propriedades Memória
Um sistema com memória depende das excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual. Também chamado sistema dinâmico Um sistema sem memória depende apenas da excitação no instante atual Também chamado sistema estático

26 Sistemas Propriedades Reversibilidade/Inversibilidade
Um sistema é inversível se excitações singulares produzem respostas singulares Condições iniciais nulas Sistema inverso “anula” completamente os efeitos do sistema direto. Idéia de função bijetora

27 Sistemas Convolução Estado atual: Questão: Sistemas descritos por EDOs
Solução completa  soluções particular + homogênea Solução homogênea  combinação linear de autofunções Questão: Podemos analisar o sistema sem considerar excitações e respostas?

28 Sistemas Convolução Princípio básico
Excitação Combinação linear de sinais “elementares” Sistema específico Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) Uso do princípio de sobreposição Resposta Combinação linear dos efeitos produzidos pelos sinais “elementares” Sinal elementar  sinal impulso  δ(t)

29 Sistemas Convolução Sistema original Resposta ao impulso  h(t)
F(y, y’, y’’, ..., y(n-1), y(n)) = G(x, x’, x’’, ..., x(m-1), x(m)) y = y(t) e x = x(t) Resposta ao impulso  h(t) A(h, h’, h’’, ..., h(n-1), h(n)) = B(δ, δ’, δ’’, ..., δ(m-1), δ(m)) h = h(t) e δ = δ(t)

30 Sistemas Convolução Obtenção da resposta ao impulso  h(t)
Encontre solução homogênea de h(t)  hh(t) Características da solução particular Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondência com todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada Para t = zero Combinação linear de h(t) e suas derivadas = zero Para t ≠ zero Garantia de solução homogênea “vingar”

31 Sistemas Convolução Obtenção da resposta ao impulso  h(t) n>m n=m
hh(t) u(t) n=m hh(t) u(t) + Kδ δ(t) n<m hh(t) u(t) + [K(m-n)u(m-n)(t) + K(m-n-1)u(m-n-1)(t) K1u1(t) + K0u0(t)] u0(t) = δ(t), u1(t) = δ’(t), ...

32 Sistemas Convolução Resposta ao impulso
Descrição do sistema para qualquer excitação Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo! Como obter resposta dado h(t) e excitação?

33 Sistemas Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos
Tp  duração dos pulsos

34 Sistemas Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos
Combinação linear de pulsos deslocados no tempo.

35 Sistemas Convolução Pelo princípio da superposição...
Válido para sistemas lineares e invariantes no tempo Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC, LC x(t) = pulso unitário  y(t) = hp(t)

36 Sistemas Convolução Exemplo Excitação  senóide amortecida
Sistema  filtro RC

37 Sistemas Convolução Exemplo Excitação  senóide amortecida
Sistema  filtro RC

38 Sistemas Convolução Considerando o limite Tpτ Excitação Resposta
Qualquer sinal = combinação linear de δ(t) Resposta Integral de convolução

39 Sistemas Convolução Diagrama de blocos Reforçando y(t) = h(t) * x(t)
h(t)  resposta ao impulso do sistema h(t) x(t) y(t)

40 Sistemas Propriedades da Convolução Em relação à variável τ
x(τ) é mantido é mantida fixa h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de tempo Reflexão  h(–τ) Atraso no tempo  h(–(τ – t))

41 Sistemas Propriedades da Convolução Visualização do processo
Para cada t “fixo”, calculamos a integral (–∞ a +∞)

42 Sistemas Propriedades da Convolução
Convolução entre dois pulsos unitários

43 Sistemas Propriedades da Convolução Amostragem do impulso Comutativa
Distributiva

44 Sistemas Propriedades da Convolução Associativa y(t) x(t) w(t) z(t)

45 Sistemas + Propriedades da Convolução Distributiva y(t)+z(t) x(t) w(t)

46 Sistemas Propriedades da Convolução Diferenciação Área Escala
Se y(t) = x(t)*h(t) Diferenciação Área Escala

47 Sistemas Propriedades da Convolução Estabilidade Se x(t) é limitado
Então Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável Existência da convolução

48 Sistemas Propriedades da Convolução Causalidade
Um sistema linear e invariante no tempo é causal se Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real

49 Sistemas Propriedades da Convolução Memória
Um sistema linear e invariante no tempo é estático se: Sistema sem memória

50 Sistemas Diagrama de Blocos Genericamente
Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução

51 Sistemas Diagrama de Blocos Usando integradores (forma direta I): ∫ +
bn bn-1 bn-2 b1 b0 x(t) ∫ 1/an an-1 an-2 a1 a0 y(t) + –

52 Sistemas Diagrama de Blocos Pela propriedade de comutação ∫ + ∫ + 1/an
x(t) + – ∫ + bn bn-1 bn-2 b1 b0 y(t)

53 Sistemas Diagrama de Blocos Simplificando (forma direta II) ∫ + bn
y(t) ∫ 1/an an-1 an-2 a1 a0 x(t) –